Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar

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1 Disciplina: Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio DTAiSeR-Ar 1

2 Revisão de conceitos Você sabe contar? 2

3 a) Quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 5,6 e 7? Arranjo Dado um conjunto A formado por n elementos, e sendo p um número inteiro positivo (p n), chama-se arranjo dos n elementos dados, tomados p a p, a qualquer sequência de p elementos formada com os elementos de A. A n,p = n(n 1) (n 2)... (n p + 1) produto de p fatores 3

4 Análise combinatória É um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los, ou seja, Estuda os métodos de contagem o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. História da análise combinatória Foi à necessidade de calcular o número de possibilidades existentes e as maneiras seguras de se ganharem nos chamados jogos de azar (tais como: baralho, dados e moedas), que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Esses estudos foram iniciados no século XVI, pelo: Niccollo Fontana (ou Tartaglia) ( ) - matemático italiano. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat ( ) e Blaise Pascal ( ). 4

5 b) De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem viajar dentro de um Fusca se todos podem dirigir? Fusca Permutação Dado um conjunto A formado por n elementos, chama-se permutação desses n elementos a qualquer sequência de n elementos em que compareçam todos os elementos de A. P n = n. (n 1). (n 2) = n! produto de n fatores 5

6 c) Quantas comissões com 2 membros podemos formar com 3 alunos? Combinação Dado um conjunto A formado por n elementos, e sendo p um número inteiro positivo, chama-se combinação dos n elementos dados, tomados p a p a qualquer subconjunto de A que possua p elementos. C n, p A n, p n! P p!( n p)! p n p Com isso, é possível responder a questões do tipo: Quantas amostras distintas de tamanho n é possível retirar da população? 6

7 Revisão de conceitos Teoria de conjuntos 7

8 Conceitos da teoria dos conjuntos Espaço amostral É o conjunto de TODOS os possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório. OBS: Representaremos pela letra grega Ω. Eventos São os subconjuntos de Ω. OBS: Representados por letras maiúsculas (A, B, C, ). Um subconjunto vazio do espaço amostral é representado por. 8

9 Espaço amostral Eventos A B D C Elementos do espaço amostral Ω Espaço amostral 9

10 Exemplo 1 Determine o espaço amostral (): Resultados Cara (K) Coroa (C) X: n. de lançamentos (1 moeda) Resultados (K, K, K) (K, K, C) Y: n. de lançamentos (3 moedas) (K, C, K) (K, C, C) (C, K, K) (C, K, C) (C, C, K) (C, C, C) 10

11 Exemplo 2 Fenômeno aleatório: Jogar um dado duas vezes. Descreva o espaço amostral. 11

12 Exemplo 2 Notação: (1.a jogada, 2.a jogada, ) = { (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) } Evento A: A soma dos dados é igual a 4. Evento B: A soma dos dados é igual a 11 A={(1,3);(2,2);(3,1)} B={(5,6);(6,5)} Evento C: A soma é 4 ou 11 A B = C 12 C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)}

13 Operações com eventos A união de dois eventos A e B, denotada por A B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A B Diagrama de Venn A intersecção do evento A com o B, denotada por A B, é a ocorrência simultânea de A e B. Ω A B Ω 13

14 Tipos de Eventos Exemplo: Coletar uma amostra de 50 peixes de um lago, marcá-los, devolvê-los, coletar uma nova amostra de tamanho 60 e observar o número de peixes marcados. a) Evento certo: A = Ω b) Evento impossível: A = 14

15 c) Eventos complementares: O complemento do evento A é o conjunto de pontos amostrais que não pertencem a A O evento complementar de A é também denotado por: A ou A c Dois eventos A e B são chamados complementares se A B = e A B=Ω. A B 15

16 d) Eventos disjuntos Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) quanto não têm elementos em comum. Isto é, A B=. A B Em outras palavras: Se dois eventos, associados a um mesmo espaço amostral, não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, se a ocorrência de um deles impede a possibilidade de ocorrência do outro (intersecção vazia), ele são chamados eventos disjuntos. 16

17 Propriedades Lei de DeMorgan: a) (A B) c = A c B c b) (A B) c = A c B c Tarefa 1: Utilize o diagrama de Venn para demonstrar os itens a), b), c) e d). Distributiva: c) A (B C) = (A B) (A C) d) A (B C) = (A B) (A C) e) A = f) A Ω=A g) c = Ω h) Ω c = i) A A c = j) A A c = Ω k) A Ω = Ω l) A = A 17

18 Exemplo 3 Fenômeno Aleatório : Jogar um dado de seis faces. Espaço Amostral : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω Evento A: Sair um número par A = {2, 4, 6} Evento B: Sair o número 2 B = {2} Evento C: Sair o número ímpar C = {1, 3, 5} B c = {1,3,4,5,6} A B = 2 A B = A A c = {1,3,5} A C = A C = C c = {2,4,6} B C = B C = {1, 2, 3, 5} 18

19 Tarefa 2 Utilizando o mesmo procedimento do Exemplo 2 anterior, considere o lançamento de dois dados honestos (resultados equiprováveis), calcular a chance dos seguintes eventos: A: Soma dos valores igual a 7; B: Resultados do primeiro dado é igual a 6; C: Soma nos dois dados é 2. 19

20 Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão). Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o objetivo de organizar e resumir informações. Essas medidas são chamadas de estimativas associadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras. Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticos. 20

21 Modelos probabilísticos 21

22 Definição: Experimento determinístico é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados que ao serem repetidos nas mesmas condições conduzem ao mesmo resultado. Exemplo: Geometria: dado o lado de um quadrado, a área está determinada. Física: Aquecer a água a 100 o C, ela entrará em ebulição. Todo corpo permanece em estado de repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele. Computadores: se você clicar sobre um ícone, você sabe (ou não sabe) o que vai acontecer. 22

23 Definição: Experimento aleatório é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplos: Metereologia: Condições climáticas do próximo domingo. Processos probabilísticos, os resultados têm um componente aleatório Economia: Taxa de inflação do próximo mês. Demografia: O sexo da próxima criança que irá nascer na cidade. Jogo de moedas (ou de dados): Ao lançar uma moeda uma vez, não sabe se sairá cara ou coroa. 23

24 Até o presente momento, estudamos, de forma impírica, isto é, sem uma justificativa científica (só descrevendo, mas não explicando), o comportamento dos fenômenos através da construção das distribuições de frequências. Aqui, temos especial interesse em experiências aleatórias, casuais, ou seja, experiências das quais não podemos saber o seu resultado a priori. Exemplos: Não é possível saber qual será a produção por hectare de uma linhagem X de feijão. Germinação de sementes. Sobrevivências de enxertos. Cor da flor resultante de um cruzamento entre duas plantas, etc... Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências 24

25 Modelos probabilísticos São modelos que permitem, sem a observação direta do fenômeno aleatório, reproduzir de maneira razoável a distribuição de frequências, as quais só poderiam ser construídas quando o fenômeno fosse observado diretamente. Condições / Pressuposições 1. Deve ser sempre possível repetir a experiência indefinidamente, fixada certas condições iniciais. 2. Deve ser impossível influenciar no resultado de uma particular repetição da experiência. Os resultados podem apresentar VARIAÇÕES, mesmo quando repetidos em condições uniformes (equiprováveis), sem que se possa ter controle sobre os mesmos. Entretanto, os possíveis resultados podem ser identificados previamente. 25

26 Probabilidade É um ramo da matemática com grande aplicação na estatística. 26

27 História A idéia de resultado aleatório (que ocorre ao acaso) surgiu com os Jogos de azar (jogos de dados, jogo de cartas, loterias, roleta) século XVII com: Chevalier de Meré: jogador/apostador que viveu na França e pensou ter descoberto uma maneira de ganhar dinheiro com apostas em um jogo de dados. Levando-o ao sucesso e a falência. Intrigado, Méré escreveu uma carta para Pascal que resolveu o problema em conjunto com Fermat. Chevalier de Meré Surgimento de um novo ramo na matemática, a Probabilidade. 27 Pierre de Fermat Blaise Pascal

28 História da Probabilidade A base matemática surgiu com: BERNOUILLI (1713), faz a relação entre PROBABILIDADE e FREQUÊNCIA RELATIVA. MOIVRE (1718), ampliar os horizontes da teoria, estendendo os problemas de jogos de azar para estudo de problemas de SEGUROS, DEMOGRAFIA, etc. GAUSS e QUETELET (século XIX) publicaram trabalhos relacionados com LAPLACE (1818) TEORIA DOS ERROS e DEMOGRAFIA. mostrou outras aplicações. 28

29 Hoje Se quiserem saber mais: Essa teoria é amplamente aplicada em diversos campos: CIÊNCIAS EXATAS; PSICOLOGIA; ECONOMIA; ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS; MEDICINA; VETERINÁRIA; ZOOTECNIA; AGRONOMIA FLORESTAL...etc. 29

30 O que é probabilidade? Probabilidade É uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos de um espaço amostral. Em palavras: Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 ou 0% a 100%. Interpretação: Seja A um evento qualquer de, sua probabilidade será denotada por P(A), que é um número entre 0 e 1, que indica a chance de ocorrência de A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência de A; e Quanto mais próxima de 0 é P(A), menor é a chance de ocorrência de A. 30

31 Matematicamente: Probabilidade Uma função P(.), definida nos subconjuntos de e com valores em [0,1] é uma probabilidade se satisfaz as condições (Axiomas de Kolmogorov): 1. 0 P(A) 1, A Ω; 2. P(Ω)=1 e P()=0; 3. Para A j eventos disjuntos tem-se que: P n j1 A j n j1 P( A j ) 31

32 Atividade: Em grupos de 4, faça: Resultados Cara (C) Coroa (K) n. de lançamentos (1 moeda) 8 f r 15 f r 30 f r Resultados (K, K) (C,K) (K,C) (C,C) n. de lançamentos (2 moedas) 10 f r 35 f r 32

33 Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? Exemplo Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado). Existem duas maneiras: a) Primeira maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a probabilidade de ocorrência será igual a frequência relativa de cada observação. (exercício) n Freq. relativa tende à probabilidade Quando n tende ao infinito (n ) a freq relativa parece se aproximar de um certo limite. Chamamos esta propriedade empírica de estabilidade da freq. relativa. Observamos que a forma pela qual a frequência relativa se aproxima do limite é bastante irregular. O limite para o qual tende a freq. relativa é denominado probabilidade. 33

34 Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? Exemplo Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado). Existem duas maneiras: b) Segunda maneira: Não temos nenhuma razão para privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não viciado. Então podemos considerar que todas as faces tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6. Definição frequentista Seja A, então: P( A) n A n n. de ocorrências do evento A n. de observações (resultados possíveis) 34

35 Contudo, há situações em que a repetição do experimento não pode ser realizada e outra em que não pode ser realizada em idênticas condições: a) Um paciente é submetido a um novo tipo de cirurgia e desejamos saber se ele ficará bom. (impossível repetir nas mesmas condições) b) Desejamos saber se haverá um tremor de terra no Rio Grande do Norte no próximo ano. (caso raro) c) Desejamos saber quem vencerá o próximo jogo entre São Paulo e Palmeiras. (as condições variam bastante) Probabilidade subjetiva é um valor entre 0 e 1, que representa um ponto de vista pessoal sobre a possibilidade de ocorrer determinado evento. Predomina nas decisões administrativas, nas aplicações financeiras, na especulação e nos jogos de azar. 35

36 No entanto, no controle da qualidade de produtos produzidos por uma empresa, por exemplo, só tem sentido calcular frequências relativas. Exemplo Um empresário abre um restaurante em uma cidade turística, acreditando que tem 80% de probabilidade (uma estimativa subjetiva) de sucesso. OBS: Ele poderia ter medido essa probabilidade por meio de uma pesquisa de mercado, que seria realizada por profissionais. Isso custaria tempo e dinheiro, mas seria uma forma objetiva de estimar a probabilidade de sucesso no empreendimento (ou o risco de fracasso). 36

37 Aplicação 1 Mega Sena O jogo da mega sena consiste em escolher 6 dezenas entre 01 e 60. 1) Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo? Logo, a probabilidade de ganhar o prêmio máximo é em 50 milhões: , ou seja, uma chance 37

38 Aplicação 1 Mega Sena O jogador pode marcar num cartão de 6 a 15 dezenas. Os custos (em reais) de cada jogo estão relacionados na tabela: Dezenas Custo 6 3, , , , , , , , , ,50 2) Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 24,50? Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou 7 jogos com 6 dezenas são ações equiprováveis (equivalentes em termo de probabilidade ganhar). 38

39 Aplicação 2 Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2013 Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total (Curso) Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total (Sexo) Por exemplo: Evento M: escolher ao acaso um aluno e ele estar matriculado no curso de matemática pura. 1. Descreva graficamente o espaço amostral. 2. Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado no curso de matemática pura? 3. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino? 4. Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar matriculado no curso matemática aplicada? 5. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicada ou ser homem? 39

40 Resposta 1. Descrever o espaço amostral graficamente: Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total (Curso) Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total (Sexo)

41 2. Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado no curso de matemática pura? P(M) = 110/200 = 0,55 3. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino? P(H) = 115/200 = 0, Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar matriculado no curso matemática aplicada? P(A H) = 15/200 = 0,075 Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total (Curso) Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total (Sexo)

42 5. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicada ou ser homem? P(A H) = P(A) + P(H) P(A H) = 30/ /200 15/200 = 130/200 = 0,65 42

43 Regra da adição de probabilidades Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da adição de probabilidades é dada por: P(U V) = P(U) + P(V) P(U V) Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos, a regra é dada por: P(U V) = P(U) + P(V) 43

44 Evento complementar Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total (Curso) Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total (Sexo) Suponha agora que queremos calcular a probabilidade de aluno NÃO estar matriculado no curso da computação: P(C c ) = P(Ω) P(C) = 1 P(C) = 1 30/200 = 170/200 = 0,85 Propriedade P(A) + P(A c ) = 1 44

45 Exemplo 1 Dois dados são jogados e sua soma é anotada. (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) a) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 = A. P(A) = 3/36 = 1/12 = 0,083 b) Determine a probabilidade de que a soma seja 11 = B. P(B) = 2/36 = 1/18 = 0,056 c) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = (3+2+0)/36 = 0,139 45

46 Exercício em sala Suponha que a cultura de feijão apresenta plantas resistentes e susceptíveis ao fungo da ferrugem e associada à resistência ao fungo tem-se a característica de precocidade da cultura. Suponha que a tabela a seguir represente uma possível divisão de uma população de plantas de feijão. Tabela 1. Distribuição de plantas de feijão segundo a resistência ao fungo da ferrugem e precocidade. Precocidade Resistência Precoce Intermediária Tardia Total Resistente Susceptível Total Considere o experimento: Selecionar ao acaso uma planta e determinar sua resistência ao fungo da ferrugem e sua precocidade. Considere ainda os seguintes eventos: Evento A: ser resistente ao fungo da ferrugem; Evento B: ser susceptível ao fungo da ferrugem; Evento C: ser uma variedade precoce; Evento D: ser uma variedade intermediária; Evento E: ser uma variedade tardia. Calcule as probabilidades: P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) = P(A B) = P(A C) = P(A D) = P(A E) = P(B C) = P(B D) = P(B E) = P(C D) = P(C E) = P(D E) = P(A B) = P(A C) = P(A D) = P(A E) = P(B C) = P(B D) = P(B E) = P(C D) = P(C E) = P(D E) = 46

47 Tarefa 3 De um grupo de duas mulheres (M) e três homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião. Defina o espaço amostral. Ω = {H, M} Defina os eventos: E 1 = {H} ou E 2 = {M} Calcule as probabilidades. Qual a probabilidade de o presidente ser: a) do sexo masculino? b) do sexo feminino? 47

48 Tarefa 4 Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos: A = soma dos números obtidos igual a 9 e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. a) Enumere os elementos de A e B. A = {(3,6), (4,5),(5,4), (6,3)} B = {(4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2),(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} b) Obtenha: A B ; A B ; e A c. c) Obtenha as probabilidades do item anterior. 48