Probabilidade: aula 2, 3 e 4

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1 Probabilidade: aula 2, 3 e 4

2 Regras de contagem e combinatória Permutação Simples: Exemplo: De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar em um automóvel com 5 lugares, se apenas uma delas sabe dirigir? Atividade: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra UNISO?

3 Permutação com elementos repetidos Se na permutação de n elementos existirem elementos que apareçam x vezez, y vezes, etc. Então o total de permutações será:

4 Permutação com elementos repetidos Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados pela palavra CARACOL? Resp.: 7!/2!2! Atividade: Quantos anagramas da palavra armagura... a) Começam com a letra A? b) Começam com a letra U?

5 Combinação simples Dado um conjunto qualquer de n elementos e sendo p um número inteiro e positivo tal que p <= n, chama-se combinação simples dos n elementos dados, agrupados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos, formados com elementos do conjunto. O número de combinações simples é dado por:

6 Atividade: Quantas comissões de quatro pessoas podem ser formadas com um grupo de 8 pessoas? Resp.: 70 Com 4 professores de Matemática, 3 de Português e 3 de geografia quantas comissões podem ser formadas: a) Composta de 3 professores. Resp.: 120 b) Composta de 4 professores. Resp.: 210 c) Com 4 professores sendo que cada comissão deve conter, pelo menos, um professor de Português. Resp.: 175

7 Variável Aleatória Dada uma experiência aleatória, podemos sempre associar a seus resultados (eventos) mutuamente exclusivos uma probabilidade. É claro que esses resultados podem ser expressos sempre numericamente, mesmo quando têm natureza qualitativa (neste caso, mediante uma convenção adequada, associamos a cada resultado um número). Podemos então considerar uma variável X, que assume um valor numérico cada vez que ocorre um evento. A esta grandeza numérica, que assume diferentes valores, estando cada um destes valores associado a uma certa probabilidade, dá-se o nome de variável aleatória.

8 Variável Aleatória Discreta A variável aleatória é dita discreta quando pode assumir um número finito de valores dentro de um intervalo finito (por exemplo, quando efetuamos contagens). Exemplos: quantidade de artigos defeituosos, número de pessoas residentes em um determinado bairro, etc.

9 Variável Aleatória Contínua A variável é dita contínua quando pode assumir, em um determinado intervalo de números reais, um número qualquer. Exemplo: Salário, estatura, consumo médio de um veículo, etc.

10 Modelos de Distribuição de Variável Discreta: Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli é utilizada quando só podem existir duas alternativas de resultados: Sucesso: quando ocorre o evento que estamos interessados. Fracasso (ou insucesso): quando o evento não ocorre.

11 Distribuição Binomial A Distribuição Binomial é aplicável sempre que a amostragem for do tipo Bernoulli. Trata-se de uma distribuição de probabilidade, relacionada ao sucesso ou fracasso de um determinado evento.

12 Distribuição Binomial: conceituação (Guerra,1982) Seja uma experiência aleatória que possa ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização desse evento E (sucesso) ou a não realização deste Evento E (fracasso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

13 Distribuição Binomial: conceituação (Guerra,1982) Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas provas independentes, e então o número de vezes em que o Evento (não ocorre E) será (n-x). Considerando X como variável aleatória, temos então definida a Distribuição Binomial.

14 Distribuição Binomial Para determinarmos a probabilidade, em Distribuição Binomial, de ocorrência de sucesso, utilizamos a seguinte fórmula: p é a probabilidade de sucesso 1-p é a probabilidade de fracasso (ou insucesso) Lembrete:

15 Distribuição binomial: parâmetros de distribuição

16 Atividades Num processo de fabricação, a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa é 20%. Retirando-se 5 peças produzidas por esse processo, qual a probabilidade de encontrarmos 2 peças defeituosas? Calcular a média e o desvio padrão da variável aleatória formada pelo número de peças defeituosas que ocorrem num total de 5 peças quando a probabilidade de cada peça sair defeituosa é de 20%.

17 Distribuição Normal A Distribuição Normal, segundo Barrow (2007), é originária de estudos sobre funções realizados pelo matemático Carl Friederich Gauss no século XIX. Trata-se de uma função de densidade de probabilidade de função. De acordo com Guerra e Donaire (1982) esta distribuição é dita Normal por serem freqüentemente encontradas em estudos estatísticos aplicados; está relacionada com o estudo de variáveis aleatórias contínuas como, por exemplo, valores relacionados altura de pessoas e produção de peças industriais. Elas são ditas contínuas porque os valores possíveis pertencem a um intervalo de números reais (BUSSAB e MORETTIN, 2010).

18 Distribuição Normal A variável aleatória x, que toma todos os valores reais, tem uma distribuição normal se sua função de densidade de probabilidade for da forma: = média da distribuição = desvio-padrão da distribuição

19 A função de Densidade de probabilidade Propriedades: 1) A distribuição é simétrica em relação à média. 2) A média é a moda da distribuição. 3) A função é sempre positiva. 4) Admite pontos de inflexão para

20 Atividade Um processo de fabricação produz peças com comprimento médio de 500 mm e desvio padrão de 10 mm. Qual a porcentagem de peças que se situam: a) Acima de 510 mm b) Entre 490 e 510 mm c) Entre 480 e 520 mm d) Entre 490 e 500 mm e) Abaixo de 495 mm

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