UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Licenciatura em Matemática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Licenciatura em Matemática 1 a Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística 1. Suponha que o conjunto universo seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam A = {2,3,4}, B = {3,4,5} e C = {5,6,7}. Enumere os elementos dos seguintes conjuntos: a) A c B b) A c B c) [A c B c ] c e) [A (B C)] c d) [A (B C) c ] c 2. Suponha que o conjunto universo U seja dado por U = {x R; 0 x 2}. Sejam os conjuntos A e B definidos da forma seguinte: A = {x R;1/2 < x 1} e B = {x R;1/4 x < 3/2}. Descreva os seguintes conjuntos: a) (A B) c b) A B c c) (A B) c d) A c B 3. Prove que A B se, e somente se, A B = A. 4. Prove que A B se, e somente se, A B = B. 5. Prove que A c B c = B A. 6. Prove que A B = (A c B c ) c. 7. Prove que A B = A B c. 8. Prove que se A B =, então A B c. 9. Prove que se A B, então A (B A) = B. 10. Mostre que A B C se, e somente se, A B e A C. 11. Uma experiência envolve o arremesso de dois dados perfeitos e o registo dos números que saem. Descreva os elementos que compõem um espaço amostral. 12. Uma experiência consiste em arremessar uma moeda 3 vezes ao ar. Qual é um espaço amostral desta experiência? Que evento corresponde à experiência resultante em mais caras do que coroas? 13. Uma experiência consiste num lançamento de uma moeda até se obter uma coroa. Descreva os elementos que compõem o espaço de resultados. 14. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar uma moeda até sairem duas caras consecutivas ou tiverem sido feitos 4 lançamentos. Descreva o espaço de resultados associado a esta experiência. 15. Sejam E, F, G três eventos. Deduza as expressões envolvendo E, F, G para os seguintes eventos: a) Somente o evento E ocorre; b) Os eventos E e G ocorrem mas o evento F não; c) Pelo menos um dos eventos ocorre; d) Exatamente um dos eventos ocorre;

2 e) Exatamente dois dos eventos ocorrem; f) Não mais de dois eventos ocorrem simultâneamente. 16. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? a) 90 b) 21 c) 240 d) 38 e) De um grupo de estudos de vinte pessoas, onde só seis são médicos, deseja-se formar comissões de dez pessoas, sendo que todos os médicos devem ser incluídos em cada comissão. Determine o número de formas para elaboraras comissões. 18. Um feirante possui, em sua banca, maçãs, peras e laranjas em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de modo que cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantos tipos de pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela? 19. O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de uma firma, é k. Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente podemos formar k + 3 comissões diferentes. Determine o valor de n. 20. Existem n maneiras de distriuir 7 moedas de valores diferentes entre duas pessoas. Excluindo-se a possibilidade de uma só receber todas as moedas, determine o valor de n. n! 21. O símbolo C n,k é definido por k!(n k)! para n 0 com 0! = 1. Estes números C n,k são inteiros e aparecem como coeficientes no desenvolvimento de (a+b) n. a) Mostre que C n,k 1 +C n,k = C n+1,p. b) Seja S = C n,0 +C n,1 + +C n,n. Calcule log 2 S. 22. Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais somente duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. Determine o valor de n. n ( ) n 23. Mostre que ( 1) j = 0. j j=0 Sugestão: Use o teorema binomial. 24. a) Prove por argumentos combinatórios, que: ( ) ( ) n n k = (n k +1), sendo n,p N tais que n p 1. k p 1 Sugestão: Considere um grupo de n objetos distintos e escolha k desses objetos, considerando um deles como especial. b) Use o resultado do item a) para simplificar o somatório abaixo: n 1 i=0 (i+1) ( ) n i+1 ( n. i) 25. De um grupo de n pessoas, suponha que queiramos escolher um comitê de k pessoas, com k n, das quais uma delas será designada a presidente.

3 a) Mantendo ( o) foco primeiro na escolha do comitê e então na escolha do presidente, mostre n que há k escolhas possíveis. k b) Mantendo o foco primeiro na escolha dos membros do comitê que não serão ( escolhidos ) como n presidente e então na escolha do presidente, mostre que há (n k + 1) escolhas k 1 possíveis. c) Mantendo o foco primeiro na ( escolha ) do presidente e então na escolha dos demais membros n 1 do comitê, mostre que há n escolhas possíveis. k 1 d) Conclua das letras a), b) e c) que ( ) ( ) ( ) n n n 1 k = (n k +1) = n. k k 1 k 1 e) Use a definição fatorial de ( ) m para verificar a identidade mostrada na letra d). r 26. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) ambas terem olhos azuis. b) nenhuma ter olhos azuis. c) pelo menos uma ter olhos azuis. 27. Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho com 52 cartas. Determine a probabilidade de: a) serem ambas de espadas. b) uma ser de espadas e a outra ser de copas. 28. Numa turma, 70% dos alunos praticam ginástica, 10% jogam futebol e 6% praticam ginástica e jogam futebol. Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso dessa turma, praticar ginástica ou jogar futebol? 29. Dois estudantes A e B do primeiro ano de um curso superior têm as probabilidades de se licenciar respectivamente iguais a 1/6 e 1/4. Utilizando as letras A e B para indicar os eventos Licencia-se o aluno A e Licencia-se o aluno B, represente, com a ajuda da álgebra de conjuntos, os eventos seguintes e calcule as respectivas probabilidades: a) Ambos se licenciam. b) Pelo menos um se licencia. c) Nem um nem outro se licencia. d) Somente um se licencia. 30. Tendo-se lançado dois dados perfeitos ao ar (dados sem defeitos), achar a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja par e que se tenha obtido pelo menos um seis.

4 31. Mostre que, para quaisquer eventos A e B, tem-se P(A A B) P(A B). 32. Seja A B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível. a) P(A B) b) P(A B c ) c) P(B A) d) P(B A c ) 33. Sejam A e B dois eventos aleatórios. Mostre que: a) P(A B) P(A) P(A B) P(A)+P(B). b) P(A B c ) = P(A)[1 P(B A)], supondo P(A) 0 e P(B) 1. 1 P(B) c) P[(A B c ) (A c B)] = P(A)+P(B) 2P(A B). d) P(B) = P(A)P(B A) P(A)P(B A c )+P(B A c ), supondo 0 < P(A) < 1. e) max{0,p(a)+p(b) 1} P(A B) min{p(a),p(b)} 34. Mostre que, se P(A B) = 1, então P(B c A c ) = Sejam A, B e C três eventos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos num espaço amostral Ω. Mostre que: P(A C B C) = P(A B C) = P(A B C) P(B C) 36. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta). a) Sendo A e B não-vazios, P(A B) é sempre positiva. b) Sendo P(A) = 3 4 e P(Bc ) = 2, A e B não podem ser disjuntos. 3 c) Sendo A e B independentes então P(A B) é sempre positiva. d) Não existe um evento A tal que P(A) P(A c ) = 3 4. e) Se P(A B) = 0 então P(A) P(B) = 0. f) Se P(A) = 1 4 e P(B) = 1 3 então P(A B) Demonstre que dois eventos com probabilidade positiva e disjuntos nunca são independentes. 38. Sejam A e B eventos aleatórios. a) Prove que se A e B são independentes, então: i) A c e B são independentes; ii) A e B c são independentes; iii) A c e B c são independentes; b) Prove que se P(B) 0, então P(A c B) = 1 P(A B). 39. Sabendo que P(A) = 2 3, P(B) = 1 2 e P(A B) = 1 3, determine: P(Ac ), P(A B), P(A c B c ), P(A c B), P(A B c ) e P(A c B c ). 40. Considere os eventos A, B e C em que P(A) = 1 4, P(B) = 3, A e C são mutuamente exclusivos 8 e P(A B) = 1 8. Calcule P(A B), P(Ac B) e P(C c A). 41. Sabendo que P(A) = 0.5 e que P(A B) = 0.6, determine P(B) se: a) A e B forem disjuntos.

5 b) A e B forem independentes. c) P(A B) = Qual a probabilidade de avaria do sistema de transmissão abaixo representado? Assuma que os diferente elementos têm a mesma probabilidade p de avariar e que eles avariam independentemente uns dos outros. O sistema funciona se a corrente puder entrar e sair, isto é, se existir pelo menos um canal de transmissão entre a entrada e a saída do circuito. 43. Selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 50 alunos da Universidade Federal de Mato Grosso e as pesquisas feitas encontram-se representadas na seguinte tabela: Curso de Informática (B 1 ) Outros Cursos (B 2 ) Total Alunos sem computador (A 1 ) Alunos com computador (A 2 ) Total Escolhendo ao acaso um estudante da amostra, determine a probabilidade de: a) P(A 1 B 1 ) b) P(A 2 B 1 ) c) P(A 1 B 1 ) d) P(A 2 B 1 ) e) P(B 2 A 2 ) 44. Uma cadeia com três lojasa,b ec têm respectivamente 50, 75 e 100 empregados. A percentagem de mulheres a trabalhar em cada uma dessas lojas é 50, 60 e 70, respectivamente. No final de cada mês é nomeado o empregado do mês. Qual a probabilidade desse empregado trabalhar na loja C, sabendo que é mulher. 45. Numa fábrica de produção em série, existem três inspectores X, Y e Z, cada um deles responsável pela verificação de 20%, 30% e 50% dos artigos produzidos. A probabilidade do inspector X deixar passar um artigo defeituoso é 0,05; a probabilidade do inspector Y deixar passar um artigo defeituoso é 0,10 e a probabilidade do inspector Z cometer o mesmo erro é 0,15. Escolhase ao acaso um artigo que foi inspeccionado. a) Qual a probabilidade de que seja um artigo defeituoso? b) Sendo defeituoso, qual a probabilidade de ter sido X a inspeccioná-lo? c) Sendo defeituoso, qual a probabilidade de ter sido Z a inspeccioná-lo? 46. Num determinado jogo de azar, o objetivo é obter um seis no lançamento de um dado retirado ao acaso de uma urna onde existem três dados diferentes. Um desses dados tem três faces com o número seis; um outro dado é viciado, havendo a probabilidade de 2/6 de sair um seis; um terceiro dado é normal (não viciado). Qual a probabilidade de obter um seis neste jogo? 47. Uma bolsa contém moedas de prata e de cobre em igual número. Extraem-se ao acaso duas moedas. Calcule a probabilidade de: a) a segunda moeda extraída ser de prata, sabendo que a primeira foi de cobre. b) sair uma moeda de prata na segunda extracção. c) uma e só uma das moedas ser de prata. d) pelo menos uma das moedas ser de cobre. 48. Considere-se um cesto grande que contém 4 sacos, cada um com 25 bolbos de túlipas. Sabe-se que em 3 dos 4 sacos existem 5 bolbos para túlipas vermelhas e 20 para túlipas amarelas; o saco restante contém 15 bolbos para túlipas vermelhas e 10 para túlipas amarelas. Escolhe-se aleatoriamente um dos sacos e planta-se um bolbo retirado ao acaso do saco selecionado. Qual é a probabilidade de: a) se produzir uma túlipa vermelha?

6 b) se produzir uma túlipa amarela? c) sabendo que a túlipa produzida é vermelha, se ter escolhido o saco que continha 15 bolbos para túlipas vermelhas e 10 para túlipas amarelas. 49. Num centro de cálculo existem três impressoras A, B e C que imprimem a velocidades diferentes. A probabilidade de um ficheiro ser enviado para as impressoras A, B e C é respectivamente 0,6, 0,3 e 0,1. Ocasionalmente a impressora avaria-se e destrói a impressão. As impressoras A, B ou C avariam-se, respectivamente, com probabilidade 0,01, 0,05 e 0,04. A impressão de um ficheiro foi destruída! Qual a probabilidade de ter sido enviada para a impressora B?