3.3. Diga qual é o número médio e a variância dos animais que sobrevivem?

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1 1. Um treinador de andebol tem à sua disposição 20 jogadores dos quais deve selecionar 10 para formar uma equipa para um jogo. 12 dos jogadores são atacantes e os restantes saõ defesas Se o selecionador escolher ao acaso uma equipa, diga qual a distribuição (e respetivos parâmetros) da v.a. X número de atacantes escolhidos para a equipa de 10 jogadores? 1.2. Calcule a probabilidade de, uma equipa escolhida ao acaso ser formada por 6 atacantes. 2. De 200 declarações de IVA, sabe-se que 8 apresentam erros Se um fiscal selecionar 5 declarações, ao acaso, qual a probabilidade de vir a encontrar duas ou mais, que contenham erros? 2.2. Se selecionar ao acaso 5 declarações, qual a probabilidade de que pelo menos uma contenha erros?. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Considere que esse tratamento foi aplicado a 20 animais e se X é número de sobreviventes..1. Qual a distribuição da v.a. X?.2. Calcule a P16 X 18 e a 18 P X?.. Diga qual é o número médio e a variância dos animais que sobrevivem?. Um exame consta de 10 perguntas, cada uma com duas respostas possíveis. Para um aluno que responde ao acaso, qual a probabilidade de acertar pelo menos 5 das respostas? 5. Uma firma compra lâmpadas às centenas. Examina sempre uma amostra de 5 lâmpadas para verificar a qualidade das mesmas. Sabe-se que uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual a probabilidade aproximada de se escolher uma amostra: 5.1. com duas lâmpadas queimadas? 5.2. com pelo menos uma lâmpada queimada? 6. Se X é uma v.a. de distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabe-se que o valor médio dessa variável é e a sua variância é igual a 8. Determine o valor dos parâmetros da v.a. 7. Numa caixa com 10 lâmpadas, duas estão fundidas. Se retirarmos dessa caixa uma amostra de lâmpadas, determine a probabilidade de: 7.1. nenhuma ser defeituosa haver uma defeituosa. 7.. no máximo uma ser defeituosa. 1 / 5

2 8. A produção de camisas de uma fábrica é classificada em duas classes. A classe A, formada pelas camisas defeituosas, representando 5% do total e a classe B, das camisas boas, constituída por 95% do total. As camisas são armazenadas em caixas de 12 unidades.~ Calcule a probabilidade de uma caixa conter: 8.1. duas camisas defeituosas pelo menos camisas defeituosas. 8.. entre duas e 5 camisas defeituosas, incluindo os extremos. 9. Num baralho de 52 cartas extraem-se 1 com reposição. Qual a probabilidade de saírem ases? 10. Num lote de 8 peças existem defeituosas. Se desse lote forem retiradas aleatoriamente com reposição peças, qual a probabilidade de nelas se encontrarem 0, 1, 2 ou peças defeituosas? 11. Suponha que, em cada 120 candidatos a um emprego numa empresa de telecomunicações, só 80 têm as classificações pretendidas. Determine a probabilidade de que apenas 2 tenham as qualificações pretendidas num grupo de 5 candidatos para uma entrevista piloto. 12. Suponha que X é uma v.a. com distribuição de Poisson, Se P X 18 P X 1, calcule a P X 0 e a P X O número de nascimentos, por hora, numa certa maternidade é uma v.a. com distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos durante uma hora é de 0,68, determine a probabilidade de ocorrerem pelo menos nascimentos, numa hora. Qual o número médio de nascimentos por hora nesta maternidade? E o desvio padrão? 1. Registos históricos sobre o número de abalos sísmicos numa determinada região permitemnos dizer que o número anual de abalos sísmicos (com intensidade mínima de na escala de Richter) tem distribuição de Poisson de parâmetro Determine a probabilidade de não ocorrerem abalos sísmicos num ano Qual o número médio anual de abalos sísmicos? 1.. Nos próximos dois anos, qual a probabilidade de ocorrerem abalos sísmicos nesta região? 2 / 5

3 15. O serviço de mailing de uma empresa está encarregue de manter e desenvolver uma extensa lista de moradas de clientes. O serviço afirma que a probabilidade de qualquer dado da sua lista se encontrar desatualizado, dando assim origem a extravio da correspondência é de 0, Calcule o risco de mais de duas cartas se extraviarem, caso seja expedida uma remessa de 15 cartas Qual a probabilidade de, em duas remessas de 15 cartas, se extraviarem duas cartas? 15.. Indique o número médio de cartas extraviadas em 100 cartas expedidas e, para estas, determine aproximadamente a probabilidade de se extraviarem ou cartas. 16. O número médio anual de casos de intoxicação num grande complexo petroquímico segue uma distribuição de Poisson, de valor médio Qual o número médio de pessoas intoxicadas num período de seis meses? Qual a probabilidade de que, num ano, apareçam menos de pessoas intoxicadas? 16.. Qual a probabilidade de aparecerem, em sei meses, entre 5 e 8 pessoas intoxicadas? 16.. Qual a probabilidade de, num período de 10 anos, aparecerem 60 pacientes? 17. O número de telefonemas, num aparelho, em certo período de tempo segue uma distribuição de Poisson, cujo desvio padrão é 2. Qual a probabilidade de que não haja mais do que uma chamada nesse intervalo de tempo? 18. O número de automóveis que atravessam uma ponte durante um determinado período de tempo é uma v.a. com distribuição de Poisson. Admita que é 0,22 a probabilidade de não passar nenhum automóvel em 10 minutos? Qual a probabilidade de não passar nenhum automóvel em 10 minutos? Qual a probabilidade de, numa hora, atravessarem a ponte menos de automóveis? 19. Sabe-se que uma bactéria, após atacar um organismo, se distribui homogeneamente pelos seus tecidos, havendo, em média, 16 bactérias por 1 cm de sangue desse organismo. Sabendo que um ensaio clínico necessita encontrar numa amostra de sangue pelo menos 6 bactérias para que a doença possa ser detetada, determine a probabilidade de uma amostra de 0,5 cm não ser adequada para identificar a doença em causa. 20. Sabe-se que dois por cento parafusos produzidos por uma máquina automática são defeituosos. Se se armazenarem em caixas de 100 parafusos. Qual é a probabilidade de que uma caixa contenha ou ou 5 parafusos defeituosos? 21. Um jogo que consiste no lançamento de um dado equilibrado é vencedor o jogador que lançar o menor número de vezes até ocorrer o número 6. Qual a probabilidade de um jogador obter seis apenas na 5 tentativa? / 5

4 22. A probabilidade de existir uma falha num lançamento de uma nave espacial é de 10%. Qual a probabilidade de que para lançar a nave seja necessário: tentativas? no máximo tentativas? 22.. Calcule o número esperado de tentativas de lançamento da nave espacial. Calcule também a variância e o desvio padrão do número de tentativas de lançamento. 2. Em determinada localidade, a probabilidade de ocorrência de chuva forte em algum dia nos meses de dezembro e janeiro é igual a 0,1. Admitindo que existe independência de um dia para o outro, qual a probabilidade da ocorrência da primeira chuva no dia de janeiro? 2. A probabilidade de que uma droga apresente reação positiva é 0,. Qual a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? 25. Seja X o número de jogadas de uma dado equilibrado até que se observe um. Suponha que o dado já foi lançado 5 vezes sem sair um número. Qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de duas jogadas adicionais? 26. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de um em cinco. Numa mesa de testes, uma caixa destes componentes é colocada à prova. Determine a probabilidade do primeiro componente com defeito encontrado ocorrer apenas no sétimo componente testado. 27. Um investigador está a realizar experiências químicas independentes e sabe que a probabilidade de que cada experiência apresente uma reação positiva 0,. Qual é a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? 28. Considere a experiência em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira face nacional. Seja X a variável aleatória que conta o número de faces europeias obtidas na experiência (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira face nacional). Sabendo que a probabilidade de sair face nacional é de 0,, calcule as seguintes probabilidades e interprete o significado no contexto do problema P2 X P X 1 X P X 1 Bom trabalho!! / 5

5 Principais soluções Distribuição Binomial: n 10, p , , , Distribuição Binomial: n 20, p 0,8.2. P X P X , , E X np 16 V X np p. 0, , n 12, , , , , , , P X 0 1,2 1 p e 2 P X 81 P X e 1 e P X ,9207 P X 1 5e , P X 19. 0, , , P X P X 5 e 9 e 2 0, 20 1 X 2 P X P X P X P X 0, P X P X , 6 E X 1 X e E X , , , , E X 2,5 5 / 5