Essas medidas são chamadas de estimativas associadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras.

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1 Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão). Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o objetivo de organizar e resumir informações. Essas medidas são chamadas de estimativas associadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras. Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticos. 1

2 Modelos probabilísticos 2

3 Definição: Experimento determinístico é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados que ao serem repetidos nas mesmas condições conduzem ao mesmo resultado. Exemplo: Geometria: dado o lado de um quadrado, a área está determinada. Física: Todo corpo permanece em estado de repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele. Computadores: se você clicar sobre um ícone, você sabe (ou não sabe) o que vai acontecer. 3

4 Definição: Experimento aleatório é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplos: Metereologia: Condições climáticas do próximo domingo. Processos probabilísticos, os resultados têm um componente aleatório Economia: Taxa de inflação do próximo mês. Demografia: O sexo da próxima criança que irá nascer na cidade. Jogo de moedas (ou de dados): Ao lançar uma moeda uma vez, não sabe se sairá cara ou coroa. 4

5 Até o presente momento, estudamos, de forma impírica, isto é, sem uma justificativa científica (só descrevendo, mas não explicando), o comportamento dos fenômenos através da construção das distribuições de frequências. Aqui, temos especial interesse em experiências aleatórias, casuais, ou seja, experiências das quais não podemos saber o seu resultado a priori. Exemplos: Não é possível saber qual será a produção por hectare de uma linhagem X de feijão. Germinação de sementes. Sobrevivências de enxertos. Cor da flor resultante de um cruzamento entre duas plantas, etc... Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências. 5

6 Modelos probabilísticos São modelos que permitem, sem a observação direta do fenômeno aleatório, reproduzir de maneira razoável a distribuição de frequências, as quais só poderiam ser construídas quando o fenômeno fosse observado diretamente. Condições / Pressuposições 1. Deve ser sempre possível repetir a experiência indefinidamente, fixada certas condições iniciais. 2. Deve ser impossível influenciar no resultado de uma particular repetição da experiência. Os resultados podem apresentar VARIAÇÕES, mesmo quando repetidos em condições uniformes (equiprováveis), sem que se possa ter controle sobre os mesmos. Entretanto, os possíveis resultados podem ser identificados previamente. 6

7 Disciplina: Probabilidade É um ramo da matemática com grande aplicação na estatística. Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 7

8 História A idéia de resultado aleatório (que ocorre ao acaso) surgiu com os Jogos de azar (jogos de dados, jogo de cartas, loterias, roleta) século XVII com: Chevalier de Meré: jogador/apostador que viveu na França e pensou ter descoberto uma maneira de ganhar dinheiro com apostas em um jogo de dados. Levando-o ao sucesso e a falência. Intrigado, Méré escreveu uma carta para Pascal que resolveu o problema em conjunto com Fermat. Chevalier de Meré Surgimento de um novo ramo na matemática, a Probabilidade. 8 Pierre de Fermat Blaise Pascal

9 História da Probabilidade A base matemática surgiu com: BERNOUILLI (1713), faz a relação entre PROBABILIDADE e FREQUÊNCIA RELATIVA. MOIVRE (1718), estendeu os problemas de jogos de azar para estudo de problemas de SEGUROS, DEMOGRAFIA, etc. GAUSS e QUETELET (século XIX) publicaram trabalhos relacionados com LAPLACE (1818) TEORIA DOS ERROS e DEMOGRAFIA. mostrou outras aplicações. 9

10 Hoje Se quiserem saber mais: Essa teoria é amplamente aplicada em diversos campos: CIÊNCIAS EXATAS; PSICOLOGIA; ECONOMIA; ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS; MEDICINA; VETERINÁRIA; ZOOTECNIA; AGRONOMIA FLORESTAL...etc. 10

11 O que é probabilidade? Probabilidade É uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos de um espaço amostral. Em palavras: Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 ou 0% a 100%. Interpretação: Seja A um evento qualquer de, sua probabilidade será denotada por P(A), que é um número entre 0 e 1, que indica a chance de ocorrência de A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência de A; e Quanto mais próxima de 0 é P(A), menor é a chance de ocorrência de A. 11

12 Matematicamente: Probabilidade Uma função P(.), definida nos subconjuntos de e com valores em [0,1] é uma probabilidade se satisfaz as condições (Axiomas de Kolmogoroff): 1. 0 P(A) 1, A Ω; 2. P(Ω)=1 e P()=0; 3. Para A j eventos disjuntos tem-se que: P n j1 A j n j1 P( A j ) 12

13 Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? Exemplo Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado). Existem duas maneiras: 13

14 Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? a) Primeira maneira: Não temos nenhuma razão para privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não viciado. Então podemos considerar que todas as faces tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6. Definição frequentista Seja A, então: P( A) n A n n. de ocorrências do evento A n. de observações (resultados possíveis) 14

15 Exemplo 1 Mega Sena O jogo da mega sena consiste em escolher 6 dezenas entre 01 e 60. 1) Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo? 15

16 Tarefa 1 Mega Sena O jogador pode marcar num cartão de 6 a 15 dezenas. Os custos (em reais) de cada jogo estão relacionados na tabela: Dezenas Custo 6 3, , , , , , , , , ,50 2) Porque o jogo com 8 dezenas custa R$ 98,00? 3) Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 24,50? Porque com 7 dezenas podemos formar jogos de 7 dezenas. C 7 6 7,6 Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou 7 jogos com 6 dezenas são ações equiprováveis (equivalentes em termo de probabilidade ganhar). 7 16

17 Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? b) Segunda maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a probabilidade de ocorrência será igual a frequência relativa de cada observação. Vamos fazer um experimento? 17

18 Atividade Resultados (K, K) (C,K) (K,C) (C,C) n. de lançamentos (2 moedas) 36 f r Quando n tende ao infinito (n ) a frequencia relativa parece se aproximar de um certo limite. Tal propriedade empírica é chamada de estabilidade da frequência relativa. OBS: Note que a forma pela qual a frequência relativa se aproxima do limite é bastante irregular. O limite para o qual tende a frequência relativa é denominado probabilidade. 18

19 Exemplo 2 Um empresário abre um restaurante em uma cidade turística, acreditando que tem 80% de probabilidade de sucesso. estimativa subjetiva Ele poderia ter medido essa probabilidade por meio de uma pesquisa de mercado, que seria realizada por profissionais. OBS: Isso custaria tempo e dinheiro, mas seria uma forma objetiva de estimar a probabilidade de sucesso no empreendimento (ou o risco de fracasso). Dessa forma, por exemplo, o controle da qualidade de produtos produzidos por uma empresa, só tem sentido se calcularmos as frequências relativas. 19

20 Probabilidade subjetiva é um valor entre 0 e 1, que representa um ponto de vista pessoal sobre a possibilidade de ocorrer determinado evento. (Predomina nas decisões administrativas, nas aplicações financeiras, na especulação e nos jogos de azar). Contudo, há situações em que a repetição do experimento não pode ser realizada e outra em que não pode ser realizada em idênticas condições: a) Um paciente é submetido a um novo tipo de cirurgia e desejamos saber se ele ficará bom. (impossível repetir nas mesmas condições) b) Desejamos saber se haverá um tremor de terra no Rio Grande do Norte no próximo ano. (caso raro) c) Desejamos saber quem vencerá o próximo jogo entre São Paulo e Palmeiras. (as condições variam bastante) 20

21 Exemplo 4 Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018 Curso Total Matemática pura (M) 110 Matemática aplicada (A) 30 Estatística (E) 30 Computação (C) 30 Total 200 Evento M: escolher ao acaso um aluno e ele estar matriculado no curso de matemática pura. 1. Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado no curso de matemática pura? 2. Descreva graficamente o espaço amostral. 21

22 3. Qual é a probabilidade de um aluno NÃO estar matriculado no curso da computação? Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018 Curso \ Sexo Total Matemática pura (M) 110 Matemática aplicada (A) 30 Estatística (E) 30 Computação (C) 30 Total (Sexo) 200 Propriedade P(A) + P(A c ) = P(Ω) =1 22

23 Para o mesmo estudo, considere também a variável Sexo: Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018 Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total Descreva graficamente o espaço amostral. 5. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino? 6. Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar matriculado no curso matemática aplicada? 23

24 7. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicada ou ser homem? Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018 Curso \ Sexo Homens (H) Mulheres (F) Total Matemática pura (M) Matemática aplicada (A) Estatística (E) Computação (C) Total P(A H) = P(A) + P(H) P(A H) 24

25 Regra da adição de probabilidades Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da adição de probabilidades é dada por: P(U V) = P(U) + P(V) P(U V) Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos, a regra é dada por: P(U V) = P(U) + P(V) 25

26 Exemplo 5 Dois dados são jogados e sua soma é anotada. (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) a) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 = A. P(A) = 3/36 = 1/12 = 0,083 b) Determine a probabilidade de que a soma seja 11 = B. P(B) = 2/36 = 1/18 = 0,056 c) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = (3+2+0)/36 = 0,139 26

27 Exemplo 6 Suponha que a cultura de feijão apresenta plantas resistentes e susceptíveis ao fungo da ferrugem e associada à resistência ao fungo tem-se a característica de precocidade da cultura. Suponha que a tabela a seguir represente uma possível divisão de uma população de plantas de feijão. Tabela 1. Distribuição de plantas de feijão segundo a resistência ao fungo da ferrugem e precocidade. Precocidade Resistência Precoce Intermediária Tardia Total Resistente Susceptível Total Considere o experimento: Selecionar ao acaso uma planta e determinar sua resistência ao fungo da ferrugem e sua precocidade. Considere ainda os seguintes eventos: Evento A: ser resistente ao fungo da ferrugem; Evento B: ser susceptível ao fungo da ferrugem; Evento C: ser uma variedade precoce; Evento D: ser uma variedade intermediária; Evento E: ser uma variedade tardia. Calcule as probabilidades: P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) = P(A B) = P(A C) = P(A D) = P(A E) = P(B C) = P(B D) = P(B E) = P(C D) = P(C E) = P(D E) = P(A B) = P(A C) = P(A D) = P(A E) = P(B C) = P(B D) = P(B E) = P(C D) = P(C E) = P(D E) = 27

28 Tarefa 2 De um grupo de duas mulheres (M) e três homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião. Defina o espaço amostral. Ω = {H, M} Defina os eventos: E 1 = {H} ou E 2 = {M} Calcule as probabilidades. Qual a probabilidade de o presidente ser: a) do sexo masculino? b) do sexo feminino? P(E 1 ) = 3/5 = 0,6 P(E 2 ) = 2/5 = 0,4 28

29 Tarefa 3 Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos: A = soma dos números obtidos igual a 9 e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. a) Enumere os elementos de A e B. A = {(3,6), (4,5),(5,4), (6,3)} B = {(4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2),(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} b) Obtenha: A B ; A B ; e A c. c) Obtenha as probabilidades do item anterior. 29