Amostra Aleatória. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Amostra Aleatória Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Amostra Aleatória 1 Amostra aleatória 2 Estatística e parâmetros 3 Distribuições Amostrais Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 26

3 Amostra aleatória Passos para obtenção de uma amostra aleatória simples (AAS) 1 Utilizando um procedimento aleatório; 2 Sorteia-se um elemento da população; 3 Todos os elementos da população tem igual probabilidade de pertencer a amostra (independência); 4 Repete-se o procedimento até que sejam sorteadas as n unidades da amostra. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 26

4 Amostra aleatória Exemplo 10.7 Em uma urna, há cinco tiras de papel, numeradas: 1, 3, 5, 5, 7. Para retirar uma amostra aleatória de tamanho 2 desta urna: 1 Sorteia-se uma tira observa-se sua numeração e recolocada na urna; 2 Então, sorteia-se uma segunda tira. As possíveis amostras de tamanho n = 2 são: (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 7) (3, 1) (7, 7) Totalizando 25 possíveis amostras de tamanho 2. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 26

5 Amostra aleatória Denotando por X o resultado de cada extração. A distribuição de X pode ser representada por: X = x P(X = x) 1/5 1/5 2/5 1/5 Assim, a amostra aleatória de tamanho 2 pode ser representada de forma genérica pelo par ordenado (X 1, X 2 ) ou simplesmente X 1, X 2. Em que X 1 representa a primeira extração e X 2 a segunda extração. E tanto X 1 como X 2 com a mesma distribuição de X. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 26

6 Amostra aleatória Definição Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n de uma variável aleatória X, com dada distribuição, é o conjunto de n variáveis aleatórias independentes X 1, X 2,..., X n, cada uma com a mesma distribuição de X. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 26

7 Amostra aleatória 1 Quando a população é caracterizada por uma distribuição de probabilidade, o modo mais simples para sortear uma AAS é usar os procedimentos de simulação. 2 O processo de simular uma observação de uma distribuição especificada por seus parâmetros nada mais é do que retirar uma AAS de tamanho um da população; 3 Assim, para retirar uma AAS de n indivíduos da poupulação X, basta gerar n números aleatórios independentes dessa distribução. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 26

8 Amostra aleatória Exemplo 10.8 Retira-se uma AAS de 5 alturas (em cm) de uma população de mulheres cujas alturas X seguem a distribuição Normal(167, 25). Pode-se obter essa amostra no R por meio da sequência de códigos: > set.seed(1) > round(rnorm(n=5,mean=167,sd=5),0) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 26

9 Amostra aleatória Algumas possíveis amostras Amostras X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Amostra Amostra Amostra Amostra Amostra Amostra Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 26

10 Amostra aleatória Definição Dada uma população X contínua, com fdp f X (x). A fdp conjunta da amostra (X 1, X 2,..., X n ) será expressa por f X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) = f X1 (x 1 ) f X2 (x 2 )... f Xn (x n ) em que f i (x i ) denota a distribuição (marginal) de X i, i = 1,..., n. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 26

11 Estatística e parâmetros Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 26

12 Estatística e parâmetros Após a obtenção da amostra (X 1, X 2,..., X n ), muitas vezes é de interesse estudar características específicas dessa amostra; Por exemplo: Se o interesse é estudar a média amostral, essa será obtida por meio da expressão X = 1 n {X 1 + X X n } X é uma variável aleatória pois é função de variáveis aleatórias. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 12 / 26

13 Estatística e parâmetros Exemplo 10.8 Cont. Alturas (em cm) de uma população de mulheres cujas alturas X seguem a distribuição Normal(167, 25). Amostras X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X Amostra ,4 Amostra ,8 Amostra ,4 Amostra ,2 Amostra ,4 Amostra ,6 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 13 / 26

14 Estatística e parâmetros Definição Uma estatística T é uma função de X 1, X 2,..., X n, ou seja, uma função da amostra. Exemplo X = 1/n S 2 = 1 n 1 T = g(x 1, X 2,..., X n ) n X i média amostral; i=1 n (X i X ) 2 variância amostral; i=1 X (1) = min{x 1, X 2,..., X n } o menor valor da amostra; X (n) = max{x 1, X 2,..., X n } o maior valor da amostra; Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 14 / 26

15 Estatística e parâmetros Definição Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população. Exemplo Dada a população X, dois parâmetros de interesse podem ser µ = E(X ) σ 2 = Var(X ) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 26

16 Distribuições Amostrais Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 16 / 26

17 Distribuições Amostrais O objetivo da inferência estatística é fazer uma afirmação a respeito dos parâmetros da população através da amostra. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 26

18 Distribuições Amostrais 1 Seja θ um parâmetro da população X ; 2 E seja (X 1, X 2,..., X n ) uma amostra sorteada da população; 3 A afirmação sobre θ será baseada na estatística T, que é função da amostra, ou seja: T = g(x 1, X 2,..., X n ) ; 4 Após obtida a amostra, (x 1, x 2,..., x n ), obtém-se um valor particular de T, por exemplo: t 1 = g(x 1, x 2,..., x n ) ; 5 Se outras amostras fossem sorteadas outros valores para T seriam obtidos {t 1, t 2,..., t m } Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 18 / 26

19 Distribuições Amostrais Qual valor utilizar para estimar o parâmetro populacional θ? t 1 t 2 obtido da primeira amostra? obtido da segunda amostra?. t m obtido da m-ésima amostra? Faz-se necessário, portanto, estudar a distribuição amostral da estatística T. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 19 / 26

20 Distribuições Amostrais Exemplo 10.9 Dada a população Descreva a distribuição da estatística X = x P(X = x) 1/5 1/5 2/5 1/5 O espaço amostral é: X = X 1 + X 2 2. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (7, 7)}, com #Ω = 25 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 20 / 26

21 Distribuições Amostrais Note que P( X = 1) = ( X1 + X 2 P 2 ) = 1 = P(X 1 + X 2 = 2) = P(X 1 = 1, X 2 = 1) = P(X 1 = 1)P(X 2 = 1 X 1 = 1) = 1/5 1/5 = 1/25. Logo a distribuição amostral da estatística X é dada por X = x Total P( X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 21 / 26

22 Distribuições Amostrais Distribuição de X Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 22 / 26

23 Distribuições Amostrais Exemplo Qual seria a distribuição amostral da mediana das alturas de amostras de 5 mulheres retidas da população X Normal(167, 25)? Note que não é possível obter todas as amostras de tamanho 5 da população X (variável contínua). Portanto, deve-se simular uma quantidade grande de amostras e estudar sua distribuição. Simulando 200 amostras tem-se: E(Md) = 166, 9727 Var(Md) = 5, 6829 dp(md) = 2, 3838 Md 1 = 160, 1694 Md 200 = 172, 8020 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 23 / 26

24 Distribuições Amostrais Pode-se obter as 200 amostras no R por meio da sequência de códigos: > amostras=matrix(data=0,nrow=200,ncol=5) > medianas.amostras=matrix(data=0,nrow=200,ncol=1) > set.seed(1) > for(i in 1:200){ + amostras[i,]=rnorm(n=5,mean=167,sd=5) + medianas.amostras[i,1]=median(amostras[i,]) + } > Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 24 / 26

25 Distribuições Amostrais Distribuição amostral da mediana, obtida de 200 amostras Densidade População X ~ N(167, 25) Medianas das amostras Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 25 / 26

26 Distribuições Amostrais Para o lar Exercícios 4, 5 e 6 da página 280. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 26 / 26