MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística
|
|
- Renato Faria Bonilha
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise denise@ita.br 2o. semestre/2017
2 SEMANA 02: Roteiro Introdução à Teoria de Probabilidades: Definições iniciais Interpretações de probabilidade Definição axiomática Cálculo de probabilidades por simulação
3 Introdução à Teoria de Probabilidades
4 Probabilidade Estatística Probabilidade (Processo Dedutivo) Conclusões a respeito de características de uma amostra da população são alcançadas com base em atributos conhecidos da população. Estatística (Processo Indutivo) Conclusões a respeito de características da população são alcançadas com base em atributos observados em uma amostra da população. Probabilidade POPULAÇÃO AMOSTRA Estatística 4 / 33
5 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. 5 / 33
6 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. Queremos: investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos Para isso, precisamos... 5 / 33
7 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. Queremos: investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos Para isso, precisamos descrever a estrutura geral de tais modelos e suas propriedades. 5 / 33
8 Definições Iniciais Principais ingredientes Lei de Probabilidade Evento B Experimento Aleatório (E) Evento A P (A) P (B) Espaço Amostral (Ω) A B Eventos 6 / 33
9 Definições Iniciais Experimento Aleatório (E) Processo que pode (pelo menos conceitualmente) ser repetido indefinidamente sob condições idênticas. Sempre é possível obter um resultado que pertence a um conjunto fixo e conhecido de possibilidades. É chamado aleatório pois o resultado a ser obtido é desconhecido e imprevisível. Espaço Amostral (Ω) É o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório. Por causa da definição de espaço amostral em termos de conjuntos, será necessário revisar álgebra de conjuntos (para casa). 7 / 33
10 Definições Iniciais Exemplos (1) Exemplo 1: Experimento Aleatório: E 1 = lançar um dado Possíveis resultados: 1, 2,..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 8 / 33
11 Definições Iniciais Exemplos (1) Exemplo 1: Experimento Aleatório: E 1 = lançar um dado Possíveis resultados: 1, 2,..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Experimento Aleatório: E 2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Possíveis resultados: um possível resultado é uma sequência de números que representam os minutos de espera de cada indivíduo. Espaço amostral: R + Este experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Por exemplo, pode ser realizado todos os dias de uma mesma semana, mês, num determinado horário estabelecido. 8 / 33
12 Definições Iniciais Evento (A Ω) É qualquer subconjunto (conjunto de resultados) do Espaço Amostral. Um evento (A) é especificado por um conjunto de resultados de um experimento aleatório (E) que satisfaz determinadas condições. evento impossível evento complementar evento união eventos mutuamente exclusivos evento interseção partição do espaço amostral Lei de probabilidade (P[A]) Atribui a um determinado evento A um número não negativo que codifica nossa crença na propensão para a ocorrência de A. 9 / 33
13 Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E 1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A 1 = resultado é par = {2, 4, 6} A 2 = resultado > 4 = {5, 6} 10 / 33
14 Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E 1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A 1 = resultado é par = {2, 4, 6} A 2 = resultado > 4 = {5, 6} Exemplo 2 (cont.): E 2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Eventos: B 1 = tempo de espera < 10 min B 2 = tempo de espera = 5 min 10 / 33
15 Definições Iniciais Terminologia A formulação da Teoria de Probabilidades moderna baseia-se em conceitos fundamentais de Teoria de Conjuntos: Teoria de Conjuntos Teoria de Probabilidades Exemplo Experimento Aleatório E = Lançar um dado e observar resultado Conjunto universo Espaço amostral (Ω) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Elemento Resultado; observação {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Subconjunto Evento (A) A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 5} Conjunto vazio Evento nulo ( ) resultado maior que 6 Conjuntos disjuntos Eventos mutuamente exclusivos {1}, {2} União (A B) OU A B = {2, 3, 4, 5, 6} Interseção (A B) E A B = {2} Complemento (A, A C ) Evento complementar A C = {1, 3, 5} Diferença (A B) Diferença A B = {4, 6} 11 / 33
16 Interpretações de Probabilidade
17 Teoria de Probabilidades Origens França: 1654 Troca de correspondências entre Blaise Pascal e Pierre Fermat: Necessidade de determinar a probabilidade de certos resultados em jogos de azar. (enumeração combinatorial das possibilidades) Problema/Erro do Cavaleiro de Méré (Antoine Gombaud, ): A probabilidade de obter pelo menos um 6 em 4 lançamentos seguidos de um dado é a mesma de obter pelo menos um 6 duplo em 24 lançamentos de um par de dados. Blaise Pascal ( ) Pierre de Fermat ( ) Fonte: Encyclopaedia Britannica Monsieur le Chevalier de Méré is very bright, but he is not a mathematician, and that, as you know, is a very serious defect. (Pascal a Fermat) 13 / 33
18 Probabilidade medida de incerteza Precisamos definir a medida de incerteza que será utilizada para a análise de um determinado experimento aleatório. É importante uma escolha cuidadosa, pois tudo que a teoria matemática de probabilidades faz é calcular valores com base na medida definida. Várias interpretações do conceito de probabilidade tomam por base uma medida de probabilidade; veremos alguma a seguir. 14 / 33
19 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 P N (A) = n A N, onde: n A : N : número de resultados favoráveis número de resultados possíveis igualmente prováveis mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos 15 / 33
20 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 Premissas: Número N finito de resultados possíveis Hipótese de equiprobabilidade de resultados Princípio da indiferença N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes Deficiências: 16 / 33
21 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 Premissas: Número N finito de resultados possíveis Hipótese de equiprobabilidade de resultados Princípio da indiferença N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes Deficiências: Não faz sentido para N infinito Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de probabilidade que queremos definir Não é capaz de definir a probabilidade de eventos supostamente não equiprováveis 16 / 33
22 Interpretações de Probabilidade Definição Empírica ou de Frequência Relativa (a Posteriori) Richard V. Mises, 1936 n A : número de ocorrências do evento A P N (A) = N : número de repetições do experimento aleatório Premissas: n(a) lim N N Número suficientemente grande de repetições do experimento aleatório Condições uniformes para realização do experimento Princípio da Regularidade Estatística Deficiências: Definição de um número suficientemente grande Não é capaz de definir a probabilidade de eventos que não podem ser repetidos 17 / 33
23 Interpretações de Probabilidade Conceito Subjetivo Premissas: Não necessita da hipótese de repetição do experimento Probabilidade assinalada a um determinado é baseada nas experiências pessoais e informação individual sobre o processo Não há aferição do resultado Pode ser matematicamente formalizado sob determinadas condições de consistência Deficiências: Humanos são seres inconsistentes e contraditórios Não permite chegar a resultados únicos Uso limitado em aplicações científicas e de Engenharia 18 / 33
24 Definição Axiomática Função Probabilidade Álgebra de Eventos (A): Uma coleção de eventos é A quando são satisfeitas as seguintes condições: 1. Ω A 2. Se A A = A C A 3. Se A A e B A = A B A Função Probabilidade: (Kolmogorov, 1933) P : A R 1. Se A A = P[A] 0 2. P[Ω] = 1 3. A 1, A 2,..., eventos tais que A i i j A j = = P [ i=1 A i] = P[A i ] i=1 19 / 33
25 Definição Axiomática Função Probabilidade Definição matemática Estabelece conjunto de funções de probabilidade Não determina valor de P para um determinado evento conhecido A 20 / 33
26 Propriedades da Função Probabilidade (Consequências da definição axiomática) 1. P[ ] = 0 2. P [ n i=1 A i] = n i=1 P[A i] (se A 1, A 2,..., A n forem mutuamente exclusivos) 3. P[A] + P[A C ] = P[A] 1 5. P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] (Regra da Adição) outras propriedades demonstração através dos axiomas 21 / 33
27 Cálculo de Probabilidades por Simulação
28 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré Cavaleiro de Méré (Antoine Gombaud, ) Foi um escritor conhecido e figura importante na corte do rei Luis XIV, além de um aficcionado por jogos de azar. Em 1654, o Cavaleiro de Méré escreveu uma carta ao famoso matemático francês Blaise Pascal, pedindo ajuda na solução de problemas que tinha encontrado em sua experiência com jogos de azar. 23 / 33
29 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 1) O Cavaleiro costumava apostar que obteria pelo menos um 6 em quatro lançamentos seguidos de um dado. Utilizando esta estratégia, ganhava a aposta consistentemente e, a fim de incluir mais jogadores, modificou o jogo, passando a apostar que em 24 lançamentos de um par de dados, obteria pelo menos um duplo 6. A nova estratégia não funcionava na prática e o Cavaleiro passou a ter enormes prejuízos! Jogo de cartas em Versailles, 1694 Fonte: Wikimedia Commons, Court Cards 1694 Ele tinha a impressão que 25 (não 24) lançamentos seriam necessários para que o novo jogo lhe fosse favorável, mas não conseguia identificar o erro em sua solução matemática / 33
30 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 2) Solução (errada) do problema proposta pelo Cavaleiro de Méré: Ao lançar um dado, temos 1/6 de chance de obter um 6. Como 3 1/6 = 50% e 4 1/6 = 67%, preciso jogar o dado 4 vezes para tornar o jogo favorável. Quando jogamos um par de dados, temos 36 possibilidades, ou seja, 6 vezes mais possibilidades, comparado ao jogo anterior. Portanto, é necessário jogar o par de dados 6 4 = 24 vezes para ter chance maior que 50% de obter pelo menos um duplo / 33
31 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 3) Solução pela Definição Clássica EXPERIMENTO 1 Jogue um dado honesto 4 vezes. Qual a probabilidade de obter pelo menos um 6? Determinação do espaço amostral: Ω 1 = {A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6} em que: A0 = conjunto dos resultados em que nenhum 6 ocorre: = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1),..., (5, 5, 5, 5)} A1 = conjunto dos resultados em que ocorre um unico 6 : = {(6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1),..., (5, 5, 5, 6)} A2 = conjunto dos resultados em que ocorrem dois 6 A3 = conjunto dos resultados em que ocorrem três 6 A4 = conjunto dos resultados em que ocorrem quatro 6 = {(6, 6, 6, 6)} Note que os eventos A0, A1, A2, A3, A4 que compõem o espaço amostral não são equiprováveis. Precisamos definir um espaço amostral com resultados equiprováveis a fim de utilizar a definição clássica de probabilidade. 26 / 33
32 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 4) Solução pela Definição Clássica Portanto, Ω 1 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1),..., (5, 5, 5, 5), (6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1),..., (5, 5, 5, 6), (6, 6, 1, 1), (6, 1, 6, 1), (6, 1, 1, 6), (1, 6, 6, 1), (1, 6, 1, 6),..., (5, 5, 6, 6), (1, 6, 6, 6), (6, 1, 6, 6), (6, 6, 1, 6), (6, 6, 6, 1),..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6)} Pela definição clássica de probabilidades: PC.1 = n.favoráveis/n.possíveis O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω 1 ]= 6 x 6 x 6 x 6 = / 33
33 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 5) Solução pela Definição Clássica Os resultados favoráveis são obtidos pela união dos eventos A1, A2, A3, A4: Af.1 = A1 U A2 U A3 U A4 O número de resultados favoráveis é dado, então, pelo tamanho de Af.1, que pode ser mais facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar: Portanto: n.favoraveis = N[Af.1] = N[Ω 1 ] - N[A0] = 64 - (5 x 5 x 5 X 5) = PC.1 = 1 - (5/6) 4 = / 33
34 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 6) Solução pela Definição Clássica EXPERIMENTO 2 Jogue dois dados honestos 24 vezes. Qual a probabilidade de obter pelo menos um duplo 6? Determinação do espaço amostral: Ω 2 = {B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6,..., B24} em que: Bi = conjunto dos resultados em que i duplos 6 ocorrem Pela definição clássica de probabilidades: PC.2 = n.favoráveis/n.possíveis O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω 2 ]= (6 6) 24 = / 33
35 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 7) Solução pela Definição Clássica O número de resultados favoráveis pode ser facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar: n.favoraveis = N[Ω 2 ] - N[B0] Em cada lançamento do par de dados, são possíveis 36 resultados, em que apenas um resultado corresponde a um duplo 6. O evento B0, em que nenhum duplo 6 é obtido em 24 lançamentos pode ser observado de N[B0] maneiras: Então: Portanto: N[B0] = [(6x6) 1] 24 = n.favoráveis = PC.2 = 1 - (35/36) 24 = / 33
36 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 8) Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa) A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis / 33
37 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 8) Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa) A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis não entrem em pânico / 33
38 KEEP CALM AND USE R
39 OBRIGADA Denise B. Ferrari 2017
MB-210 Probabilidade e Estatística
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Apresentação
Leia maisProbabilidade. É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Probabilidade Introdução O trabalho estatístico se desenvolve a partir da observação de determinados fenômenos e emprega dados numéricos relacionados aos mesmos, para tirar conclusões que permitam conhecê-los
Leia maisProbabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Probabilidade Probabilidade Experimento Aleatório Um experimento é dito aleatório quando satisfaz
Leia mais1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades
1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades 1.1 Definição Frequentista Considere um experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado honesto. O espaço amostral desse experimento é Ω = {1, 2, 3,
Leia maisEscola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas. Probabilidades. Cristian Villegas
Probabilidades Cristian Villegas clobos@usp.br Setembro de 2013 Apostila de Estatística (Cristian Villegas) 1 Introdução Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas
Leia maisEssas medidas são chamadas de estimativas associadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras.
Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão). Poderemos
Leia mais14/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 1. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Revisão de conjuntos. Modelos Probabilísticos
Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176
Leia maisProbabilidades. Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer
Probabilidades Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer Universidade Federal do Paraná Departamento de Estatística Laboratório de Estatística e Geoinformação 06/03/2018 WB, EK, FM ( LEG/DEST/UFPR
Leia maisTratamento de Incertezas TIC MINTER-IFMT
Tratamento de Incertezas TIC-10.005 MINTER-IFMT Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.2/tic-10.005
Leia maisProbabilidade em espaços discretos. Prof.: Joni Fusinato
Probabilidade em espaços discretos Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Probabilidade em espaços discretos Definições de Probabilidade Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade
Leia maisDefinição: É uma coleção bem definida de
EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 1: Introdução à Probabilidade Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Conjuntos: Definição e notação Definição: É uma coleção bem definida de objetos,
Leia maisIntrodução à Probabilidade
A Teoria de Probabilidade é responsável pelo estudo de fenômenos que envolvem a incerteza (é impossível prever antecipadamente o resultado) e teve origem na teoria de jogos, servindo como ferramenta para
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23
I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 Probabilidade As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem
Leia maisTeoria das Probabilidades
08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto
Leia maisPROBABILIDADE 1. INTRODUÇÃO
proporção de caras Revisões PROBABILIDADE 1. INTRODUÇÃO As experiências aleatórias apresentam as seguintes características:.o resultado individual é imprevisível.são conhecidos todos os possíveis resultados.a
Leia maisTeoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das
Leia maisAULA 3 - Modelos probabiĺısticos, axiomas da probabilidade, espaços amostrais
AULA 3 - Modelos probabiĺısticos, axiomas da probabilidade, espaços amostrais Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Experimento não determinístico Definition (Experimento não determinístico)
Leia maisDisciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros. DTAiSeR-Ar
Disciplina: 221171 Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1 Revisão de conceitos Você sabe contar? 2 Análise combinatória É um dos tópicos que a matemática é dividida,
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 2012 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisDisciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar
Disciplina: 221171 Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio DTAiSeR-Ar 1 Revisão de conceitos Você sabe contar? 2 a) Quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados usando-se os
Leia maisTeoria da Probabilidade
Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos
Leia maisMétodos Estatísticos Básicos
Aula 6 - Introdução à probabilidade Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Experimento Experimento aleatório (E ): é um experimento que pode ser repetido indenidamente
Leia maisModelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 1 / 31 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14
Leia maisNOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
1 NOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 2 Experimentos aleatórios Definição 1. Experimentos aleatórios são experimentos que quando executados
Leia maisProbabilidade. Definição de Probabilidade Principais Teoremas Probabilidades dos Espaços Amostrais Espaços Amostrais Equiprováveis.
Probabilidade Definição de Probabilidade Principais Teoremas Probabilidades dos Espaços Amostrais Espaços Amostrais Equiprováveis Renata Souza Probabilidade É um conceito matemático que permite a quantificação
Leia maisExperiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos
Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos Experiência Aleatória É uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar; conhece-se o universo dos resultados
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Espaço Amostral, Eventos, Álgebra de eventos Aula de hoje Probabilidade Análise Combinatória Independência Probabilidade Experimentos
Leia maisProf. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução
Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da causa e efeito. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a
Leia maisEstatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2
Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2017/2 Aula #01 de Probabilidade: 27/09/2017 1 Probabilidade: incerteza? como medir e gerenciar a Introdução Os jornais informaram que há uma chance de 60% de chover
Leia maisResumo. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade. Ramiro Brito Willmersdorf Introdução.
Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco 2011.2 Resumo 1 Introdução 2 Espaço
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos
Leia maisCapítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições
Capítulo 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições Experimento Aleatório Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos
Leia maisREVISÃO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Parte 1
REVISÃO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Parte 1 Vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... Peço uma sopa? As outras opções são tão CARAS, e eu não sei quem está pagando... Será que
Leia maisNoções sobre probabilidade
Capítulo 3 Noções sobre probabilidade Um casal tem dois filhos. Qual é a probabilidade de: o primogênito ser homem? os dois filhos serem homens? pelo menos um dos filhos ser homem? A teoria das probabilidades
Leia maisEstatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade
Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação
Leia maisProbabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise
Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Você reconhece algum desses experimentos? Alguns
Leia maisPode ser a observação de um fenômeno natural:
MAE 116 Introdução à Probabilidade FEA -2º Semestre de 2017 1 Experimento Designaremos por Experimento todo processo que nos fornece dados: Pode ser a observação de um fenômeno natural: 4observação astronômica
Leia maisTeoria das probabilidades
Teoria das probabilidades Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 25 de abril de 2018 Londrina 1 / 22 Conceitos probabiĺısticos são necessários para se
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Probabilidades Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 09 de maio de 2018 Londrina 1 / 21 Conceitos probabiĺısticos são necessários
Leia maisChamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω.
PROBABILIDADE 1.0 Conceitos Gerais No caso em que os possíveis resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses
Leia maisEstatística Básica. Probabilidade. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais
Estatística Básica Probabilidade Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Lembrando... O que é Probabilidade? 2/29 Leitura Recomendada Na página da disciplina
Leia maisFernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative
Leia maisESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA
ESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA Prof Paulo Renato A. Firmino praf62@gmail.com Aulas 07-08 Probabilidade Apanhado Geral Seguimos nossas discussões sobre a Incerteza Decidir usualmente envolve incerteza Uma presa
Leia maisIntrodução a Probabilidade
Introdução a Probabilidade Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman Cronograma 1. Origem e história 2. Introdução 3. Definições básicas 4. Conceituação de probabilidade 5. Probabilidade
Leia maisMA12 - Unidade 17 Probabilidade
MA12 - Unidade 17 Probabilidade Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM 17 de Maio de 2013 Teoria da Probabilidade Teoria da Probabilidade: modelo matemático para incerteza. Objeto de estudo: experimentos
Leia maisT o e r o ia a da P oba ba i b lida d de
Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20 Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 2 / 20 Probabilidade
Leia maisProbabilidades. O cálculo de probabilidades teve a sua origem no estudo dos jogos de azar, principalmente nos jogos de dados.
Probabilidades O cálculo de probabilidades teve a sua origem no estudo dos jogos de azar, principalmente nos jogos de dados. Quando lançamos um dado, os resultados possíveis são sempre um dos elementos
Leia maisProbabilidade Parte 1. Camyla Moreno
Probabilidade Parte 1 Camyla Moreno Probabilidade A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Principais
Leia maisPROBABILIDADES PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
PROBABILIDADES Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a
Leia maisPROBABILIDADE. Luciana Santos da Silva Martino. PROFMAT - Colégio Pedro II. 01 de julho de 2017
Sumário PROBABILIDADE Luciana Santos da Silva Martino PROFMAT - Colégio Pedro II 01 de julho de 2017 Sumário 1 Conceitos Básicos 2 Probabildade Condicional 3 Espaço Amostral Infinito Outline 1 Conceitos
Leia mais3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE
3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação
Leia maisProbabilidade Condicional e Independência
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 17/08/2011 Probabilidade
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina Notes. Processos Estocásticos em Engenharia Conteúdo Notes.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 7 de março de 2016 Informação sobre a disciplina Terças e Quintas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor: Evelio
Leia maisProbabilidade. Prof. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07
Prof. Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana tiagodesantana@uel.br Sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA Definição: é uma função P, definida
Leia maisDisciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros. DTAiSeR-Ar
Disciplina: 221171 Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1 Revisão de conceitos Você sabe contar? (Análise Combinatória) 2 Análise combinatória É um dos tópicos que
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina. TE802 Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade. Evelio M. G.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 23 de agosto de 2017 Informação sobre a disciplina Segundas e Quartas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor:
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos
Leia maisTEORIA DA PROBABILIDADE
TEORIA DA PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 22 de maio de 2017 Introdução Conceitos probabiĺısticos são necessários
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Análise e Elaboração de Projetos Apresentação Prof Dr Isnard Martins Conteúdo: Profº Dr Carlos Alberto (Caio) Dantas Profº Dr Luiz Renato G. Fontes Prof Dr Victor Hugo Lachos
Leia maisCapítulo 4 Probabilidade. Seção 4-1 Visão Geral. Visão Geral. Regra do Evento Raro para Inferência Estatísticas:
4-1 Visão Geral 4-2 Fundamentos 4-3 Regra da Adição Capítulo 4 Probabilidade 4-4 Regra da Multiplicação: Pontos Básicos 4-5 Regra da Multiplicação: Complements e Probabilidade Condicional 4-6 Probabilidades
Leia maisProf.: Joni Fusinato
Introdução a Teoria da Probabilidade Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso
Leia maisModelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49 Conceitos Fundamentais Prof. Tarciana Liberal
Leia maisProbabilidade. Objetivos de Aprendizagem. UFMG-ICEx-EST. Cap. 2 - Probabilidade Espaços Amostrais e Eventos. 2.1.
2 ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES E AXIOMAS DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 2 / 35 Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Leia maisPrincípios de Estatística
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 05/10/2011 Probabilidade
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Prof. Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) 23 de fevereiro de 2018 Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) Teoria das 2018.1 1 / 54 Roteiro Experimento aleatório, espaço amostral, evento 1 Experimento aleatório, espaço
Leia maisNotas de Aula. Estatística Elementar. by Mario F. Triola. Tradução: Denis Santos
Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1 4-1 Visão Geral 4-2 Fundamentos 4-3 Regra da Adição Capítulo 4 Probabilidade 4-4 Regra da Multiplicação:
Leia maisConceitos básicos de teoria da probabilidade
Conceitos básicos de teoria da probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de
Leia maisProbabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1
Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisTEORIA DAS PROBABILIDADES
TEORIA DAS PROBABILIDADES 1.1 Introdução Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da
Leia mais1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis. Francisco Cysneiros
Probabilidade 1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis Francisco Cysneiros Introdução 1 - Conceito Clássico Se uma experiência
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 2019 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisCE Estatística I
CE 002 - Estatística I Agronomia - Turma B Professor Walmes Marques Zeviani Laboratório de Estatística e Geoinformação Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná 1º semestre de 2012 Zeviani,
Leia mais3. Probabilidade P(A) =
7 3. Probabilidade Probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um evento ocorrerá. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza e podem ser expressas de
Leia maisprobabilidade PE-MEEC 1S 09/10 16 Capítulo 2 - de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. resultados. Acontecimentos probabilidade.
Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos 2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos Mutuamente
Leia mais1.3 Outras definições de probabilidade
14 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO 1.3 Outras definições de probabilidade Até agora definimos probabilidade de um evento segundo a definição clássica, supondo sempre resultados equiprováveis. Outros métodos de definir
Leia mais1 Experimentos, espaço amostral, eventos
LC5806-6 Estatística Matemática I Profa. Roseli Aparecida Leandro 1 Experimentos, espaço amostral, eventos Um dos objetivos de um estatístico é tirar conclusões sobre uma população de objetos através da
Leia maisIntrodução à Estatística
Introdução à Estatística Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos de experimentos:
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 12
i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................
Leia maisRevisão de Probabilidade
Revisão de Probabilidade Magnos Martinello Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia LPRM Motivação Em qualquer modelo realístico
Leia mais1 Definição Clássica de Probabilidade
Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica
Leia maisCap. 4 - Probabilidade
Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa
Leia maisCiclo 3 Encontro 2 PROBABILIDADE. Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr.
1 Ciclo 3 Encontro 2 PROBABILIDADE Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr. Probabilidade 2 Texto: Módulo Introdução à Probabilidade O que é probabilidade? parte 1 de Fabrício Siqueira
Leia maisPROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves
PROBABILIDADE ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE NO ENEM As questões de probabilidade no Enem podem cobrar conceitos relacionados com probabilidade condicional e probabilidade de eventos simultâneos.
Leia maisProbabilidades. Palavras como
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Introdução Palavras como provável probabilidade acaso sorte pertencem ao vocabulário corrente
Leia maisUnidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno
Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho:
Leia maisEstatística. Aula : Probabilidade. Prof. Ademar
Estatística Aula : Probabilidade Prof. Ademar TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora
Leia maisProcessos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema
Leia maisDepartamento de Matemática Instituto Superior Técnico
Capítulo 2 Conceição Amado Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade 2 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos.....................
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À ROILIDDE 2014 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisIntrodução à Bioestatística
Instituto Nacional de Cardiologia March 11, 2015 1 2 3 Os primeiros estudos surgiram no século XVII Teve origem nos jogos de azar Grandes nomes da matemática desenvolveram teorias de probabilidades: Pascal
Leia maisProf.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017
Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados
Leia maisEstatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.
Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador
Leia maisProbabilidades. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Gestão de Empresas Contabilidade e Administração
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gestão de Empresas Contabilidade e Administração Introdução Ao comprar acções, um investidor sabe que o ganho que vai obter
Leia maisProbabilidade - 7/7/2018. Prof. Walter Tadeu
Probabilidade - 7/7/018 Prof. Walter Tadeu www.professorwaltertadeu.mat.br Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.
Leia mais