AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística

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1 AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística A linguagem das probabilidades As experiências podem ser consideradas: - aleatórias ou casuais: quando é impossível calcular o resultado à partida; - deterministas ou causais: quando à partida é possível prever o resultado. Conteúdos desta unidade: A linguagem das probabilidades; Cálculo da probabilidade de um acontecimento: Lei de Laplace. A escala das probabilidades; Frequência relativa e probabilidade: Lei dos Grandes Números; Tabela de dupla entrada, diagrama de árvore e diagrama de Venn. Abrir a mão, largar uma moeda e verificar se cai ou não - experiência determinista Abrir a mão, largar uma moeda e verificar que face cai voltada para cima - experiência aleatória Às probabilidades só interessa o estudo de experiências aleatórias. O conjunto de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência. Representa-se por S, Ω (letra grega chamada ómega), E ou U. A qualquer subconjunto de S chama-se acontecimento. No lançamento de um dado numerado de 1 a 6: Ω = {1,2,3,4,5,6} - acontecimento A: Sair um divisor de 4 A = {1,2,4} - acontecimento B: Sair um nº menor que 5 B = {1,2,3,4} Os acontecimentos podem ser classificados em: - acontecimento certo: aquele que ocorre sempre, ou seja, é formado por todos os elementos do conjunto de resultados;

2 - acontecimento impossível: aquele que nunca ocorre, ou seja, não tem qualquer elemento do conjunto de resultados; - acontecimento elementar: é formado por um só elemento do conjunto de resultados; - acontecimento composto: é formado por dois ou mais elementos do conjunto de resultados. No lançamento de um pião, com 8 faces numeradas: - acontecimento A: Sair um número maior que 0 mas menor que 9 A = {1,2,3,4,5,6,7,8} acontecimento certo - acontecimento B: Sair um número maior que 11 B = { } acontecimento impossível - acontecimento C: Sair um nº par e primo C = {2} acontecimento elementar - acontecimento D: Sair um nº ímpar D = {1,3,5,7} acontecimento composto Como viste, alguns acontecimentos são certos e outros impossíveis. Alguns acontecimentos podem ainda ser prováveis e improváveis ou poucos prováveis e muito prováveis. Acontecimentos com a mesma probabilidade são acontecimentos equiprováveis. Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde: - é provável sair uma bola azul; - é pouco provável sair uma bola verde; - é certo sair uma bola azul, vermelha ou verde; - é muito provável sair uma bola azul ou verde; - é impossível sair uma bola roxa; - é equiprovável sair uma bola vermelha ou sair uma bola verde.

3 Exercícios 1: 1 Determina quais destas experiências são aleatórias e quais são deterministas. Justifica. 1.1 Colocar água no congelador e anotar o estado físico passado 7 horas. 1.2 Tirar uma carta de um baralho e anotar o número e o naipe. 1.3 Rodar um pião numerado de 1 a 8 e anotar o número que sai. 2 Considera a seguinte experiência: num saco há 10 bolas numeradas. A Rita vai tirando bolas ao acaso e regista num caderno o número da bola. 2.1 Indica o espaço amostral desta experiência. 2.2 Classifica os seguintes acontecimentos. Justifica acontecimento A: Sair um número maior que acontecimento B: Sair um número entre 2 e acontecimento C: Sair um número menor que 11 mas maior que 0 3 Completa as frases com provável, pouco provável, certo, impossível e equiprovável. 3.1 É que num dia de Outono chova. 3.2 É nevar durante a Primavera. 3.3 É no lançamento de um dado sair um número entre 0 e É no lançamento de uma moeda sair cara ou coroa.

4 Cálculo da probabilidade de um acontecimento: Lei de Laplace. A escala das probabilidades Para calcular a probabilidade de um acontecimento seguimos a Lei de Laplace que diz: - a probabilidade de um acontecimento A é igual ao número de casos favoráveis a A, a dividir pelo número de casos possíveis. Lei de Laplace: Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde qual é a probabilidade de sair uma bola azul? Nº de casos favoráveis: 4 (porque há 4 bolas azuis) Nº de casos possíveis: 6 (porque o total das bolas é 6) P(sair uma bola azul) = = = = 0,66 (x 100) = 66 % A probabilidade de um acontecimento varia entre 0 e 1 ou, em percentagem, entre 0% e 100%. Ou seja: - a probabilidade de um acontecimento certo é 1 ou 100%; - a probabilidade de um acontecimento impossível é 0 ou 0%. Assim os acontecimentos podem ser colocados numa escala das probabilidades. Escala das probabilidades % 50% 100%

5 Num saco com 4 bolas, 2 azuis e 1 verde e 1 amarela, qual a probabilidade de: - acontecimento A: tirar uma bola amarela P(tirar um bola amarela) = = = 0,25 (x 100) = 25 % % 25% 50% 100% A Exercícios 2: 1. Considera a seguinte experiência: foi feito um estudo numa escola com 33 alunos em que era perguntado qual o sabor de gelado favorito. Os resultados foram os seguintes: Chocolate Limão Morango Nata Baunilha Determina a probabilidade de, escolhido um desses alunos ao acaso: a) acontecimento A: ter como sabor favorito morango b) acontecimento B: ter como sabor favorito limão c) acontecimento C: ter como sabor favorito nata d) acontecimento D: ter como sabor favorito chocolate e) acontecimento E: ter como sabor favorito baunilha

6 Exercícios 2: 1.2 Coloca os acontecimentos anteriores nesta escala de probabilidades % 50% 100% 1.3 Considera que a escola tem 645 alunos. Qual a probabilidade de, escolhido um aluno ao acaso, este ter participado no estudo? Frequência relativa e probabilidade: Lei dos Grandes Números A Lei dos Grandes Números diz o seguinte: - para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade. No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de: - acontecimento A: sair cara P(sair cara) = = = 0,5 (x 100) = 50 % O João realizou esta experiência 1000 vezes e registou os resultados numa tabela: Nº de lançamentos Vezes que saiu cara fr(sair cara) = = = = 0,492 (x 100) = 49,2 %

7 Exercícios 3: 1. Os alunos de uma turma de 9º ano decidiram fazer uma experiência na sua freguesia. Dirigiram-se à praça principal e pediram a todas as pessoas que lá passaram para escolherem à sorte uma bola, de uma caixa com 3 bolas, 1 azul, 1 verde e 1 laranja. Estes foram os resultados: Azul Verde Laranja Indique a probabilidade de, escolhida uma das pessoas ao acaso, esta ter tirado uma bola que não fosse azul. 1.2 Se tivessem sido abordadas o dobro das pessoas o que aconteceriam aos resultados? 2 Realizou-se a seguinte experiência 600 vezes: retirar um bola de um saco com 3 bolas, 1 verde e 2 vermelhas, e registou-se os resultados numa tabela. Verde Vermelho Explica os resultados utilizando a Lei dos Grandes Números.

8 Tabela de dupla entrada, diagrama de árvore e diagrama de Venn A contagem do número de casos favoráveis (nº de c.f.) e do número de casos possíveis (nº de c.p.), necessária para a determinação de uma probabilidade, segundo a Lei de Laplace, nem sempre é uma tarefa fácil. Nos problemas mais complexos, é usual recorrer-se a esquemas que permitam conhecer mais facilmente o nº de c.f. e o nº de c.p. Destes destacam-se: - diagrama de Venn; - tabela de dupla entrada; - diagrama de árvore. Exercício Resolvido - Diagrama de Venn Num diagrama de Venn, cada grupo estudado é representado por uma oval ou circunferência, dentro da qual se coloca o número de casos favoráveis correspondente. Toma atenção no seguinte problema: Dos 80 trabalhadores de uma fábrica, 25 declararam que não lêem nenhum jornal, 25 que lêem diariamente o jornal Alfa e 40 que lêem diariamente o jornal Beta. Escolhe-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores. Qual a probabilidade deste ler os dois jornais? = 55 trabalhadores que lêem jornal = 65 jornais Alfa ou Beta que são lidos = 10 trabalhadores que lêem o mesmo jornal = 15 trabalhadores que só lêem o jornal Alfa = 30 trabalhadores que só lêem o jornal Beta = 80 trabalhadores P(ler os dois jornais) = = = = 0,125 (x 100) = 12,5 %

9 Exercício Resolvido - Tabela de Dupla Entrada São lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 3? Para registar todas as somas possíveis, podes criar uma tabela de dupla entrada, onde cada entrada representa uma soma possível P(sair 3 como soma) = = = = 0,055 (x 100) = 5,5 % Exercício Resolvido - Diagrama de Árvore Lança-se uma moeda equilibrada (ainda de escudos) ao ar, três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se obter duas vezes escudo e uma vez face? Para determinarmos quantos casos são podemos utilizar um diagrama de árvore, em que cada coluna representa um dos lançamentos. P(obter duas vezes escudo e uma vez face) = = = 0,375 (x 100) = 37,5 %

10 Exercícios 4: 1. Num inquérito feito a uma turma de 25 alunos do 9º ano acerca do que comiam durante o intervalo, 10 disseram que comiam fruta trazida de casa e 18 disseram que compravam qualquer coisa no bar da escola. Só 2 disseram não comer nada. Com os dados do enunciado, completa o Diagrama de Venn seguinte. 2. São lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de sair um duplo (sair o mesmo número nos dois dados, como 6 e 6 ou 5 e 5)? Completa a tabela de dupla entrada em baixo e resolve o exercício.

11 Exercícios 4: 3. Um casal tem três filhos. O pai tem olhos castanhos e a mãe tem olhos verdes. Considerando que os filhos apenas poderão ter olhos castanhos ou verdes e que a probabilidade de cada um destes acontecimentos é igual, realiza um diagrama de árvore e calcula: a) a probabilidade de terem todos olhos da mesma cor. b) a probabilidade de nenhum ter olhos verdes.

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