AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações

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1 AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações Equações do 1º grau com duas incógnitas Uma equação do 1º grau com duas incógnitas tem um número infinito de soluções. Para determinar se um par ordenado é solução de uma equação basta substituir cada incógnita pelo valor expresso no par (atenção: os valores do par ordenado estão sempre por ordem alfabética). O par ordenado é solução se verificar a equação. Exemplo: Será que (3, 5) é solução da equação x + y = 2 (4+0)? Conteúdos desta unidade: Equações do 1º grau com duas incógnitas; Resolução gráfica de um sistema; Resolução analítica de um sistema - método de substituição; Classificação de sistemas; Resolução de problemas formando e resolvendo sistemas de equações. Podemos concluir que o par ordenado (3, 5) é solução da equação. Para resolver graficamente uma equação temos de encontrar, pelo menos, duas soluções. Para tal começamos por colocar a equação em ordem a y. De seguida atribuímos dois valores diferentes a x e resolvemos cada uma das equações para determinar os dois valores correspondentes de y, utilizando uma tabela. Utilizando estes dois pares ordenados como coordenadas num referencial cartesiano conseguimos traçar uma recta. Depois de colocarmos o nome na recta, temos, assim, a resolução gráfica da equação. Exemplo: Resolve graficamente a equação3x + 2y = 40.

2 Exemplo (continuação): x 1 2 (1; 18,5) (2; 17) Exercícios 1: 1. Resolve graficamente as seguintes equações. a) 7x + y = 7

3 Exercícios 1: b) 2y = 14 - x

4 Resolução gráfica de um sistema Para resolver graficamente um sistema de equações utilizamos um processo igual ao estudado anteriormente mas aplicado a duas equações. Assim começamos por colocar as duas equações em ordem a y. Construímos de seguida duas tabelas, uma para cada uma das equações, para determinarmos y a partir de um valor à escolha de x. Terminamos construindo o gráfico e traçando uma recta para cada uma das equações. O par ordenado onde elas se cruzam é o par ordenado que é solução do sistema, ou seja, o par que é solução das duas equações. Exemplo: Resolve graficamente o seguinte sistema x 1 2 x (1; 2) (2; 1,5) (- 1; - 2) (2;4)

5 Exemplo (continuação): Resposta: A solução deste sistema é (1; 2). Resolução analítica de um sistema - método de substituição Exercício resolvido - Método de substituição por etapas Apresenta-se o sistema. Coloca-se as equações na forma canónica (irredutível). Coloca-se uma das equações em ordem a uma incógnita à escolha. Substitui-se na outra equação a incógnita escolhida na primeira equação pelo valor encontrado nesta. Resolve-se a equação. Substitui-se na outra equação a incógnita pelo valor encontrado. Resolve-se a equação. Apresenta-se a solução. S = (1; 2)

6 Classificação de sistemas Os sistemas podem ser classificados em possíveis e impossíveis. Os sistemas possíveis têm pelo menos uma solução. Os sistemas impossíveis não têm solução. Dentro dos sistemas possíveis encontramos os sistemas possíveis determinados e os possíveis indeterminados. Os sistemas possíveis determinados têm uma só solução. Os sistemas impossíveis indeterminados têm uma infinidade de soluções. C.S. = (x; y) Sistema possível determinado C.S. = Sistema possível indeterminado C.S. = Sistema impossível

7 Exercícios 2: 1. Resolve graficamente e analiticamente e classifica os seguintes sistemas. a)

8 Exercícios 2: b)

9 Exercícios 2: c)

10 Resolução de problemas formando e resolvendo sistemas de equações Para resolver um problema, formando e resolvendo um sistema de equações, devemos ter em atenção os seguintes passos: ler muito bem o enunciado e tomar nota dos dados; identificar as incógnitas; escrever as equações relativas às relações existentes; resolver o sistema; interpretar a solução adaptando-a ao enunciado. Exercício resolvido Se: - um melão mais uma meloa pesam 4 kg; - um melão pesa mais 3 kg que uma meloa; quanto pesa um melão? x peso de uma meloa y peso de um melão Resposta: Um melão pesa 3,5 kg.

11 Exercícios 1: 1. Descobre quais são os números que se tratam nestas afirmações Quais são os números que somados dão 40 e subtraindo o maior pelo menor dá 14? 1.2. Quais são os números que somados dão 36 e que um deles é o dobro do outro? 2. Os bilhetes para um concerto custam 10 para um estudante e 15 para o público em geral. Foram vendidos bilhetes. O total do dinheiro recebido da venda dos bilhetes foi de Quantos bilhetes de estudante foram vendidos?