Resolução de Sistemas de duas Equações do 1º grau a duas incógnitas. Método de Adição Ordenada/ Gauss
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- Márcia Canela Sacramento
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1 Resolução de Sistemas de duas quações do º grau a duas incógnitas Método de Adição Ordenada/ Gauss Tema: Sistemas de quações / 9º ano Actividade de enriquecimento No programa do 9º ano encontramos os seguintes objectivos: Resolver sistemas de equações pelo método de substituição, interpretando e criticando a solução num dado conteto. Discutir o processo usado na resolução de um problema. Ora, muitos professores ensinam nas aulas, e não como actividade de enriquecimento, uma adaptação do Método de Gauss para a resolução de sistemas. Vejamos este Método, adaptado ao 9º ano de escolaridade. A quem se deve o nome deste Método? Johann Carl Friedrich Gauss. Gauss, nasceu de uma família humilde, em Brunswick na Alemanha no dia 0 de Abril de 777. Faleceu no dia de Fevereiro de 8 em Göttingen na Alemanha. O Método que vamos epor é, a maioria das vees, designado por Método da Adição Ordenada, pois não se trata do Método de Gauss puro. Netprof.pt
2 Considera a equação Como te lembras, numa equação podem-se faer as seguintes operações: ª. multiplicar ou dividir ambos membros por uma mesma quantidade diferente de ero; ª. adicionar a ambos membros a mesma quantidade. Por eemplo: O Método de Gauss, permite, na resolução de sistemas, a ª operação (assinalada em cima) e as seguintes (entre outras): ª. adicionar uma equação a outra (ou outras) ordenadamente e substituir uma delas; ª. combinar a ª operação com a ª, isto é, substituir uma equação pela soma ordenada de outras equação(ões) multiplicada(s) por uma constante não nula (chamada operação de Jacobi). A ideia é, ao adicionar uma equação a outra no sistema, eliminar uma das incógnitas e assim determinar a outra incógnita. Posteriormente na equação que não foi substituída, determina-se, por substituição da incógnita entretanto determinada, a incógnita que faltava. emplo : ; S -, ' ª eq. é substituída pela soma da ª com a ª eq. Outra apresentação: Substitui-se na ª equação e determina-se a outra incógnita. Netprof.pt
3 Netprof.pt Neste eemplo, eliminamos a incógnita, quando adicionamos ordenadamente as duas equações. Contudo podíamos eliminar a incógnita. Claro que, neste caso, vamos demorar mais tempo e os cálculos são mais compleos. Temos de calcular o m.m.c.(,). Assim, temos de multiplicar por a ª equação. ( ), - S ; ) (... Poder-se-ia, conforme foi indicado na ª operação, passar do primeiro sistema para o terceiro:, - S ;... ) ( emplo : ( ) ' ( ) {, S Temos vindo a usar o Método Misto, Método de Gauss com o Método de Substituição, mas podíamos não usar o Método de Substituição: ( ) ( ) 0 7 ) ( ' ( ) {, S 9 ' Adaptando este Método, é possível epandi-lo a qualquer sistema com mais equações e/ou mais incógnitas.
4 Netprof.pt ercícios Resolve utiliando o Método de Gauss e o Método Misto em todos os eercícios e classifica os sistemas. No eercício, coloca, em primeiro lugar, o problema na forma de um sistema de equações.... As companhias de avião LowCost utiliam as tarifas mais baratas para viajar de avião. Num mesmo dia e em duas viagens distintas, as rotas que ligam Porto a Londres e outra Porto a Paris, viajaram 8 pessoas. Sabendo que no total a companhia, facturou 8 e que a viagem de Porto a Londres custa e a outra, calcula o número de pessoas que viajou em cada uma das rotas (idem) 8. (idem) (idem) (sugestão: eliminar a incógnita na ª equação e na ª equação, usando a ª equação, trabalhar depois as ª e a ª equações) (sugestão: somar a ª à ª equação obtendo, substituir nas outras duas equações; trabalham-se estas duas como se tratem-se de duas equações a duas incógnitas) (sugestão: resolve as duas primeiras equações e depois confirmas a solução com a ª)
5 Soluções. {(,) S, Sistema Possível e Determinado (SPD). Sistema Impossível (SImp.).) 98 na primeira e 0 na segunda (SPD). Sistema Possível Indeterminado (SPI).,- S, SPD. {(,,) S, SPD 7. SImp. 8. SPI 9. SPI 0. SImp. Netprof.pt
6 Resolução de Sistemas de duas quações do º grau a duas incógnitas Método de Adição Ordenada/ Gauss Actividade de enriquecimento Tema: Sistemas de quações / 9º ano Soluções. S {(,), Sistema Possível e Determinado (SPD). Sistema Impossível (SImp.).) 98 na primeira e 0 na segunda (SPD). Sistema Possível Indeterminado (SPI). S,-, SPD. S {(,,) 7. SImp. 8. SPI 9. SPI 0. SImp., SPD
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, 6 ; 4, 86 ; (A); (D); 4 permite resolver o problema é 0 problema é ( ) SOLUÇÕES Fichas de Trabalho de Apoio FT Apoio 7 S 6 = 7, + ); [, [ Escola EB, de Ribeirão (Sede) ANO LETIVO 0/0 ; 4 ; [ 0, [ 9º
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