1. Números. MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática. Números inteiros. Nota: No Brasil costuma usar-se: bilhão para o número

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1 MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 1. Números Números inteiros Uma unidade (um) Uma dezena (dez) Uma centena (cem) Um milhar (mil) Um milhão (mil milhares) Um bilião (um milhão de milhões) Um trilião (Um milhão de biliões) Nota: No Brasil costuma usar-se: bilhão para o número 9 10, trilhão para o número , etc; na língua inglesa usa-se: billion para o número 10, trillion para o número 12 10, etc. A terminologia portuguesa corresponde à chamada long scale, enquanto a terminologia brasileira e inglesa correspondem à chamada short-scale. centenas dezenas unidades milhares de milhão centenas de milhão dezenas de milhão milhares dezenas de milhar milhões centenas de milhar Seguem alguns exemplos de escrita de números inteiros por extenso.

2 Matemática I - Gestão ESTG/IPB : Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e dezoito mil, setecentos e quarenta e seis inteiros : Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e dezoito mil, setecentas e quarenta e seis unidades : Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e dezoito mil, setecentos e quarenta e seis : Vinte e três mil, quatrocentas e sessenta e cinco unidades : Vinte e três mil, quatrocentos e sessenta e cinco. Números decimais Números decimais são números constituídos por duas partes separadas por um ponto,., ou por uma vírgula,, : a parte inteira fica na esquerda e a parte fraccionária na direita (um número inteiro pode ser escrito como número decimal) Uma décima (ou um décimo) Uma centésima (ou um centésimo) Uma milésima (ou um milésimo) Uma milionésima (ou um milionésimo) Uma bilionésima (ou um bilionésimo) Uma trilionésima (ou um trilionésimo) Nota: No Brasil costuma usar-se: bilionésima para o número o número 9 10, trilionésima para 12 10, etc; na língua inglesa usa-se: billionth para o número trillionth para o número 9 10, 12 10, etc. A terminologia portuguesa corresponde à

3 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 3 chamada long scale, enquanto a terminologia brasileira e inglesa correspondem à chamada short-scale. centésimas milésimas décimas décimas de milésima centésimas de milésima milionésimas décimas de milionésima Seguem alguns exemplos de escrita de números decimais por extenso : Três unidades e quatrocentas e cinquenta e seis milésimas : Trinta e quatro mil quinhentas e sessenta e duas centésimas de milésima : Duas décimas de milésima de milionésima. Exercícios 1. Escrever por extenso. (a) (b) 0.23 (c) (d) (e) (f) 10% (g) 0.05% (h) 0.15% (i) 400% 2. Escrever na forma decimal. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

4 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 4 Resolução 1. (a) : catorze unidades e duzentas e cinquenta e duas milésimas. (h) 0.15% : quinze décimas porcento. 2. (a) (h) Igualdades e Desigualdades Uma igualdade é composta por duas expressões 1 separadas pelo símbolo = (sinal de igualdade) x 2x 2 3 A expressão à esquerda do sinal = é o primeiro membro da igualdade. A expressão à direita do sinal = é o segundo membro da igualdade. A igualdade A B lê-se A igual a B. Uma desigualdade tem a forma análoga à de uma igualdade, só que o sinal = vem substituído por algum dos quatro sinais seguintes: maior ou igual (primeiro membro maior ou igual ao segundo membro) menor ou igual (primeiro membro menor ou igual ao segundo membro) maior (primeiro membro maior que o segundo membro) menor (primeiro membro menor que o segundo membro) As igualdades e as desigualdades têm valores lógicos, isto é, representam afirmações verdadeiras ou falsas é uma expressão verdadeira 2 6 é uma expressão falsa 1 Expressão é qualquer sequência de símbolos.

5 Matemática I - Gestão ESTG/IPB é uma expressão falsa 3 3 é uma expressão verdadeira Exercícios 1. Quais as expressões verdadeiras e quais as que são falsas? (a) (b) 4 5 (c) 2 2 (d) Resolução 1. (c) verdadeira. 3. Equações e Inequações Uma equação é uma igualdade na qual aparecem um ou mais valores desconhecidos, geralmente representados por letras. Cada valor desconhecido que surge numa equação designa-se por incógnita. 2x 4 6 equação na incógnita x 2x 3y 3x 2 equação nas incógnitas x e y Uma inequação é uma desigualdade na qual aparecem incógnitas. 2x 4 6 inequação na incógnita x 2x 3y 3x 2 inequação nas incógnitas x e y Os valores das incógnitas que fazem verdadeiras as equações e inequações designamse por soluções dessas equações e inequações.

6 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 6 x 1 é solução da equação 2x 4 6, porque é uma expressão verdadeira: equivale a 6 6. x 3 não é solução da equação 2x 4 6, porque é uma expressão falsa: equivale a Todos os números maiores que 4 (por exemplo x 4.2 ) são soluções da inequação x 4. Exercícios 1. Resolver as equações. (a) 3 2x 12 (b) 4x 3x 4 (c) 2 x x 1 3 (d) 2 x 3x Resolver as inequações. (a) 3 2x 12 (b) 4x 3x 4 (c) 2 x x 1 3 (d) 2 x 3x 1 0 Resolução 1. (c) x x 1 x x 1 x 1 x Esta equação admite uma só solução, x. Este é o único valor de x que substituído na 5 equação inicial conduz a uma igualdade verdadeira. 2. (c) x x 1 x x 1 x 1 x Esta inequação admite infinitas soluções, como sejam todos os números menores ou iguais a 3 5. Como exemplo, se substituirmos x por 0 na inequação inicial obtemos uma desigualdade verdadeira.

7 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 7 4. Operações Elementares da Aritmética 2 As operações elementares da aritmética (também designadas operações racionais) são a adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que somos solicitados a resolver na maioria dos cálculos, pelo que convém ter alguma desenvoltura na sua resolução. Adição Alinhar as parcelas 12.3 e 97.8 pelos pontos decimais Da coluna direita para a esquerda: adicionar os dígitos da coluna respectiva ; escrever 2 no resultado e somar 1 na coluna seguinte Repetir o processo com as colunas seguintes, considerando os dígitos transportados das colunas anteriores. O ponto decimal do resultado é alinhado com os pontos decimais das parcelas. Justificação 12.4 = = = 1.2 = para a coluna seguinte e 2 na coluna presente; o mesmo para as outras colunas. 2 A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades de operações entre números, como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências, raízes, logaritmos, etc. É uma parte fundamental da Teoria de Números (que é uma área de estudo mais alargada).

8 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 8 Subtracção Alinhar o diminuendo 3.51 e o diminuidor 1.46 pelos pontos decimais Da coluna direita para a esquerda, subtrair os dígitos respectivos; se o de cima for menor que o de baixo, adicionar-lhe 10: 12-6=6; escrever 6 no resultado e subtrair 1 na coluna seguinte Repetir o processo com as colunas seguintes, considerando os dígitos transportados das colunas anteriores. O ponto decimal do resultado é alinhado com os pontos decimais das parcelas. Exemplo: na 2ª coluna temos 5-4=1; subtraindo o 1 que vem da 1ª coluna obtemos 0 no resultado. Justificação = = Na coluna 1, para efectuar fazemos = 0.06; por tomarmos 0.12 em vez de 0.06 temos de descontar 0.1 ao resultado final ; é para este efeito que se subtrai 1 na coluna seguinte.

9 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 9 Multiplicação x 14.6 Escrever o multiplicando e o multiplicador x Da coluna direita para a esquerda, multiplicar cada dígito do multiplicador pelo multiplicando ignorando as casas decimais; na primeira coluna temos 352 x 6 = 2112; na segunda coluna temos 352 x 40 = 14080; na terceira coluna temos 352 x 100 = x Adicionar os produtos obtidos. O número de casas decimais do resultado é igual à soma dos números de casas decimais dos factores. Divisão Exemplo (divisão inteira envolve apenas números inteiros): Escrever o dividendo 7 e o divisor Procurar o maior inteiro possível que multiplicado por 2 produz um resultado 7 : obtemos o número 3; subtrair ao dividendo, 7, o produto : 7 6 1

10 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 10 Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 7 = 2 x Exemplo : No dividendo, da esquerda para a direita, considerar os dígitos suficientes para obter um número maior ou igual ao quociente: 13. Dividir 13 por Acrescentar ao resto obtido o dígito seguinte do dividendo: 1. O resto obtido, 11, não permite efectuar uma divisão inteira por 12. Neste caso acrescentamos um zero no quociente Acrescentar ao resto obtido o dígito seguinte do dividendo: 4. Efectuar a divisão inteira de 114 por 12. Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 1314 = 1 2 x Exemplo : Fazemos uma divisão inteira, tal como no exemplo acima: ignoramos os. e os zeros à esquerda até ao primeiro dígito não nulo, no dividendo e no divisor para todos os efeitos vamos dividir 1314 por 12. Quando o cálculo estiver terminado, as casas decimais consideram-se da forma seguinte: o ponto decimal no resto deve ser alinhado pelo ponto decimal do dividendo; o número de casas decimais do quociente é igual ao número de casas decimais do dividendo menos o número de casas decimais do divisor (neste caso, 3-2=1).

11 Matemática I - Gestão ESTG/IPB 11 Dividendo = Divisor x Quociente + Resto = x Exercícios 1. Resolver mentalmente. (a) 8 9 (b) 12 5 (c) (d) (e) 8x9 (f) 6x7 (g) 12x6 (h) 10x Efectuar os cálculos. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Representar as seguintes divisões na forma dividendo divisor quociente resto, para os restos r indicados. (a) r 0 (b) r 0.08 (c) r (d) r (e) : 234 r (f) 35.5 : 0.29 r (g) r 0 (h) 1.02 : 234 r (i) :11 r O preço de 8 gramas de um produto médico é de 96 euros. (a) Qual o preço de um grama do produto? (b) Quantos gramas de produto se podem adquirir com 1 euro? 5. Um silo cilíndrico contém 25 toneladas de um certo tipo de granulado. A altura que o granulado atinge no silo é de 5.75 metros. (a) Qual a altura correspondente a uma tonelada de granulado? (b) Qual o peso de granulado correspondente a 1 metro no silo? E a 2.23 metros? 6. As distâncias em astronomia são medidas em unidades astronómicas (UA), sendo que 1UA km. A distância mínima entre os planetas Saturno e Terra é de aproximadamente 7UA. Sabendo que um sinal de rádio viaja pelo espaço a cerca de km / s, calcular o tempo necessário para fazer uma mensagem da Terra chegar a Saturno (apresentar a resposta em horas).