* Acontecimento elementar: é formado por um só elemento do conjunto de. * Acontecimento composto: é formado por dois ou mais elementos do conjunto

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Ayrton Fraga Leal
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1 PROBABILIDADE A linguagem das probabilidades Quando lidamos com probabilidade, as experiências podem ser consideradas: Aleatórias ou casuais: quando é impossível calcular o resultado à partida. Como exemplo podemos citar: abrir a mão, largar uma moeda e verificar que face cai voltada para cima Deterministas ou causais: quando à partida é possível prever o resultado. Como por exemplo: Abrir a mão, largar uma moeda e verificar se ela cai ou não. Às probabilidades só interessa o estudo de experiências aleatórias. O conjunto de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência. Representa-se por S, Ω (letra grega chamada ómega), E ou U. A qualquer subconjunto de S chama-se acontecimento. Exemplo: No lançamento de um dado numerado de 1 a 6 teremos: Ω = {1,2,3,4,5,6} Acontecimento A: Sair um divisor de 4 A = {1,2,4} Acontecimento B: Sair um nº menor que 5 B = {1,2,3,4} Os acontecimentos podem ser classificados em: * Acontecimento certo: aquele que ocorre sempre, ou seja, é formado por todos os elementos do conjunto de resultados; * Acontecimento impossível: aquele que nunca ocorre, ou seja, não tem qualquer elemento do conjunto de resultados; resultados; de resultados. * Acontecimento elementar: é formado por um só elemento do conjunto de * Acontecimento composto: é formado por dois ou mais elementos do conjunto Exemplo: No lançamento de um pião, com 8 faces numeradas teremos: Acontecimento A: Sair um número maior que 0 mas menor que 9 A = {1,2,3,4,5,6,7,8} Acontecimento certo Acontecimento B: Sair um número maior que 11 B = { } acontecimento impossível Pagina: 1

2 9º ANO - Prof. Patricia Caldana Acontecimento C: Sair um nº par e primo C = {2} acontecimento elementar Acontecimento D: Sair um nº ímpar D = {1,3,5,7} acontecimento composto Como vimos, alguns acontecimentos são certos e outros impossíveis. Alguns acontecimentos podem ainda ser prováveis e improváveis ou poucos prováveis e muito prováveis. Acontecimentos com a mesma probabilidade são acontecimentos equiprováveis. Exemplo: Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde: É provável sair uma bola azul; É pouco provável sair uma bola verde; É certo sair uma bola azul, vermelha ou verde; É muito provável sair uma bola azul ou verde; É impossível sair uma bola roxa; são equiprovável sair uma bola vermelha ou sair uma bola verde. Exercício 1: Determina quais destas experiências são aleatórias e quais são deterministas. Justificando sua resposta. a) Colocar água no congelador e anotar o estado físico passado 7 horas. b) Tirar uma carta de um baralho e anotar o número e o naipe. c) 1.3 Rodar um pião numerado de 1 a 8 e anotar o número que sai. Cálculo da probabilidade de um acontecimento: Lei de Laplace A escala das probabilidades Pagina: 2

Para calcular a probabilidade de um acontecimento seguimos a Lei de Laplace que diz que a probabilidade de um acontecimento A é igual ao número de casos favoráveis a A, a dividir pelo número de casos

3 Para calcular a probabilidade de um acontecimento seguimos a Lei de Laplace que diz que a probabilidade de um acontecimento A é igual ao número de casos favoráveis a A, a dividir pelo número de casos possíveis. Exemplo: Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde qual é a probabilidade de sair uma bola azul? Solução: Nº de casos favoráveis: 4 (porque há 4 bolas azuis) Nº de casos possíveis: 6 (porque o total das bolas é 6) A probabilidade de um acontecimento varia entre 0 e 1 ou, em percentagem, entre 0% e 100%. Ou seja: A probabilidade de um acontecimento certo é 1 ou 100%; A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 ou 0%. Assim os acontecimentos podem ser colocados numa escala das probabilidades. Exemplo: Num saco com 4 bolas, 2 azuis e 1 verde e 1 amarela, qual a probabilidade de: - acontecimento A: tirar uma bola amarela Frequência relativa e probabilidade: Lei dos Grandes Números Pagina: 3

A Lei dos Grandes Números diz o seguinte: para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade Exemplo: No lançamento de uma

4 A Lei dos Grandes Números diz o seguinte: para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade Exemplo: No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de: - acontecimento A: sair cara tabela: O João realizou esta experiência 1000 vezes e registou os resultados numa Tabela de dupla entrada, diagrama de árvore e diagrama de Venn A contagem do número de casos favoráveis (nº de c.f.) e do número de casos possíveis (nº de c.p.), necessária para a determinação de uma probabilidade, segundo a Lei de Laplace, nem sempre é uma tarefa fácil. Nos problemas mais complexos, é usual recorrer-se a esquemas que permitam conhecer mais facilmente o nº de c.f. e o nº de c.p. Destes destacam-se: Diagrama de Venn; Tabela de dupla entrada; Diagrama de árvore. Exercício Resolvido: Diagrama de Venn Num diagrama de Venn, cada grupo estudado é representado por uma oval ou circunferência, dentro da qual se coloca o número de casos favoráveis correspondente. Toma atenção no seguinte problema: Dos 80 trabalhadores de uma fábrica, 25 declararam que não leem nenhum jornal, 25 que leem diariamente o jornal Alfa e 40 que leem diariamente o jornal Beta. Escolhe-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores. Pagina: 4

trabalhadores que só leem o jornal Beta 10 + 15 + 30 + 25 = 80 trabalhadores Exercício Resolvido: Tabela de Dupla Entrada São lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6.

5 Qual a probabilidade deste ler os dois jornais? = 55 trabalhadores que leem jornal = 65 jornais Alfa ou Beta que são lidos = 10 trabalhadores que leem o mesmo jornal = 15 trabalhadores que só leem o jornal Alfa = 30 trabalhadores que só leem o jornal Beta = 80 trabalhadores Exercício Resolvido: Tabela de Dupla Entrada São lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 3? Para registar todas as somas possíveis, podes criar uma tabela de dupla entrada, onde cada entrada representa uma soma possível Exercício Resolvido: Diagrama de Árvore Lança-se uma moeda equilibrada (ainda de escudos) ao ar, três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se obter duas vezes escudo e uma vez face? Para determinarmos quantos casos são podemos utilizar um diagrama de árvore, em que cada coluna representa um dos lançamentos. Pagina: 5

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