FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano de escolaridade Versão.4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste.º Ano de escolaridade Versão.4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 6//08 Evite alterar a ordem das questões Nota: O teste é constituído or duas artes Caderno : 60 minutos (é ermitido o uso de calculadora) Caderno : 0 minutos (não é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos itens de escolha múltila, selecione a oção correta. Escreva, na folha de resostas, o número do item e a letra que identifica a oção escolhida. Nas resostas aos restantes itens, aresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, ara um resultado, não é edida a aroximação, retende-se semre o valor exato. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão 4

2 Caderno : 60 minutos (é ermitido o uso de calculadora). Considere o desenvolvimento do binómio x 5, com x 0. (5).. O vigésimo terceiro termo desse desenvolvimento é (A) 00 x (B) 0 50 x (C) 5 5 Os termos deste binómio são da forma T C x 5 = C x = C 5 O.º termo é 5 x 0 00 x x (D), com 0 e 0 5 T T C x = 00 x = 00 x 00 x OPÇÃO D (5).. Escolhem-se ao acaso dois termos do desenvolvimento deste binómio. Qual é a robabilidade de o roduto desses dois termos ser negativo? O desenvolvimento deste binómio tem 6 arcelas, sendo alternadamente ositivas (se é ar) e negativas (se é ímar). Assim, o número de casos ossíveis é 6 C 5. Para que o roduto de dois termos seja negativo, tem de ser um ositivo e outro negativo. Assim, o número de casos favoráveis é C C 69. Portanto P roduto ser negativo = 69 5 = 5. Sejam A e B dois acontecimentos ertencentes a um esaço de acontecimentos associado a uma exeriência aleatória, com P A 0. (5).. Prove que P A B P A PB A P A P A. Temos: P A B P A PB A P A = P B A P A B P A P A P A = P A B P A PB A = P A = P A (0).. Num congresso articiaram 00 rofessores de vários aíses, entre os quais Portugal. Desses rofessores sabe-se que: 80% dos articiantes eram estrangeiros ou mulheres; Metade dos rofessores ortugueses eram homens; Determine o número de mulheres ortuguesas que articiaram no congresso. Sugestão: Se referir, ode usar a igualdade da alínea anterior, começando or identificar os acontecimentos A e B no contexto da situação. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão 4

3 Sejam os acontecimentos, A: o rofessor é ortuguês B: o rofessor é homem. Sabemos que P A B 80% e 50 P B A % Pela igualdade da questão anterior (usando a sugestão) obtemos: 0, 8 P A 0, 5 P A P A 0, 8 P A 0, 5 P A P A 0, 05, P A 0, 8 0, 5 P A 0, 5 P A 0, 8 P A De P A sabemos que 5 5 dos rofessores são ortugueses, isto é, Como metade dos rofessores ortugueses são homens, a outra metade são mulheres, ortanto articiaram no encontro 40 mulheres ortuguesas. 5 (5). A alavra asse de acesso a uma conta de é constituída or letras seguidas de 4 algarismos. Sabe-se que essa alavra tem dois a e dois, como, or exemlo: ana0. Quantas alavras asse são ossíveis nestas condições, considerando o alfabeto de 4 letras? (A) 54 (B) 0800 (C) 6450 (D) Para a escolha das letras temos = 69 ossibilidades e ara os algarismos temos 4 C 6 formas de escolher os lugares ara os dois e 99 = 8 formas de escolher os restantes dois algarismos. Assim, são ossíveis 6968 = 54 alavras diferentes. OPÇÃO A 4. Um baralho de cartas comleto é constituído or 5 cartas, reartidas or 4 naies de cartas cada: esadas e aus (cartas retas) e coas e ouros (cartas vermelhas). De um baralho comleto extraem-se sucessivamente e sem reosição duas cartas. (5) 4.. Qual é a robabilidade de elo menos uma das cartas extraídas ser vermelha? A robabilidade edida corresonde a sair uma ou duas cartas vermelhas. Assim, ode sair carta vermelha na.ª, na.ª ou em ambas. Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis (VP, PV, VV): Portanto, Outro rocesso: P A robabilidade edida também ode ser calculada recorrendo ao acontecimento contrário, isto é, saírem duas cartas retas. Assim, P Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão 4

4 (0) 4.. Considere os acontecimentos: A: A rimeira carta extraída é de coas; B: A rimeira carta extraída é uma figura; C: A segunda carta extraída é uma figura reta. Sem utilizar a fórmula da robabilidade condicionada, indique o valor de P C A B Numa equena comosição, comece or interretar o significado de P C A B. no contexto da situação descrita fazendo referência ao número de casos ossíveis, ao número de casos favoráveis e à lei de Lalace. No contexto da situação, P C A B reresenta a robabilidade de a segunda carta extraída ser uma figura reta, sabendo que a rimeira carta extraída era de coas e não era figura. Como saiu uma carta de coas (não figura) ficaram 5 cartas no baralho (número de casos ossíveis), e, entre essas 5 cartas há 6 figuras retas (número de casos favoráveis). Assim, ela lei de Lalace, P C A B (5) 4.. Suonha agora que se tiram simultaneamente e ao acaso 5 cartas do baralho comleto. De quantas formas odem ser obtidas exatamente figura e três e só três cartas de aus? (A) 5875 (B) 800 (C) 95 (D) Como há cartas que são figuras e aus, vamos organizar a contagem numa tabela. Figuras de aus (há ) Outras figuras (há 9) Restante aus (há 0) Restantes cartas (há 0) 0 0 Contagem C C C C C C OPÇÃO C Total = 95 (0) 5. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o terceiro elemento é igual a 5. Determine a soma de todos os elementos dessa linha. Como o terceiro elemento da linha n é da forma n C, resolvendo a equação n C 5 descobrimos a linha em causa. Temos, n C 5 n n650 n n! 5! n! n Como n, temos n 6 (linha 6) Assim, a soma dos elementos dessa linha é n! n n n! n Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 4/6 Versão 4 n n 5 5 n n 6 n 5

5 6. Um saco contém 0 bolas numeradas de a 0, indistinguíveis ao tato. (0) 6.. Retiram-se, sucessivamente e com reosição, ao acaso, três bolas do saco. Determine a robabilidade de o roduto dos números das três bolas ser igual a 0. Como as bolas são tiradas com reosição, o número de casos ossíveis é Para obter roduto 0, com fatores de a 0, existem duas ossibilidades: 0 = 0, que ode ocorrer de formas (0; 0 e 0) 0 = 5, que ode ocorrer de! = 6 formas (todas as ermutações dos fatores). Portanto, temos +6 = 9 casos favoráveis. 9 Logo, P 000 (5) 6.. Admita agora que se tiram ao acaso, sucessivamente e sem reosição, as 0 bolas do saco. Determine a robabilidade de as bolas com número ar saírem consecutivamente, isto é, umas a seguir às outras. O número de casos ossíveis é dado elas ermutações das 0 bolas, 0! Um dos casos favoráveis é a sequência:, 4, 6, 8, 0,,, 5, 7, 9, Como as bolas ares têm de estar seguidas, há 6 formas de isso acontecer. Mas, estando seguidas, odem ermutar entre si de 5! 0 formas. Também as bolas ímares odem ermutar entre si de 5! 0 formas. Assim, os casos favoráveis são 65! 5! ! 5! Portanto, P 0! Caderno : 0 minutos (não é ermitido o uso de calculadora) (5) 7. Seja E o esaço amostral associado a uma exeriência aleatória e A e B dois acontecimentos ossíveis, não certos, desse esaço, tais que A B. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) P A PB (B) P A B (C) P A B 0 A B P A PB (D) P A PB P A PB P A PB P A PB D (0) 8. Na figura abaixo está reresentado um sólido formado or um cubo e uma irâmide quadrangular, cuja base coincide com a face suerior do cubo. Considere o seguinte roblema: Selecionando dois dos nove vértices do sólido, quantas são as retas que não ertencem ao lano EFG? O André e a Sónia resonderam da seguinte forma: Resosta do André: 9 C 4 C Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 5/6 Versão 4

6 Resosta da Sónia: 5 A 4 A 5 A Aenas uma das resostas está correta. Identifique-a e exlique or que razão está correta. A resosta correta é 9 C 4 C 0 Qualquer gruo de dois ontos define uma reta. Assim, como não interessa a ordem da escolha desses ontos, devemos usar combinações. Portanto, usando os nove vértices do sólido, odemos formar 9 C 6 retas (no máximo). Como algumas dessas retas ertencem ao lano EFG, temos de subtrair aquelas que são formadas elos vértices E, F, G e H, recisamente 4 C Seja E o esaço de resultados e sejam A e B dois acontecimentos do esaço de acontecimentos associado a E, tais que P A 04, (5) 9.. Qual é o valor de P A\ B?, PB 06, e P A B 07, (A) 0, (B) 04, (C) 0, (D) 0, Temos P A\ B P A B P A P A B. = 0, 4 0, = 0, OPÇÃO C Como P A B P A PB P A B 0, 7 0, 4 0, 4 P A B P A B 0, (0) 9.. Averigue se os acontecimentos A e B são indeendentes. A e B são acontecimentos indeendentes P A B P A PB P A B P A B P A B 0, 7 0, P A PB 0, 6 0, 6 0, 6 Como P A B P A PB, os acontecimentos são deendentes. (5) 0. A Maria gosta muito de morangos mas não sabe se é, ou não é, alérgica àquele fruto. Considere os acontecimentos: A: a Maria come morangos; B: a Maria fica com irritações na ele. Qual das igualdades abaixo traduz a afirmação seguinte? «Um terço das vezes que a Maria come morangos fica com irritações na ele.» (A) P A B (B) PB\ A (C) PB A (D) Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão 4 P A B A afirmação reresenta a robabilidade de a Maria ficar com irritações na ele sabendo que come morangos, isto é, PB A. OPÇÃO C