MATEMÁTICA Professores: Adriano, Andrey, Aurélio e Rodrigo Comentário Geral Prova bem abrangente como todos os anos, mas com dois detalhes que

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1 MTEMÁTIC rofessores: driano, ndrey, urélio e Rodrigo Comentário Geral rova bem abrangente como todos os anos, mas com dois detalhes que chamaram a atenção. rimeiro a ausência de uma questão de trigonometria e outra foi a questão sobre Binômio de Newton, que há muito não era cobrado ela UFR. No mais, arabéns ao Núcleo de Concursos da UFR ela rova. comanhe a resolução a artir da róima ágina.

2 Questões 0. y z 5 y z y 0z 5 Escalonando o sistema temos: y z 5 0 y z 0 0 z Com isso 7 z ; y ; ou seja o conjunto solução do sistema será 0 0 7,, 0 0 I DetM 0, sendo M a matriz dos coeficientes. 0 k k k k ara k = e k = - o sistema será I ou I ós o escalonamento com k = obtemos o seguinte sistema y z 5 0 5y z 8 0 5y z 8 Como as duas equações são iguais devemos eliminar uma delas e com isso o sistema fica com equações e três variáveis e com isso ele terá infinitas soluções (I). ós o escalonamento com k = - obtemos o seguinte sistema y z 5 0 5y z 8 0 5y z ubtraindo as duas últimas equações obtemos: y z 5 0 5y z Como zero não ode ser igual a o sistema será imossível (I)

3 0. tabela ao lado relaciona a quantidade de esécies de insetos, Q(), encontradas em uma região de floresta, em função da área : uonha que a quantidade de esécies de insetos ossa ser calculada de maneira aroimada or Q() = a + b. log(). Calcule o valor de a e de b. Calcule a área aroimada, em hectares, ara a qual se terá 00 tios de insetos. (use 0 =,5) Área (hectares) Q() Tios de Insetos ubstituindo Q(0) = 500 e Q(00) = 800 obtemos as seguintes equações: 500 ab.log0 800 ab.log ab. 800 ab. ab 500 ab 800 ab 500 Resolvendo o sistema obtemos: a = 00 e b = 00 a b 800 Q() log log log 0 log ,5 50

4 0. figura ao lado aresenta uma configuração envolvendo cinco círculos tangentes. Dois deles ossuem raio e dois ossuem raio. Calcule o raio do círculo menor, justificando sua resosta. Calcule a área do losango, cujos vértices são os centros dos quatro círculos maiores. Na figura temos r r r r r r r 0r 0 r r 6 0 r 6 (não odemos considerar or r ser uma medid r licando o teorema de itágoras no triângulo obtemos: r r r r r r r 0r 0 r r 6 0 r 6 (não odemos considerar or r ser uma medid r Dd. 8.6 L L L cm

5 0. uonha que um bloco retangular de madeira ossui dimensões n cm, (n + ) cm e (n + ) cm, sendo n um número inteiro ositivo. O bloco foi intado na cor vermelha e deois cortado em cubos de aresta cm, or meio de cortes aralelos às faces. Qual deve ser o valor de n ara que cubos ossuam eatamente uma face vermelha? Qual deve ser o valor de n ara que cubos não ossuam nenhuma face vermelha? ara os cubos terem uma face intada deveremos considerar os retângulos reresentados nas faces da figura a seguir. Com isso as dimensões dos retângulos destas faces serão n, (n- ) e (n ). ortanto teremos seis áreas a considerar sendo estas iguais duas a duas. Com isso:. n. n n. n n. n n. n n. n n. n n 6n 9 0 n n 0 n n (não odemos considerar or ser uma medid Neste caso consideramos a figura a seguir: gora temos n. n n n n n 0 n (licando o disositivo de Briot - Ruffini)

6 05. Um cubo de aresta cm foi seccionado or um lano, originando dois sólidos geométricos conforme indica a figura. Calcule o volume de cada um dos dois sólidos obtidos or essa secção. Calcule a área total da suerfície de cada um dos sólidos obtidos or essa secção. C C C a 6 cm B. h.. cm C 9 60 cm b. h... 8 cm.. Q e cm.

7 06. tabela ao lado aresenta a distribuição total de licenças or emregado solicitadas nos últimos 5 anos em uma emresa: Calcule a média, a moda e a mediana da distribuição de licenças or emregado. Calcule a variância e o desvio adrão da distribuição de licenças. Total de Licenças Emregados m média m o moda m d mediana Como as frequências são diferentes temos a média onderada m m 0 80 m 0 m 6 licenças / emregado m o = 6 ois a frequência ara 6 licenças é nove (maior) m d = 6 ois como são 0 termos a mediana é calculada or Como a 5 = 6 e a 6 = 6 a mediana m d = 6. m a a 5 6 d (licenç 0 Como D= temos: D=. licença

8 07. Considere o círculo C, de centro na origem, que assa elo onto (,) e o círculo C, de raio r =, tangente a C no onto, conforme a figura ao lado. Obtenha as equações cartesianas do círculo C e da reta que assa elo centro de C e elo onto. Obtenha as coordenadas cartesianas do centro do círculo C. ara calcular o raio de C utilizaremos itágoras. R R 5 R 5 y y R y 5 equação da reta que assa ela origem e elo onto é: O y y O y y 0 y 0 ou y Como o centro de C, e o centro de C estão alinhados temos uma semelhança entre os triângulos assinalados. y R y Como ertence à circunferência temos: (não consideramos or ser menor que ) 5 Com isso

9 08. O termo geral do desenvolvimento do binômio a b n seria: n T a b n. ara n = temos Com isso a =, b e n = Nestas condições o termo geral do desenvolvimento é:> T T.. T.. T. T. Como no termo indeendente devemos ter ortanto o termo indeendente do desenvolvimento é T.. n n O termo geral do desenvolvimento é T.. Como o termo indeendente é igual a 7 temos que n 7. Como o eoente de deve ser zero temos que n = ortanto: 7. ara = temos que 7. (falso) ara = temos que (verdadeir 0 temos que = 0 e com isso =.

10 09. f g c( c) f g c c Com isso c c c c c c 0 c c 0 g f c c f ( )? f ( ) y y c Trocando-se or y e vice versa temos: cy y c Calculando c 0 g cf c c. c c c

11 0. Os segmentos de reta que unem os ontos médios dos lados de um quadrado, formam um novo quadrado. seguir, os ontos médios dos lados do segundo quadrado são unidos ara formar um terceiro quadrado. Reetindo esse rocesso indefinidamente obtém-se uma sequência de quadrados, cada vez menores, conforme ilustram as figuras a seguir. uonha que o rimeiro quadrado ossui lado m: Calcule o comrimento do lado do terceiro quadrado obtido or esse rocesso. Mostre que a soma dos erímetros de todos os quadrados dessa sequência é aroimadamente,6 m. Lado do quadrado licando o teorema de itágoras calculamos o lado do quadrado. Lado do quadrado Lado do quadrado 6 6 sequência infinita formada elos erímetros é:,,,... Com isso q a q ,6,6

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