FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão 4 Nome: N.º Turma: Aresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, ara um resultado, não é edida uma aroximação, retende-se semre o valor exato. (5). O esaço de acontecimentos, PS, associado a uma determinada exeriência aleatória tem tantos acontecimentos com 5 elementos, como acontecimentos com 4 elementos. Usando as roriedades das combinações, determine o número de elementos de PS. O esaço de acontecimentos, P S, é o conjunto formado or todos os acontecimentos (ou subconjuntos) que se odem formar com os n elementos do esaço de resultados, S, associado a uma exeriência aleatória Assim, temos semre acontecimentos (ou subconjuntos) com 0,,, 3,, n elementos. E o número total n n n n n n desses acontecimentos é dado or C0 C C C 3... Cn Cn 3 Sabemos que a soma anterior vale n, ortanto, só recisamos de conhecer n 3 Ora, como há tantos acontecimentos com 3 elementos como acontecimentos com 4 elementos, sabemos n n que C5 C4 3 Mas, ela lei da simetria, temos que n Portanto, o esaço de resultados, S, tem 9 elementos e o esaço de acontecimentos, PS, tem 9 5 elementos. A variável altura, em centímetros, dos alunos inscritos num clube desortivo é bem modelada or uma distribuição normal N,. Na figura abaixo estão reresentadas duas curvas normais: a distribuição das alturas das raarigas, N 65, 6. a distribuição das alturas dos raazes, N a, b ; N 65, 6 N a, b Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /8 Versão 4

2 (0).. Das oções seguintes, indique, justificando, a verdadeira. (A) a65 e b 6 (B) a65 e b 6 (C) a65 e b 6 (D) a65 e b 6 N 65, 6 e N a, b são distribuições normais com valores médios 65 e a, e desvios adrões 6 e b. Como a distribuição N a, b está à direita, tem maior valor médio (a abcissa da média é maior), ortanto, a 65 3 Como a curva da distribuição N a, b é mais achatada (está mais róxima do eixo) tem a menor desvio adrão, ortanto, b 6 4 Assim, a 65 e b 6 (oção A) 3 (5).. Sabe-se que no clube estão inscritas 33 raarigas. Calcule o número aroximado de raarigas com altura comreendida entre 47 e 65 cm. Distribuição normal N 65, 6, numa oulação de 43 raarigas. Sendo X a variável altura, comecemos or determinar 47 X 65 Como , queremos P 3 X Sabemos que X 05, e Portanto, 3 3 X 3 0, , X 65 0, ou outro rocesso 5 Como 0, , Cerca de 6 raarigas do clube têm altura entre 47 e 65 centímetros 3. Todos os alunos inscritos nesse clube desortivo raticam elo menos um dos dois desortos seguintes: basquetebol e voleibol. Sabe-se que: 60% dos alunos raticam basquetebol; 70% dos alunos raticam voleibol; Encontra-se, ao acaso, um aluno inscrito nesse clube. (5) 3.. Determine a robabilidade de o aluno encontrado raticar aenas basquetebol. Aresente o resultado em ercentagem. Nota: A construção de um diagrama de Venn ou de uma tabela ajuda a erceber o roblema. Sejam os acontecimentos: Sabemos que: B 60% e 70 B: o aluno encontrado ratica Basquetebol V: o aluno encontrado ratica Voleibol V % Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /8 Versão 4

3 B V 00%, ois todos os alunos raticam elo menos um dos desortos 3 Queremos a robabilidade de o aluno escolhido raticar aenas basquetebol, isto é, B V Sabemos que B V B B V, assim, só nos falta B V 3 Como B V B V B V Temos, 00% 60% 70% B V 30 B V % Assim, B V 60% 30% 30% (0) 3.. Sabe-se que o aluno encontrado ratica basquetebol. Qual é a robabilidade de esse aluno não raticar voleibol? Aresente o resultado na forma decimal. Pretendemos determinar V B V B Sabemos que V B e B 60% B Temos V B B V B 60% 30% 30% 3 Portanto, 30% V B 05, 3 60% 4. Antes de um jogo da equia de basquetebol os 0 jogadores dividem-se em dois gruos de 5 jogadores ara fazerem o aquecimento, tal como sugerem as figuras seguintes. (0) 4.. Suondo que a formação dos gruos é aleatória, diga, justificando, qual das oções seguintes reresenta o número de maneiras diferentes de formar esses dois gruos. (A) 0 C5 (B) 0 C (C) 0 A 5 (D) 0 C 5 Cada gruo é formado or 5 jogadores. Assim, temos de dividir os 0 jogadores em dois gruos de 5. Contudo, ao formar um dos gruos, o outro gruo fica automaticamente formado elos restantes elementos que não foram escolhidos ara o rimeiro gruo 3 Logo, existem 0 C 5 5 (ou 0 C 5 C ) formas de formar os dois gruos (oção D) (5) 4.. Os cinco jogadores sulentes ficam sentados num banco corrido de 5 lugares. Suondo que se sentam ao acaso, determine a robabilidade de o Fernando (F) não ficar sentado entre o Gonçalo (G) e o João (J). Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 3/8 Versão 4

4 n.c.. = 5! 0 todos as ermutações dos 5 jogadores 3 n.c.f. = 0 3! 08 8 O rocesso mais ráido é ensar no acontecimento contrário, isto é, o F estar entre G e J. O Fernando tem 3 lugares onde se ode sentar (só não ode estar nos extremos do banco); ara cada uma dessas 3 ossibilidades, o Gonçalo e o João têm duas formas de se sentarem (um de cada lado): os restantes dois jogadores odem ermutar entre si de! formas diferentes. Portanto, (5) 5. Seja A um acontecimento de um esaço de resultados S, tal que A 0. Diga, justificando adequadamente, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: Se C é outro acontecimento de S, indeendente de A, então C e A são indeendentes; Os acontecimentos A e C são indeendentes se e só se AC A C Como A e C são indeendentes sabemos que AC A C Assim, A C = C A C = C A C = C A = C A + = A C c.q.m. 3+3 Portanto a afirmação é VERDADEIRA 6. No clube de Voleibol há bolas de três cores diferentes: amarelas, brancas e verdes. Num determinado dia estavam 6 bolas amarelas e k bolas verdes numa caixa. (0) 6.. Tiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reosição, duas bolas da caixa. Seja X a variável aleatória número de bolas amarelas obtidas. A tabela seguinte reresenta a distribuição de robabilidades da variável X. x i 0 X x i Determine os valores de k, a e b, aresentando todos os raciocínios efetuados. Comecemos or determinar k 0, isto é, o número de bolas verdes. Como X 0 = k A Temos k 6 A k a obter bolas verdes = k k k k k k 6 5 k 5k 6k k 60 0 k 9 b k k k k k k 5 k Portanto, como k 0, a caixa tinha 5 bolas verdes Assim, a X e b X Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 4/8 Versão 4

5 (5) 6.. No final dos treinos as bolas são guardadas numa caixa que está dividida em comartimentos, conforme ilustra a imagem seguinte. De quantas formas odem ser guardadas 5 bolas brancas (iguais), bola amarela e bola verde nessa caixa, ficando aenas uma bola em cada comartimento? Numa equena comosição, entre 5 e 0 linhas, exlique todos os raciocínios efetuados. C5 A 3364 ou 7 A C Começando or colocar as bolas brancas temos C5 79 maneiras de o fazer, ois, como são iguais não interessa a ordem ela qual são colocadas (fazer gruos de 5 comartimentos) 5 Deois de colocadas as bolas iguais restam 7 comartimentos ara colocar as duas bolas restantes. Contudo, como são de cores diferentes, já interessa a ordem ela qual são colocadas, havendo 7 A 4 maneiras de as distribuir elos comartimentos ainda vazios 5 Portanto, elo rincíio geral da multilicação, existem C 7 5 A 3364 maneiras diferentes de distribuir as 7 bolas elos comartimentos 5 O segundo rocesso: Começando or colocar as duas bolas de cores diferentes (amarela e verde) temos A 3 formas diferentes de as distribuir, ois, como são diferentes, interessa a ordem ela qual são colocadas 5 Deois de colocadas essas duas bolas, restam 0 lugares ara colocar as 6 bolas brancas. Agora, como são iguais já não interessa a ordem ela qual são colocadas, havendo 0 C5 5 maneiras diferentes de o fazer 5 Portanto, elo rincíio geral da multilicação, existem A C maneiras diferentes de 0 distribuir as 7 bolas elos comartimentos 5 7. A equia de voleibol vai vender um elevado número de rifas, de modo a angariar fundos ara a ajuda da comra de um miniautocarro. Sabe-se que 0% das rifas vendidas têm rémio. (0) 7.. Se alguém comrar 0 rifas qual é a robabilidade de ganhar exatamente dois rémios? Indique, justificando adequadamente, qual dos valores seguintes reresenta essa robabilidade. (A) 0, 937 (B) (C) 0, (D) 3, Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 5/8 Versão 4

6 Sendo X a variável número de rémios obtido, odemos usar a Lei binomial da robabilidade com n 0 rovas reetidas (número de rifas comrado) Assim, sucesso rifa remiada 0% 0, e insucesso 09, Portanto, X C 0, 0, , 0, 9 0, 937 (oção A) 3+3 (5) 7.. Uma essoa comrou 0 rifas. Determine a robabilidade de essa essoa ganhar, no máximo, dois rémios. Aresente o resultado na forma de dízima, com aroximação às milésimas. Sendo X a variável número de rémios obtido, odemos usar a Lei binomial da robabilidade com n 0 rovas reetidas (número total de rifas comradas) Pretendemos determinar X, isto é, ganhar 0, ou rémios Assim, X X 0 X X Temos, sucesso 0, e insucesso 09, Portanto, X 0 C 0, 0, 9 0, X C,,,,, X C,,,,,, Logo, X 0, 9 0, 9, 90, 9 0, , (5) 8. O desenvolvimento do binómio x x 0 tem monómios (ou termos) Determine, caso exista, o monómio de grau 6 do seu desenvolvimento. Qualquer termo do desenvolvimento deste binómio é da forma 0 x Simlificando, temos T C x = 0 C 0 = 0 x x T C x C x = x 0 0, com 0 0 C x 3+++ No termo de grau 6 temos 0 6, ou seja, Como 8, o termo de grau 6 é o nono termo, T T C x x (0) 9. Nas figuras seguintes está reresentado, num referencial ortonormado Oxyz, um octaedro regular [ABCDEF], cujos vértices ertencem aos eixos coordenados. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/8 Versão 4

7 Nota: resonda aenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 9.. Pretende-se numerar as faces do octaedro com os números de a 8, ficando um número diferente em cada face, tal como ilustra a figura da esquerda. Determine o número de maneiras diferentes de elo menos três das faces concorrentes no vértice A ficarem numeradas com números ímares. Para ficarem, elo menos, três das faces concorrentes em A com números ímares temos duas alternativas: - alternativa : ficam as 4 faces com números ímares. - alternativa : três das faces ficam com números ímares e a outra com um número ar; Na alternativa, existem 4! formas de colocar os 4 números ímares (, 3, 5 e 7) nas faces coocorrentes em A; ara cada uma dessas formas existem também 4! formas de colocar os 4 números ares (, 4, 6 e 8) nas restantes quatro faces; ortanto, existem 4! 4! 576 de as 4 faces concorrentes em a ficarem com números ímares. 6 Na alternativa, existem 4 C forma de escolher um dos números ares (, 4, 6 ou 8) e 4 C formas de o colocar numa das 4 faces; assim, existem 4 4 formas de escolher e colocar um dos números ares numa das faces concorrentes em A; ara cada uma dessas formas há 4 A3 4 de escolher e colocar 3 dos números ímares (ou 4 C 3 formas de os escolher e 3! formas de os colocar); finalmente, ara cada maneira de numerar as faces concorrentes no vértice A, há 4! formas de colocar os restantes números elas faces ainda não numeradas; ortanto, existem 4444! 96 maneiras de numerar as restantes faces do octaedro, satisfazendo a alternativa 0 Assim, há formas de, elo menos, 3 faces concorrentes em A ficarem com números ímares. 9.. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do octaedro. Determine a robabilidade de esses vértices definirem uma reta erendicular ao eixo abcissas. Para definir uma reta são necessários (e suficientes) ontos. Assim, qualquer gruo de ontos (escolhidos entre os 6 vértices do octaedro) define uma reta, como acontece quando escolhemos dos 4 ontos que estão no lano xoy (or exemlo) 3 Portanto, 6 C 5 reresenta o número de casos ossíveis 5 Para definirmos uma reta erendicular ao eixo das cotas temos de escolher dos ontos A, C, E e F, ois o lano que contém estes ontos é erendicular ao eixo Ox. Assim, temos 4 C 6 casos favoráveis 8 Portanto, a robabilidade edida é Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 7/8 Versão 4

8 Formulário BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 8/8 Versão 4