Teste de hipóteses para médias e proporções amostrais

Transcrição

1 Teste de hióteses ara médias e roorções amostrais Prof. Marcos Pó Métodos Quantitativos ara Ciências Sociais

2 Questão rática Abrir a lanilha Alunos MQCS_16-18 e calcular a média, o desvio adrão e o tamanho da amostra dos alunos no geral e ara cada turma. Média (cm) Desvio Padrão (cm) Diurno 166,5 9, Noturno 169,1 12,00 93 Total Geral 167,8 10, Considerando que segundo o IBGE* a mediana de alturas da oulação entre 20 e 29 anos é de 173cm e que é válido assumir esse valor como equivalente à média, odemos afirmar que: (a). Os alunos de MQCS são mais baixos que a oulação brasileira? (b). Os alunos de elo menos uma das turmas são mais baixos que a oulação brasileira? n * htt:// acesso em 07/03/2016 2

3 Teste estatístico de hiótese Processo que usa estatísticas amostrais ara testar uma afirmação sobre um arâmetro de uma oulação. Ou seja, nos ermite resonder com algum grau de confiança: essa evidência ode nos convencer que a hiótese está errada?. É uma metodologia ara julgar se os dados amostrais trazem evidências que aoiem ou refutem uma hiótese quantitativa, assim como ermite estimar a robabilidade de cometer determinados tios de erro nessa areciação. Ele nos fornece uma regra de decisão em relação a uma afirmação com base nas robabilidade de erro que odemos incorrer. 3

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5 Hiótese estatística Hiótese estatística é uma afirmação sobre um arâmetro oulacional, assível de ser testada com estatísticas amostrais. H 0 - Hiótese nula: normalmente é uma afirmação de igualdade. É nula no sentido de negar o fenômeno investigado. Assim, os valores amostrais verificados seriam aenas or acasos amostrais. H A - Hiótese alternativa: é o comlemento da hiótese nula e significa que os valores encontrados na amostra trazem evidências fortes de estarmos tratando de oulações diferentes. Costuma ser a hiótese de trabalho, que só será aceita se a evidência estatística for forte. 5

6 Regras de decisão e erros Uma cooerativa quer usar um vergalhão esecial em suas obras ao invés do comum. Haverá leilão de um lote, mas não é ossível identificar o tio. Para a tomada de decisão será disonibilizado o resultado do teste de resistência à tração de uma amostra aleatória de 25 eças. Os arâmetros de cada tio são mostrados na tabela. (a). Se a regra de decisão for caso o resultado do teste seja inferior à 1500kg, considero que os vergalhões são do tio comum e não comro; caso contrário considero ser esecial e comro, em que tios de erros odemos incorrer?: (b). Qual deveria ser a nossa regra de decisão ara que o risco de comrar eças comuns seja menor que 5%? Tio Resistência à tração Desvio-adrão Comum kg 400 kg Esecial kg 300 kg 6

7 Julgamento da amostra Erros de decisão em um teste de hiótese Contexto da decisão: temos uma hiótese, ou seja, fazemos uma afirmação sobre um arâmetro da realidade. Rejeitar hiótese nula Realidade Não rejeitar hiótese nula Rejeitar hiótese nula Erro Tio I (α) Rejeitar uma hiótese verdadeira Não rejeitar hiótese nula Erro Tio II (β) Aceitar uma hiótese falsa 7

8 Erros de julgamento: α (alfa) e β (beta) A robabilidade de incorrermos no Erro Tio I (α) é chamada de nível de significância do teste. O resultado da amostra é tanto mais significante quanto menor for o α. Normalmente é fixado em: 10% 5% * Evento raro 1% ** Evento raríssimo 0,1% *** Evento raríssimo A robabilidade de se incorrer no Erro Tio II (β) dificilmente consegue ser determinada, ois normalmente não temos muitos elementos sobre a hiótese alternativa de um roblema. Ao se diminuir a robabilidade de α, aumenta-se a de β. Para escolher que risco queremos correr é necessário analisar o contexto da esquisa e seus ossíveis imactos. 8

9 Exemlo de raridade Como sabemos que determinado card de Pokémon é raro ara fazer uma boa troca? 9

10 Regra de decisão: Região Crítica Testar uma hiótese significa verificar se a nossa evidência amostral é significativa a onto de odermos rejeitar a Hiótese Nula. Para isso estabelecemos um intervalo em que consideraremos ser razoável aceitar essa rejeição, a região crítica. Se a estatística do teste cair na região crítica consideramos que há forte evidência de H 0 ser falsa e que odemos aceitar a H A. Isso é determinado elo alfa (). Caso a evidência não caia na região crítica dizemos que não houve evidência amostral significativa ara rejeitar H 0. 10

11 Regiões críticas de teste de médias e roorções Imagens: Wikiedia Commons H 0 H A Tio de teste de médias Ilustração μ=100 =0,50 μ 100 0,50 Bicaudal R.C. R.C. μ 100 0,50 μ>100 >0,50 Unicaudal R.C. μ 100 0,50 μ<100 =0,50 Unicaudal R.C. Prof. Marcos Vinicius Pó 11

12 Probabilidade de significância (-valor) Invés de se definir arbitrariamente um valor ara α, um rocedimento alternativo consiste em determinar a robabilidade de significância, ou -valor do teste. Nesse caso, em vez de se calcular a região crítica ara aceitar ou rejeitar a hiótese, calcula-se a robabilidade de ocorrer ao acaso ^ tal valor ara x ou. A seguir julga-se se isso consiste em uma evidência suficiente ara rejeitar a hiótese nula, ou seja, um evento raro. Assim, dizemos que H 0 é rejeitada a um determinado nível de -valor. 12

13 Roteiro ara o teste de hiótese 1. Definir as hióteses. Nula (H 0 ) Alternativa (H A ) 2. Esecificar as evidências estatísticas. Estimadores e roriedades da estatística (distribuição, média, desvio-adrão...) 3. Fixar a robabilidade de cometer o Erro Tio I (α) e esecificar a regra de decisão. Referência ara aceitar ou rejeitar a hiótese (região crítica) 4. Areciar a evidência. 5. Decidir e interretar o resultado. 13

14 TESTE DE HIPÓTESE DE MÉDIAS PARA DUAS POPULAÇÕES 14

15 Testes ossíveis Diferença entre médias Diferença entre desvios-adrão (será tratado juntamente com ANOVA) 15

16 Situações ara julgamentos Para o teste de hióteses de médias ou roorções odemos fazer julgamentos das estatísticas de uma amostra em duas situações distintas. Contra os arâmetros de uma oulação conhecemos as estatísticas da amostra e sabemos μ e σ da oulação. Contra as estatísticas de outra amostra conhecemos aenas as duas estatísticas amostrais. No segundo caso odemos ter dois tios de amostras: Indeendentes: não há relação entre as amostras selecionadas. Deendentes: cada membro de uma amostra corresonde a um membro da outra amostra. Prof. Marcos Vinicius Pó 16

17 Exemlo: amostra x oulação 1. Mediu-se as alturas de 30 recém-nascidos no deartamento de ediatria de um hosital, obtendo-se uma média de 49cm e um desvio-adrão de 2,8cm. Teste a hiótese de que a média dos recém-nascidos seja de 51cm conforme o eserado elos adrões da OMS, admitindo o risco de 5% de cometer o erro tio I. 17

18 Exemlo: roorção x oulação (baseado em fatos reais) 2. Desconfiada dos resultados do sorteio de gruos realizado or seu rofessor de Métodos Quantitativos, a aluna R. resolveu testar o dado utilizado fazendo 600 lançamentos, onde o lado três foi sorteado 123 vezes. (a) Qual o -valor do teste? (b) Podemos afirmar, ao nível de 5%, que o dado é viciado em relação ao lado 3? (c) Podemos afirmar que o dado é viciado ao nível de 1%? 18

19 Teste de hióteses da média de duas oulações Objetivo: testar hióteses que comaram médias de duas amostras, talvez de oulações distintas. Nesse caso teremos que lidar com as incertezas que as duas amostras nos trazem. Poulação 1 (μ 1 ; σ 1 )? Amostra 2 (n 2, X 2, s 2 ) Essa amostra ertence à oulação 1 ou à oulação 2?? Amostra 1 (n 1, X 1, s 1 ) Poulação 2 (μ 2 ; σ 2 ) 19

20 Considerações ara amostras indeendentes Poulações: normais e homocedásticas (σ X = σ Y = σ) Lembrar que: E( X Y) E( X ) E( Y) E( X Y) E( X ) E( Y) Var( X Y) Var( X ) Var( Y) Podemos definir um intervalo de confiança da diferença da média das amostras X e Y, com n e m elementos resectivamente. E( X Y ) ~ N0; 2 2 X Y n m Z X Y 2 2 X Y n m Caso seja usada a distribuição t, os graus de liberdade serão n+m-2 (se soubermos o σ da oulação) ou o tamanho da menor amostra menos 1 (se só conhecermos os s das amostras). 20

21 IC do teste da diferença de duas médias N(0,1) z z E( X Y ) 0 Var( X Y ) Var( X ) Var( Y ) z s X Y 1. n 1 m

22 Exemlo: diferença entre amostras 3. Uma rede de suermercados testou duas estratégias diferentes de venda em lojas de mesmo orte e erfil do úblico. Para comará-las utilizaram-se amostras de 50 clientes, obtendo-se as médias de gasto de R$62 e R$71. Sabendo-se que o desvioadrão em ambos os casos é de R$20, é ossível afirmar que as estratégias de venda tiveram resultados diferentes? Dê um intervalo de confiança ara a diferença. Cena de mercado. Século

23 Amostras deendentes Nesse caso, a quantidade de elementos de X e Y são iguais (n). As amostras odem ser entendidas como ares (X 1 -Y 1,..., X n - Y n ) e, assim, odemos definir a variável D = X Y, resultando na amostra D 1,...,D n. Dessa forma, reduzimos o roblema a uma única oulação e amostra, com as seguintes características: D 1 n n i 1 X Y X i Y i S 2 D 1 n 1 n i1 Di D 2 23

24 Teste de hiótese ara roorção Idêntico ao teste de médias, considerando que a estatística tem distribuição aroximadamente normal. n N ) (1, ~ ˆ 24 m n N E ) (1 ) (1 0; ~ ) ˆ ˆ ( m n Z ) (1 ) (1 ˆ ˆ ^

25 Exemlo: amostras areadas 4. Uma lanchonete quer saber se a introdução de uma ausa afeta a rodutividade dos seus funcionários. Para isso verificou o total de lanches roduzidos or cada um de seus 6 chaeiros ao longo de dias aleatórios sem e com o intervalo. Os resultados indicam que há melhora na rodutividade? Chaeiro Sem intervalo Com intervalo Diferença (Sem-Com) média 32,5 34-1,5 dad 6,63 5,76 2,88 25