Distribuição de uma proporção amostral

Transcrição

1 Distribuição de uma roorção amostral Estatística II Antonio Roque Aula 4 Exemlo Ilustrativo: Suonha que se saiba que em uma certa oulação humana uma roorção de essoas igual a = 0, 08 (8%) seja cega ara cores. Se fizermos uma amostragem aleatória de 50 indivíduos da oulação, qual a robabilidade de que a roorção de essoas dessa amostra que seja cega ara cores seja menor que 0,5? Neste roblema, recisamos saber as roriedades da distribuição amostral da roorção dentro de uma amostra. Já que resolvemos chamar a roorção da oulação de, vamos chamar a roorção de uma amostra individual de ˆ. Note que este roblema oderia ser resolvido usando-se a distribuição binomial, ois só existem duas ossibilidades ara uma essoa: ou ela é cega ara cores ou não é. No entanto, a sua solução seria mais trabalhosa e o método usado aqui é mais simles quando as amostras têm grandes tamanhos. A construção de uma distribuição amostral ara a roorção de uma amostra é feita da maneira usual: da oulação, tomam-se todas as ossíveis amostras de um dado tamanho (50 no caso do exemlo) e calcula-se, ara cada uma delas, a roorção ˆ. Com isso, ode-se construir uma tabela de freqüências ara ˆ que é a distribuição amostral de ˆ.

2 Estatística II Antonio Roque Aula 4 Quando o tamanho das amostras é grande, a distribuição amostral de ˆ é aroximadamente normal elo T.C.L. Os seguintes resultados são dados sem demonstração: A média da distribuição amostral de ˆ é igual a µ = ˆ, a rória roorção da oulação; e a variância da distribuição amostral de ˆ é igual a ( ) ˆ =. n Um critério normalmente usado ara definir quão grande uma amostra tem que ser ara que o T.C.L. seja válido e que a distribuição amostral de ˆ seja aroximadamente normal é o de que tanto n como ( ) n sejam maiores que 5. Para o roblema em questão, o critério acima é satisfeito: n = 50 x0,08= e n ( ) = 50x0,9 = 38. Logo, odemos dizer que, neste caso, ˆ é aroximadamente normalmente distribuída com média µ ˆ = = 0, 08 e desvio adrão ( ) 0,08x0,9 ˆ = ˆ = = = 0,00049 = 0,0. n 50 Portanto, P( ˆ 0,5 ) = P( z< zˆ ) < onde zˆ = = = 3, 5. ˆ ˆ 0,5 0,08 0,0 Consultando a tabela, temos que a robabilidade edida vale: 0,5 + 0,4998 = 0,9998 (99,9 %). Portanto, a robabilidade de se encontrar uma roorção de essoas cegas ara cores abaixo de 0,5 em uma amostra aleatória de 50 essoas é quase.

3 Mais um resultado a ser dado sem demonstração: Estatística II Antonio Roque Aula 4 Se amostras aleatórias de tamanhos n e n são tomadas de duas oulações distintas cujas roorções de casos com a característica de interesse sejam e resectivamente, a distribuição da diferença entre as roorções amostrais, ˆ ˆ, é aroximadamente normal com média µ ˆ = e variância ˆ quando n e n são grandes. ( ) ( ) ˆ = +, ˆ n n Exemlo : Suonha que a roorção de usuários freqüentes de drogas em uma oulação seja de 0,50, enquanto que a roorção em outra oulação seja de 0,33. Qual é a robabilidade de que amostras de tamanho 00 das duas oulações tenham um valor ˆ ˆ maior que 0,30? Assumimos que a distribuição amostral de ˆ ˆ é aroximadamente normal com média µ = = 0,50 0,33 = 0, 7 e ˆ ˆ 0,5x0,5 0,33x0,67 ˆ ˆ = + = 0, Logo, z = ( ˆ ˆ ) ( ) ˆ ˆ = 0,30 0,7 =,89 0,0047. E a área sob a curva normal adrão à direita de z =, 89 vale 0,5 0,4706 = 0,094 (,94 %). 3

4 Estatística II Antonio Roque Aula 4 Exemlo : Em uma certa oulação de adolescentes, sabe-se que 0% dos raazes são obesos. Se a mesma roorção de garotas da oulação for obesa, qual a robabilidade de que uma amostra aleatória de 50 raazes e 00 garotas tenha ˆ 0, 06? ˆ Assumimos que a distribuição amostral de ˆ ˆ é aroximadamente normal. Se a roorção de obesos for a mesma nas duas oulações, a média da distribuição de ˆ ˆ será 0 ( 0) e a sua variância = ( ) ( ) 0,x 0,9 0,x 0,9 será ˆ = + = + = 0,0008. ˆ 0,06 0 Portanto, z = =,. 0,0008 n n E a área sob a curva normal adrão à direita de z =, vale 0,5 0,486 = 0,074 (,74 %). 4

5 Exercícios sobre Distribuições Amostrais Estatística II Antonio Roque Aula 4. O gerente de uma dada agência bancária sabe que o saldo médio dos clientes da sua agência é de R$ 50 com um desvio adrão de R$ 80. Se for escolhida uma amostra aleatória de 50 clientes da agência, qual a robabilidade de que a média dos seus saldos médios seja maior do que R$ 550?. Suonha que se saiba que as durações das chamadas telefônicas interurbanas sejam distribuídas de forma aroximadamente normal com média de 9 minutos com desvio adrão de 3 minutos. Se a comanhia telefônica escolher uma amostra aleatória de 0 chamadas telefônicas, qual a robabilidade de que a média das suas durações esteja entre 8 e 0 minutos? 3. A distribuição dos temos gastos or clientes de uma agência bancária nos seus caixas eletrônicos é aroximadamente normal com média de 3,4 minutos e desvio adrão de, minuto. Em um dado momento, encontram-se 9 clientes usando caixas eletrônicos na agência bancária. Qual a robabilidade de que o seu temo médio de uso dos caixas eletrônicos seja maior que 3,5 minutos? E qual a robabilidade de que ele seja menor que minutos? 4. Os alunos do Cursinho A tiraram nota média na rova de matemática do vestibular de 5,5 com desvio adrão de, e os alunos do Cursinho B tiraram nota média na mesma rova de 4,8 com desvio adrão de,0. Selecionam-se duas amostras aleatórias de alunos, 35 do Cursinho A e 37 do Cursinho B. Qual a 5

6 Estatística II Antonio Roque Aula 4 robabilidade de que a diferença entre as suas notas médias na rova de matemática, x x seja maior que? A B 5. O número de horas semanais que duas oulações, uma de estudantes de graduação e outra de estudantes de ós-graduação, assa na cantina de uma faculdade é distribuído de maneira aroximadamente normal ara as duas oulações. A média de horas/semana da oulação de estudantes de graduação é de hs com desvio adrão de 4 hs. A média de horas/semana da oulação de estudantes de ós-graduação é de 7 horas com desvio adrão de 3 horas. Selecionam-se duas amostras aleatórias de 0 estudantes de cada oulação. Qual a robabilidade de que a diferença entre as médias de horas semanais gastas na cantina elas duas amostras seja menor do que hs? 6. Com base em estatísticas históricas, sabe-se que 60% das comras feitas com cartão de crédito em um suermercado são ara quantias acima de 00 reais. Se for escolhida uma amostra aleatória de 00 comras feitas com cartão de crédito em um certo dia no suermercado, qual a robabilidade de que a roorção de comras acima de 00 reais esteja entre 50% e 70%? 7. As roorções dos carros roduzidos elas fábricas A e B que aresentam defeito durante o rimeiro ano de uso são, resectivamente, iguais a 8% e a 5%. Se forem selecionadas amostras aleatórias de carros roduzidos elas duas fábricas com tamanhos iguais a 30 e 50 resectivamente, qual a robabilidade de que a diferença entre as roorções amostrais de carros com defeito no rimeiro ano de uso seja maior do que %? 6