3. ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS

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1 3. AÁLISE DE DADOS EXPEIMETAIS 3. Introdução. Todo dado eerimental deve ser analisado através de algum tio de rocedimento. Um bom eerimentalista deve fazer todo o esforço ossível ara eliminar todos os erros de seu eerimento. Este objetivo, no entanto, nunca será lenamente alcançado, cabendo então ao eerimentalista a resonsabilidade de aresentar uma medida da confiabilidade de seus dados. amos definir erro como sendo: a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro de uma grandeza ormalmente não se conhece o valor verdadeiro de uma grandeza, o que torna esta definição difícil de ser alicada. Podemos então definir o conceito de incerteza: incerteza eerimental é um valor ossível que o erro ode assumir. Define uma faia onde se estima estar localizado o valor da grandeza medida (dentro de um determinado nível de robabilidade). Em termos da estimativa da confiabilidade, as eeriências odem ser divididas em duas categorias: eeriências de várias amostragens eeriências de uma única amostragem Idealmente gostaríamos de oder reetir medidas várias vezes, usando vários instrumentos e observadores ara que a confiabilidade dos resultados udesse ser determinada usando métodos estatísticos (eeriências de várias amostragens). ormalmente, os custos e o temo associados a este tio de eerimento o tornam roibitivo. ote que muitos eerimentos que arecem, a rincíio, ser de várias amostragens são na realidade de amostragem única. Por eemlo, várias medidas com um mesmo voltímetro carregam a incerteza inerente àquele voltímetro. osso objetivo na análise de dados eerimentais é resonder a três erguntas básicas: como estimar e descrever a incerteza em uma determinada variável? como calcular a roagação destas incertezas no resultado final? como aresentar os resultados de modo a dar, de forma concisa, uma medida da confiabilidade dos resultados?

2 3. A atureza das Incertezas Eerimentais. Para chegarmos a um método de descrição das incertezas nas variáveis, recisamos conhecer a natureza das incertezas. Podemos classificar as incertezas eerimentais em: incertezas aleatórias: são incertezas que fazem com que medidas reetidas aresentem valores diferentes. Por eemlo, atrito no instrumento, flutuações eletrônicas, flutuações na leitura elo observador, etc. incertezas sistemáticas: são incertezas que fazem com que medidas reetidas aresentem aroimadamente o mesmo desvio (ositivo ou negativo) sem razão aarente (se a razão fosse conhecida uma correção oderia ser feita). Por eemlo, um equeno amassado em um tubo de Pitot, ou erdas de calor elo coro de um termômetro. As incertezas eerimentais odem ser estudadas tomando-se várias observações do valor da variável. Podemos obter os resultados aresentados na figura abaio. Os eerimentos dos casos (a) e (b) não são bem controlados. O eerimento do caso (c) é bem controlado. Caso tenhamos um número muito grande de dados disoníveis, odemos construir um histograma ou uma curva de distribuição de freqüência de ocorrência de um certo valor, tal como mostrado esquematicamente na figura abaio.

3 Incertezas aleatórias normalmente aresentam uma distribuição como a mostrada na figura. Analisando a distribuição dos resultados odemos fazer as seguintes observações: equenos desvios ocorrem mais freqüentemente desvios ositivos ou negativos ocorrem com igual freqüência não eiste limite suerior ou inferior ara o desvio Muitos autores assumem a distribuição das incertezas aleatórias como sendo Gaussiana. Isto nem semre é verdade. A forma da distribuição ara um certo conjunto de dados eerimentais ode ser verificada através da construção de um histograma. 3.3 Distribuição ormal ou Gaussiana. µ P ( ) e π onde P é a robabilidade de que, em uma distribuição com média µ e desvio adrão, o valor da observação aleatória seja. Assumindo-se que os dados eerimentais sejam bem reresentados or uma distribuição normal, os dados odem ser amarrados or dois números: média, o valor mais rovável da variável desvio adrão, uma medida do esalhamento em torno da média A média é dada or: µ P ( ) d A estimativa da média ara uma amostra finita é dada or: i O desvio adrão é dado or: ( ) µ P( ) d A estimativa do desvio adrão ara amostras finitas é dada or:

4 i ( ) ara grande ( > 30, or eemlo) i ( ) ara equeno Para uma distribuição normal de média e desvio adrão, temos que a robabilidade de uma medida estar comreendida em uma certa faia ± da média é: ( ) P e d π Isto reresenta a área abaio da curva normal, como mostrado na figura. Para uma faia em torno da média dada em termos de números de desvios adrão, a área abaio da curva ode ser calculada e associada robabilidade de ocorrência de um valor dentro da faia. Assim, ara µ - n < < µ n, tem-se: a) n, P 0,683 ou,5: b) n, P 0,954 ou 0: c) n 3, P 0,997 ou 356: ote a diferença entre os conceitos de métodos estatísticos e avaliação de incertezas no estudo de dados eerimentais: métodos estatísticos só odem ser usados quando os dados eistem! avaliação de incertezas é uma revisão

5 Em uma eeriência de amostragem única não há como fazer estatística. O máimo que ode ser feito é indicar-se o que aconteceria caso o eerimento fosse reetido um grande número de vezes. 3.4 Incerteza na Medição. Uma notação satisfatória ara uma medição de uma variável deve incluir: a melhor estimativa do valor verdadeiro da variável medida uma indicação da magnitude do desvio eserado ara esta estimativa (ou seja, a incerteza) A melhor estimativa do valor verdadeiro é normalmente dada elo valor medido (ou ela média, caso eistam vários valores medidos da variável). Uma medida da confiabilidade da medida é dada ela incerteza. A incerteza eerimental é dada ela faia ±, onde a média tem 95,4 % de roabilidade de ocorrência. A escolha de ± é arbitrária. Então, uma maneira comleta de se reortar uma medida é: m ± m (b:) ou m ± m/m (b:) onde m é a incerteza absoluta e m/m é a incerteza relativa. Por eemlo, uma medida de temeratura seria reortada de maneira comleta como 5,7 ±0,5 o C (0:). A determinação da faia de incerteza m é tarefa do eerimentalista. Esta ode ser estimada or: a) ré-testes onde são feitas várias medidas e ode-se calcular b) estimativas das incertezas dos instrumentos fornecidas elo fabricante c) bom senso. O eerimentalista é a essoa mais indicada ara fazer uma boa estimativa da incerteza. O Guia ara Eressão da Incerteza de Medição é uma ublicação internacional editada elo IMETO, onde os conceitos e definições sobre incerteza de medidas são aresentados. As recomendações contidas neste guia devem ser obedecidas no Brasil. o guia, as incertezas obtidas como descrito no item a) acima são denominadas incertezas do Tio A. Aquelas obtidas elos rocedimentos descritos nos itens b) ou c) são denominadas incertezas do Tio B. 3.5 Proagação de Incertezas. Agora que sabemos como estimar a faia de incerteza ara uma variável individual, recisamos avaliar como estas incertezas se roagam em um resultado. Suonha que um resultado é função de n variáveis indeendentes

6 (,, 3,... n ) Uma ossível maneira de se estimar a incerteza final no resultado, ode ser obtida através da chamada combinação da ior situação. Assim,... n n onde é a incerteza no resultado, e i é a incerteza em cada variável i. As derivadas arciais são chamadas de coeficientes de sensibilidade e medem o i quão sensível o resultado é a cada variável i. É ouco rovável que as incertezas individuais se combinem da ior maneira ossível como roõe a eressão acima. As revisões obtidas com esta eressão são normalmente eageradas quando comaradas com eerimentos reais. Kleine e McClintock (Mechanical Engineering, vol 75, Jan, 953, g3) rouseram uma outra forma de calcular a roagação de incertezas eerimentais que fornece boa revisão das incertezas.... n n esta eressão, os níveis de robabilidade das medidas individuais são reservados na grandeza. Isto é, se i é conhecido dentro de ±, será obtido também dentro de ±. Esta eressão aresenta resultados satisfatórios e é amlamente utilizada Eemlo : Medida de velocidade de fluido com tubo de Pitot Sabemos que a velocidade medida or um tubo de Pitot é dada ela seguinte eressão: ρ assumindo-se que o fluido comorte-se como um gás erfeito, T ρ T, temos: Suonha que a seguinte medida foi realizada:

7 ± 0,03 kpa (0:) 00 ± kpa (0:) T 300 ± 0, K (0:) Para este conjunto de valores obtemos que 58 m/s Suonha que 87 m/kgk e que não haja incerteza na constante do gás (isto não é verdade! A constante do gás também ossui incerteza). Alicando a eressão de Kleine e McClintock ara a roagação das incertezas obtemos: ( ) ( ) T T onde as derivadas arciais, neste caso, odem ser obtidas de forma analítica como: ( ) T, 3 T, T T substituindo e dividindo or : ( ) T T substituindo-se os valores numéricos: 300 0, 00 0,03 { } %,5 0, , Uma análise das arcelas da soma acima mostra que as contribuições das incertezas na medida da diferença de ressão e da ressão ara a incerteza na velocidade são da mesma ordem de grandeza. Por outro lado, a contribuição da incerteza da temeratura é desrezível em comaração com as outras grandezas. Assim, vê-se que não há necessidade da medição da temeratura com tão baio nível de incerteza e que os recursos utilizados na aquisição do sensor de temeratura oderiam ter sido melhor utilizados na comra de sensores de ressão e diferença de ressão com menores incertezas. O resultado final da medição é dado or: 58 ±,5% m/s (0:)

8 3.5. Eemlo : Medida da diferença de duas grandezas. Suonha que o resultado que se deseja,, seja obtido ela diferença da medição de duas grandezas, e da seguinte forma: Suonha que as medições forneceram e 0,98. Ainda, suonha que as incertezas relativas nas duas grandezas sejam % ± A incerteza no resultado final ode ser avaliada or: com e, tem-se ou ( ) ( ) substituindo-se os valores numéricos: 7%!!! 0,7 0,0 0,98 0,98 0,0 0,98

9 3.6 Incerteza na Estimativa da Média de uma Amostra Finita. imos que a média e o desvio adrão caracterizam uma distribuição Gaussiana. Estes arâmetros são determinados a artir de um número muito grande de medidas. Entretanto, normalmente, disõe-se de um número limitado de medidas, tornando-se necessário estimar a incerteza da média obtida através da eressão: i Podemos associar a cada medição i um desvio adrão i. Assim,... i o coeficiente de sensibilidade i então,... tomando-se os i como senso iguais, ( )... ou Suonha, como eemlo, dez medidas da massa de um coro em gramas: 86, 85, 84, 89, 85, 89, 87, 85, 83, 85g A média é m 85, 7g e o desvio adrão m, 6g. Então, o desvio adrão da média é dado or: m m 7g 0 0, Assim, a medida é dada or m 86,7g ±0,7g. Se utilizarmos a faia de incertezas como ±, temos: m 86,7g ±,4g

10 ote que cai com. Assim, ara diminuirmos a incerteza da média or um fator de, digamos, 0, recisamos aumentar o número de medições que comõem a média de um fator de 00. ote também que as incertezas sistemáticas não serão reduzidas com o aumento de. 3.7 ejeição de Dados Eerimentais. Algumas vezes uma certa medida de uma série de medidas arece desviar significativamente das outras medidas. este caso, o eerimentalista deve decidir se esta medição é o resultado de algum erro grosseiro cometido e deve, ortanto, ser descartada. Obviamente, caso seja ossível, deve-se reetir os eerimentos ara confirmar o resultado duvidoso. Caso não seja ossível reetir o eerimento, seria interessante ter-se um critério que auiliasse a decisão sobre a rejeição ou não de um determinado onto eerimental. O Critério de Chauvenet ara a rejeição de ontos ruins ode ser utilizado. O critério de Chauvenet estabelece que uma determinada leitura ode ser rejeitada se a robabilidade de obter um desvio articular em relação à média for menor que /, onde é o número de medições realizadas. A robabilidade de um determinado desvio µ ocorrer é dada or: µ P ( ) e π Definindo o desvio de uma medida como d sus, onde sus é a medida suseita em questão, elo critério de Chauvenet, o máimo desvio aceitável ara uma amostra formada or ontos, é dado or: d e ma π caso d > d ma, o onto em questão ode ser rejeitado. A tabela abaio aresenta valores ara a razão entre o máimo desvio aceitável e o desvio adrão, ara diferentes valores de, obtidos da eressão acima.

11 Tabela o. de Medidas () d ma,5 3,38 4,54 5,65 6,73 7,80 0,96 5,3 5,33 50,57 00, , ,48 Para eliminar ontos ruins seguindo o critério de Chauvenet, rocedemos da seguinte forma: a) mede-se a variável um número de vezes e estima-se média e desvio adrão da disribuição i, ( ) i b) calcula-se o desvio entre cada medida e a média dividindo-se o resultado or di i c) usando um número de leituras, comarar o valor de d i com d ma. Se for maior, rejeita-se o onto e recalcula-se a média e o desvio. O critério somente deve ser alicado uma única vez à distribuição.

12 A seguir é aresentado um eemlo da alicação do critério de Chauvenet. Considere os resultados na medição do comrimento de um coro aresentados na tabela abaio. erifique se algum onto ode ser rejeitado. Leitura Comrimento (cm) 49,36 50, 3 48, ,4 5 49,6 6 50, ,8 8 49, , ,39 a) i 49, 53 i ( ) 0, 495 b) Leitura d i d i -0,7 0,345 0,589,90 3-0,55,3 4-0,9 0, ,7 0,547 6, ,35 0, ,359 0,75 9-0,0 0, ,4 0,85 c) verifica-se que o desvio da leitura número 6 dividido elo desvio adrão é o único que ultraassa o valor de,96 estabelecido como o máimo desvio ara uma amostra de 0 medidas, como ode ser verificado na Tabela. Assim, este onto ode ser rejeitado. ecalculando-se a média e o desvio adrão obtém-se: 49,4 e 0,359