c) Repita as alíneas (a) e (b), admitindo que o investidor pretende agora obter um rendimento esperado de 12%.

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1 Casos Práticos Caso 3.1 Considere as seguintes inormações relativas a duas acções: cção cção Rendibilidade eserada 15% 10% Desvio adrão da rentabilidade eserada 1% 8% Valor de cotação EUR10 EUR15 Coeiciente de correlação linear entre as rentabilidades eseradas das acções e = 0.5. Pretende-se que: a) Suondo que o investidor retende alicar EUR10,000 e obter um rendimento eserado de 10.5%, determine a comosição da carteira a constituir bem como o desvio adrão da resectiva taa de rentabilidade. b) nalise a eiciência da carteira deinida na alínea anterior. c) Reita as alíneas (a) e (b), admitindo que o investidor retende agora obter um rendimento eserado de 1%. d) Sabendo que o investidor ode realizar alicações e contrair emréstimos à taa de juro sem risco de 6%: d.1) antém a comosição estabelecida na alínea (c) ara uma carteira eiciente a um nível de rentabilidade eserada de 1%? d.) Caso contrário, determine a comosição e o desvio adrão da taa de rentabilidade ara a nova carteira. a) Solução a.1) Determinação da comosição ótima da carteira. comosição da carteira ( ), aenas comosta or acções e, terá de ser tal que a sua taa de rentabilidade eserada corresonda a 10.5%, isto é, E = 10.5%. Por outro lado, como a rentabilidade de uma carteira de títulos é dada ela média das rentabilidades de cada um dos títulos comonentes, onderada elo eso relativo de cada activo no ortólio, então (eso relativo das acções na carteira) e " " (eso relativo das acções na carteira) deverão ser tais que: r 10.5% 15% 10% 10.5% 15% 10%

2 Em síntese, o investidor deve alicar 10% da sua riqueza (isto é, 0.1 EUR10,000 = EUR1,000) nas acções e os restantes 90% (ou seja, 0.9 EUR10,000 = EUR108,000) nas acções. Para o eeito, terá de adquirir 1,00 acções (1,000 / 10) e 7,00 acções (108,000 / 15). a.) Cálculo do desvio adrão da taa de rentabilidade da carteira ( ; ) (0.1 ; 0.9). O desvio adrão da carteira ( ; ) ode ser obtido do seguinte modo: 1, onde COVr, r.,, as como, ao invés da covariância, aenas é conhecido o valor do coeiciente de correlação linear (, ) e sabe-se que,,, então é reerível recorrer à seguinte eressão:, Deste modo, %. b) Uma carteira de títulos diz-se eiciente quando não eiste nenhum outro ortólio que oereça maior rentabilidade eserada ara igual nível de risco ou menor risco ara idêntico nível de rentabilidade. 1 Com eeito, VRr VR r r VRr VRr COVr, r Sendo o nível de risco da carteira medido elo resectivo desvio adrão da taa de rentabilidade.

3 ratando-se de aenas duas acções, o conjunto de ossibilidades de investimento (ou seja, o conjunto de carteiras que odem ser constituídas combinando, em dierentes roorções, os diversos títulos) é graicamente reresentado or uma arábola; no caso em análise, trata-se do arco ilustrado no gráico anterior. odavia, somente as carteiras situadas sobre o troco ascendente da arábola (arco C) odem ser consideradas carteiras eicientes, visto que qualquer carteira ertencente à arcela descendente da arábola é suerada em termos de rentabilidade (ara igual nível de risco) or um outro ortólio situado sobre a ronteira eiciente de arkowitz (arco C) 1. Consequentemente, a análise da eiciência da carteira ( ; ) (0.1 ; 0.9) consiste em veriicar se tal carteira está ou não situada sobre o arco C (arco comreendido entre a carteira de menor risco -C- e a carteira de maior rentabilidade -). Para tal, ir-se-à deduzir a equação reresentativa da ronteira eiciente de arkowitz: E r E r E r Er Er Er 96Er equação anterior -.48Er 96Er reresenta o conjunto de ossibilidades de investimento, ois eistindo aenas dois títulos a ortolio rontier identiica-se com o easible ortolio set. Para obter a equação reresentativa da ronteira eiciente de arkowitz há que considerar a eressão anterior, mas somente a artir do onto de desvio adrão mínimo: E rd E r 1 Por eemlo,. D rata-se da equação de uma arábola, no esaço média variância, ou de uma hiérbole, no esaço média desvio-adrão. 3

4 in r : 1 E d de r R Er 96Er r Er 96Er E 0 8 R % E mv 4 Fronteira eiciente de arkowitz.48er 96Er 576, ara Er % Concluindo, a carteira ( ; ) (0.1 ; 0.9) não é eiciente, dado que o seu rendimento eserado (10.5%) é inerior ao nível de rendimento associado à carteira de desvio adrão mínimo, elo que a carteira em análise (onto E do gráico anterior) situa-se ora da ronteira eiciente de arkowitz. 1 condição de segunda ordem é veriicada, ois: d de r Er 96Er O nível mínimo de risco que ode ser obtido mediante a combinação das acções e é então de: 576 Er % %

5 c) c.1) Determinação da comosição da carteira ( ; ): Para obter uma rentabilidade de 1%, o investidor deve alicar 40% da sua riqueza nas acções (adquirindo 0.4 EUR10,000 / 10 = 4,800 títulos) e 60% nas acções (adquirindo 4,800 títulos = 0.6 EUR10,000 / 15). c.) Determinação do desvio adrão associado à carteira ( ; ) (0.4 ; 0.6) % c.3) nálise da eiciência da carteira ( ; ) (0.4 ; 0.6) carteira em análise é eiciente, ou seja, está situada sobre a ronteira eiciente de arkowitz, ois o seu nível de rendimento (1%) é suerior ao rendimento associado ao ortólio de desvio adrão mínimo (10.714%). d) d.1) Eistindo a ossibilidade de eectuar alicações inanceiras ou inanciamentos à taa do activo sem risco (designada or " r "), então a ronteira eiciente (lugar geométrico das carteiras, E ) ( 0%,r 6% ) eicientes) assa a ser dada ela semi recta com origem no onto ( r 5

6 e tangente à ronteira eiciente de arkowitz, ou seja, uma carteira eiciente será semre uma combinação linear entre a carteira de tangência (designada or "") e alicações ou inanciamentos à taa do activo sem risco. Consequentemente, a carteira de tangência constitui o único ortólio aenas comosto or acções que é eiciente, elo que a carteira deinida na alínea (c) somente será eiciente caso corresonda à carteira de tangência. Seguidamente ir-se-á roceder à determinação da carteira "" aroveitando o acto de, no onto "", a inclinação da ronteira eiciente de arkowitz ser igual à inclinação da nova ronteira eiciente. No onto "", a inclinação da ronteira eiciente de arkowitz é igual a: der 1 1 d d 8.96Er 96 der 4.48E r 96E r E r 96Er r E 576 = De igual modo, a inclinação, no onto "", da recta reresentativa da nova ronteira eiciente é dada or Er 6. 0 ssim, como, no onto "", as duas inclinações são idênticas e, or outro lado, o desvio adrão dado ela recta é igual ao determinado ela curva reresentativa da ronteira eiciente de arkowitz (isto é, r 96Er E ), logo: 6

7 4.48E r 96Er 576 Er 6 E r Er 96Er r % E Portanto, % Concluindo, a carteira deinida na alínea (c) -, Er 8.314%,1% em que não coincide com a carteira de tangência - Er 10%,13.636% d.) Como % E r,. -não é eiciente, na medida 1, então a carteira eiciente ara um nível de rendimento de 1% irá consistir numa combinação entre a carteira de tangência e uma alicação 1 à taa sem risco (onto "F" do gráico seguinte), roorcionando necessariamente um desvio adrão inerior a 8.314%. ssim, designando or " " a ercentagem da riqueza do investidor alicada na carteira de tangência e or " " a ercentagem investida no activo sem risco, vem: carteira eiciente, : Caso contrário (ou seja, se o nível de rendimento desejado osse suerior à rentabilidade eserada ara a carteira de tangência), haveria que contrair um inanciamento à taa de juro sem risco ara alicar o montante obtido (juntamente com a riqueza do investidor) na carteira de tangência. 7

8 Daqui resulta que o investidor deve alicar % da sua riqueza na carteira de tangência e os restantes 1.45% no activo sem risco. as, como a carteira de tangência integra aenas acções e, roorcionando um rendimento de %, então % é comosta em 7.7% or acções e em 7.8% or acções, elo que, %,1.45%,, %; %;1.45 %,, %,1.435%,1.45% o investidor, ara obter uma remuneração de 1% minimizando o risco, deve alicar a sua riqueza do seguinte modo: % em acções (0.5714EUR10,000 / 10 6,857 acções), 1.435% em acções (0.1435EUR10,000 /15 1,715 acções) e 1.45% (0.145EUR10,000 = EUR5,710) numa alicação sem risco. Constituindo, o investidor, a carteira deinida anteriormente -, %,1.45%,, %,1.435%,1.45% -, ele irá incorrer num nível de risco de:, % 7.858% (< 8.314%) 1 1 Pois, 0. Em alternativa,,,, e como,, 0, então %. 8

9 Caso 3. O Fundo de Investimento ESC retende otimizar a decomosição da sua carteira de activos em três grandes áreas de negócios: obrigações, acções e imobiliário. O quadro seguinte resume as revisões eectuadas sobre a evolução dos três segmentos de mercado durante o róimo ano bem como a actual comosição da carteira do Fundo ESC. Obrigações cções 1 Imobiliário aa de rentabilidade eserada 4.0% 10% 0% Desvio-adrão da taa de rentabilidade 3.0% 0% 15% Parâmetro beta Comosição actual da carteira 50% 0% 30% s correlações históricas entre as taas de rentabilidade dos diversos mercados são resumidas no quadro seguinte: Obrigações cções Imobiliário Obrigações 1 cções Imobiliário Com base nos elementos anteriores, deduziu-se a seguinte equação ara a ronteira eiciente de arkowitz:.67e r E r E r.80. Pretende-se que: % 0 a) nalise a eiciência da actual comosição do Fundo ESC. b) Calcule os níveis de rentabilidade eserada e de risco que o Fundo ESC deverá ter or objectivo, U e E r 6. assumindo a seguinte unção de utilidade: c) Sabendo que os ilhetes do esouro a um ano estão actualmente cotados a 96.15%, qual a taa de rentabilidade eserada a 1 ano ara o índice Dow Jones Eurostock 50? Solução a) actual comosição é eiciente sse a sua rentabilidade eserada e desvio-adrão obedecerem à equação da ortolio rontier e estiverem acima da minimum variance ortolio. r 4% % 0. 0% %. E 1 s revisões ara o mercado accionista baseiam-se no índice Dow Jones Eurostock 50. 9

10 %. Via equação da ortolio rontier: % 6.465%. actual comosição da carteira não é eiciente, uma vez que é ossível, ara igual taa de rentabilidade eserada obter um menor nível de risco. b) X E r, Sujeito a U e E r 0.67E r 6 e E r E Er r mv X E r,, Sujeito a L e E r Er Er r.80% E Condições de rimeira ordem: L 0 6 ee r ee r 6 10

11 L E r 0 e E r Er e E r 6 6 ee r Er Er Er 15.0%.8%. L E r Er % c) r E 100% 96.15% 1 4% r : 10% 4% Er E r 11.5%. 4% 0.8 Caso 3.3 O Fundo de Investimento ESC retende otimizar a decomosição da sua carteira de activos em quatro grandes áreas de negócios: obrigações, acções, imobiliário e liquidez (ou seja, deósitos bancários). O quadro seguinte resume as revisões eectuadas sobre a evolução dos quatro segmentos de mercado durante o róimo ano bem como a actual comosição da carteira do Fundo ESC. Obrigações cções 1 Imobiliário Liquidez aa de rentabilidade eserada 4.0% 8% 0% 3% Desvio-adrão da taa de rentabilidade.0% 5% 15% 0% Comosição actual da carteira 55% 15% 0% 10% s correlações históricas entre as taas de rentabilidade dos diversos mercados são resumidas no quadro seguinte: 1 s revisões ara o mercado accionista baseiam-se no índice Dow Jones Eurostock

12 Obrigações cções Imobiliário Obrigações 1 cções Imobiliário Com base nos elementos relativos aos segmentos accionista, obrigacionista e imobiliário, deduziu-se a seguinte equação ara a ortolio rontier:.7430e r E r 0.. Pretende-se que: a) Calcule a taa de rentabilidade eserada e o resectivo desvio-adrão ara a carteira de variância mínima. b) nalise a eiciência da actual comosição do Fundo ESC, sabendo que a carteira de tangência ossui uma rentabilidade eserada igual a 14.15% e um desvio-adrão igual a 9.47%. c) Calcule a taa de rentabilidade eserada e o resectivo desvio-adrão ara a carteira ótima, U ln E r 4. assumindo a seguinte unção de utilidade: d) Sabendo que a taa de rentabilidade eserada a 1 ano ara o índice Dow Jones Eurostock 50 é igual a 7%, calcule o arâmetro beta da comonente accionista do Fundo ESC. Solução a) in Er Er r E Condição de 1ª ordem: E E r Er 3.34%. r mv mv %. b) ctual comosição: r 4% % % 0. 3% %. E 1

13 %. Equação da ronteira eiciente global: E 14.15% 3% r 3%. 9.47% actual comosição só é eiciente sse a anterior equação or veriicada: 14.15% 3% r 3% 4.693% 8.56% 7.7%. E 9.47% Visto a anterior roosição ser alsa, conclui-se que a actual comosição é ineiciente. De acto, ara igual nível de risco (4.693%) é ossível obter um maior nível de rentabilidade eserada (8.56% > 7.7%). c) X E r, Sujeito a U ln E r E % 3% r 3% 9.47% X E r,, L ln E r Er Condições de rimeira ordem: L E r E r 4 E r

14 L Er 4 Er 4 Er % L E r 3% % 0.33% E r 0 d) : 8% 3% 7% 3% 1.5. Caso 3.4 Da análise da carteira de acções PN (denominada em EUR) auraram-se os seguintes indicadores:.rendibilidade eserada ara o róimo ano = 18%; e.variância da taa de rendibilidade = 44. Por outro lado, revê-se que o índice Dow Jones Eurostock 50 1 registe um acréscimo anual de 3% e a análise da variância do índice indica um valor de 310. Sabendo que os ilhetes do esouro a 1 ano estão, neste momento, a ser emitidos a 3%, retende-se que analise a eiciência da carteira PN. Solução carteira de acções PN -, E r %,18% - não é certamente eiciente, ois a única carteira aenas comosta or acções (isto é, que não engloba alicações ou inanciamentos à taa de juro sem risco) que se encontra sobre a Caital arket Line (CL) é a carteira cóia do mercado - E r %,3%., 1 Este índice engloba 50 das maiores acções transaccionadas na zona euro. Lugar geométrico das carteiras eicientes, as quais, à luz dos ressuostos inerentes ao Caital sset Pricing odel (CP), consistem em combinações entre a carteira cóia de mercado e o activo sem risco. 14

15 Com eeito, é ossível identiicar um ortólio baseado na combinação da carteira cóia do mercado (onto "" do gráico seguinte) e do activo sem risco que, ace à carteira PN, orneça um menor desvio adrão ara igual rentabilidade (onto "X"): ssim, sendo 75% da riqueza investida na carteira cóia do mercado e os restantes 5% alicados na aquisição de ilhetes do esouro, obter-se-à uma remuneração de 18% e um desvio adrão de aenas: % 13.05% (< 15.60%) Caso 3.5 dmita que disõe das seguintes acções ara investir: cção cção cção C eta Desvio Padrão 1% 14% 8% Coeicientes de correlação: / = 0.6; /C = 0.4; /C = Ou uma maior rentabilidade ara idêntico desvio adrão (onto "Y"). " " reresenta a ercentagem investida na carteira cóia do mercado e " " designa a ercentagem alicada ou inanciada à taa de juro sem risco. 15

16 rendibilidade eserada ara o mercado accionista é de 1%, enquanto que os títulos sem risco aresentam uma rendibilidade de 5%. Pretende-se que: a) Suonha que retende alicar EUR100,000 nas acções,, C (tendo como restrição que o valor a alicar em + não oderá ser inerior a 70% da carteira) e obter um rendimento de 13%. Determine a comosição da carteira, bem como o resectivo nível de risco. b) nalise a eiciência da carteira anterior. Se esta não or eiciente determine a comosição da carteira eiciente ara o mesmo nível de rendibilidade. Solução a) Rentabilidade eserada de = 5% + 1. (1% - 5%) = 13.4% Rentabilidade eserada de = 5% (1% - 5%) = 14.8% Rentabilidade eserada de C = 5% (1% - 5%) = 10.6% 13.4%Wa %Wb %Wc = 13% Wa + Wb + Wc = 1 Wa + Wb = 0.7 Wa = 38.57% Wb = 31.43% Wc = 30.00% O risco da carteira é dado ela seguinte eressão: c = (38.57% * 1%) + (31.43% * 14%) + (30% * 8%) + ( * 38.57% * 1% * 31.43% * 14% * 0.6) + ( * 38.57% * 1% * 30% * 8% * 0.4) + ( * 31.43% * 14% * 30% * 8% * 0.5) c = 9,51% b) Considerando que o investidor ode eectuar alicações e inanciamentos à taa de juro sem risco teremos como carteira eiciente, e à luz do CP, uma combinação de carteira cóia de mercado com activo sem risco, a qual, ara uma rentabilidade idêntica, aresentará um nível de risco inerior. 16

17 1% Wm + 5% W = 13% Wm + W = 1 Wm = W = Para obter a mesma rentabilidade o investidor endivida-se em 14,90 Euros à taa de risco nulo e alica 114,90 Euros na carteira cóia do mercado. Caso 3.6 Considere as seguintes inormações: cção cção Carteira cóia do mercado ctivo sem risco Rendibilidade eserada 19.45% 0.5% 15% 3% Rendibilidade eserada de equilíbrio?? 15% 3% Coeiciente de correlação linear com a carteira cóia do mercado Desvio adrão da taa de rentabilidade eserada 1% 15% 8% 0% Pretende-se que: a) Desenhe a Security arket Line. b) Calcule os arâmetros beta das duas acções. c) Posicione as duas acções na Security arket Line. d) Calcule os arâmetros ala das duas acções. e) Formule a decisão de investimento a tomar ace a cada uma das duas acções. Solução a) Como ara reresentar uma recta basta conhecer dois ontos e, or outro lado, sabe-se que os arâmetros beta associados à carteira cóia do mercado ( ) e ao activo sem risco ( ) são iguais à unidade e a zero, resectivamente, logo: 17

18 b) b.1) cção,, 64 sendo, arâmetro beta da acção ;, covariância entre a rendibilidade eserada da acção e da carteira cóia do mercado; e variância da taa de rendibilidade do mercado. Por outro lado,,,, , 86.4 sendo,, coeiciente de correlação linear entre as taas de rendibilidade da acção e do mercado; desvio adrão da taa de rendibilidade d a acção ; e desvio adrão da taa de rendibilidade do mercado. Então, b.) cção sendo,,

19 arâmetro beta da acção ;, coeiciente de correlação linear entre as taas de rendibilidade da acção e do mercado; desvio adrão da taa de rendibilidade da acção ; e desvio adrão da taa de rendibilidade do mercado. c) Security arket Line relaciona a rentabilidade eserada de equilíbrio com o arâmetro beta (ou seja, com o risco de mercado; único risco relevante de um título, quando inserido numa carteira comletamente diversiicada) de um determinado activo. ssim, uma vez determinados, na alínea anterior, os arâmetros beta associados às acções e, basta agora calcular as suas rendibilidades de equilíbrio mediante a utilização da órmula SL E ri r Er r i sendo, E SL ri rendibilidade eserada de equilíbrio ara o título "i"; r taa de juro do activo sem risco; E r rendibilidade eserada ara a carteira cóia do mercado; e i arâmetro beta do título "i", e considerando r 15% E e r 3% : -Rendibilidade de equilibrio eserada ara o título SL r E SL r % -Rendibilidade de equilibrio eserada ara o título R : E SL r % E : d) Como i r E E i SL r i 19

20 sendo, i arâmetro ala associado ao título "i"; E rendibilidade eserada ara o título "i"; e E r i SL r i rendibilidade eserada de equilíbrio ara o título "i", então: -arâmetro ala associado à acção : 19.45% 19.0% 0.5% -arâmetro ala associado à acção : 0.5% 1% 0.5% e) e.1) cção : 0 Comrar (desde que a acção seja inserida numa carteira comletamente diversiicada). e.) cção : 0 Vender. Caso 3.7 Considere a seguinte carteira X constituída or três acções (,,C): Peso Relativo Desvio Padrão de rentabilidade Covariâncias C 0% 10% % 15% C 50% 8% C rentabilidade eserada ara o mercado accionista é de 15%, com um desvio adrão de 7%. rentabilidade do activo sem risco é de 5%. Pretende-se que: a) Determine o risco (desvio adrão da rentabilidade) da carteira. b) Deina uma carteira Y (comosição e rentabilidade eserada) situada na Caital arket Line, cujo nível de risco seja idêntico ao da carteira X 0

21 Solução a) X = ( W ) + ( W ) + ( W C C ) + ( W W ) + ( W W c C ) + ( W W C C ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) X = X = 9.87% b) Y = W = W 0.07 W = W + W = 1 W F = E (R Y) = % % E (R Y) = 18.67% Caso 3.8 Considere as seguintes inormações: Rentabilidade Eserada Desvio Padrão da Rentabilidade Coe. correlação com o mercado cção 7% 0.9 cção 14% 0.8 Carteira ercado 16% 1% ctivo Risco Nulo 5% O coeiciente de correlação linear entre as rendibilidades de e é de dmita que ode azer alicações e inanciamentos à taa do activo sem risco. Pretende-se que: 1

22 a) Determine a comosição de uma carteira que inclua aenas as acções e, de modo a que a sua rentabilidade eserada seja de 13%. b) Determine o risco total e o risco esecíico da carteira calculada na alínea anterior. c) carteira é totalmente diversiicada? Justiique. d) dmita que tem EUR10,000 ara investir. Qual a melhor orma de alicar este valor de modo a obter uma rentabilidade eserada de 18%? Solução a) W E(r ) + W E(r ) = 13% Relativamente à acção temos:, = 0.55 E(r ) = 5% (16% - 5%) = % Relativamente à acção temos: = 0.9(3) 0.1 E(r ) = 5% + 0.9(3) (16% - 5%) = 15.(6)% Para o cálculo dos esos relativos de cada uma das acções (W, W ) temos: W W = 13 W + W = 1 W = W = 0.495

23 b) Risco otal P : P = (w ) + (w ) + W W P = ( ) + (o ) P = 9.86% Risco Eseciico ep : P = ( ) + ep = W + W = (3) 0.77 ep = P ( ) ep = 4.6% c) o ossuir risco eseciico, não ode ser considerada totalmente diversiicada. d) orma mais eiciente de eectuar uma alicação, corresonde a investir numa comosição de activos sem risco e carteira cóia de mercado. (W m, W ) =?, E(r ) = 18% 16% W m + 5% W = 18% W m + W = 11 W m = W = Desta orma o investidor deve obter um inanciamento de EUR1,818 à taa do activo sem risco, e alicar na carteira cóia de mercado EUR11,818. 3