3 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros

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1 3 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros Antes de adentrarmos na descrição teórica da ETTJ e de alguns de seus modelos é imortante que clarifiquemos algumas das definições básicas que vamos usar nesse trabalho. Assim, nessa subseção aresentaremos as definições de títulos zero-couon, taxa efetiva (effective yield), taxa anualizada (annualized yield), yield sreads, excesso de retorno, a definição de estrutura a termo observada e teórica, entre outras Titulo zero-couon Esses títulos são títulos de renda fixa que fazem um único agamento em uma data futura conhecida como data de vencimento do título (ou data de maturidade). O valor de face do título é o valor do agamento a ser efetuado na data de vencimento do título. O título é negociado com desconto em relação a esse valor de face. Aesar de o valor de face de um título oder assumir qualquer valor, em nosso trabalho, faremos semre referência a títulos zero-couon com valor de face de uma unidade monetária. Tal normalização visa aenas adronizar títulos com valores de face diferentes, não tendo, obviamente, qualquer imacto sobre as taxas às quais os títulos são efetivamente negociados. O razo de um título zerocouon, no instante t, é o esaço de temo a transcorrer entre o eríodo t e a data de vencimento do título. Nas seções emíricas desse trabalho, trabalharemos semre com razos anualizados.

2 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros A taxa efetiva e a taxa anualizada de um título zero-couon A taxa efetiva do título (effective yield) em um ambiente de temo contínuo, então, é facilmente calculável através da fórmula: y effective FV 1 = = (2) onde: y é o valor da taxa efetiva, em t, aga or um zero-couon com effective vencimento em T; em T(t<T); FV é o valor de face do título em t, adronizado ara $1, que será ago é o valor (reço) elo qual esse título zero-couon, com vencimento em T, é negociado em t (t<t). Usualmente, os títulos não são negociados elos seus reços nem elas suas taxas efetivas, e, sim or suas taxas anualizadas. Aqui, alertamos o leitor ara outra convenção que utilizaremos daqui or diante. Semre que nos referirmos à taxa à qual um título é negociado, sem quaisquer outras indicações, estaremos fazendo referência às suas taxas anualizadas. Além disso, as taxas anualizadas de um título deendem da convenção acerca da forma como os juros são comostos. Em um ambiente de juros comostos continuamente, a taxa de juros anualizada de um título com reço de (lembramos que o valor de face do título é semre $1) será dada or: y, *( ) log(, ) log(, ) tt T t tt t τ e = y = yt, τ = ( T t) τ (3) onde:

3 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 28 ytt, ou y t,τ é o valor da taxa anualizada de um zero-couon com vencimento em T e negociado a em t (T>t); ( T t) = τ é o valor em unidades anuais do razo, em t, de um zero-couon. Em nossa análise, consideramos que os títulos zero-couon estão isentos da ossibilidade de calote. Assim, as taxas às quais os títulos estão sendo negociados são indicativas de dois fatores: 1. o valor intertemoral do dinheiro e 2. o risco associado à volatilidade da taxa de juros de curto razo. Se um investidor comra um título zero-couon em t e o mantém até o vencimento em T (t<t), ele receberá $1 no dia do agamento. Não há risco nessa oeração, entretanto ele estará com seu caital indisonível entre o eríodo t e o eríodo T, ele demanda uma remuneração or isso chamamos esse fator de valor intertemoral do dinheiro 12. Além disso, se o investidor considera a ossibilidade de se desfazer do título antes de seu vencimento, ele está exosto ao risco de que variações na taxa de juros de curto razo alterem o valor de revenda do título. Um título que aga $1 em T, ode valer menos, em t<t, caso ocorram aumentos na taxa de juros de curto razo. Esse é o risco associado à volatilidade da taxa de juros. É imortante salientar que, em nenhuma dessas situações, o investidor está exosto ao risco associado à saúde financeira do emissor. O investidor não leva em conta, em sua análise, a ossibilidade de não receber o valor de face do título no vencimento. Essa é a razão ela qual a ETTJ de uma economia é normalmente obtida através das taxas às quais são negociadas os títulos do governo e, não, elas taxas a que são negociados títulos de emresas, ois o governo de um aís é, normalmente, considerado o emissor de risco zero. O governo não dá calote. 12 Em oucas alavras, uma unidade monetária em t tem valor diferente de uma unidade monetária em T (t<t).

4 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 29 Discutiremos o quão realista é esta hiótese de que os títulos emitidos elo governo não aresentarem ossibilidade de calote ara caso brasileiro no caítulo A ETTJ observada, teórica e interolada Dado um conjunto das taxas de juros às quais são negociados os títulos zero-couon ara diferentes vencimentos/ maturidades de um governo, obtém-se a ETTJ ara essa economia. A ETTJ observada ara essa economia é o conjunto de ares ordenados (taxa de juros, maturidade) dos títulos zero-couon emitidos elo governo. Suonha que em determinado dia, o governo de algum aís tivesse títulos zero-couon negociados às taxas exostas na tabela abaixo: # Dias Taxa # Dias Taxa 1 19,05% ,93% 30 18,88% ,02% 60 18,83% ,15% 91 18,80% ,24% ,79% ,35% ,82% ,52% Tabela 1: ETTJ observada em um dia hiotético 13 A ETTJ observada ode ser melhor visualizada no gráfico abaixo: 22,00% 21,50% 21,00% 20,50% 20,00% 19,50% 19,00% 18,50% Maturidade (# anos) Figura 1: ETTJ observada em um dia hiotético Como vemos no gráfico acima, or diversas razões 14, o governo não emite títulos ara todas as maturidades ossíveis e, ainda que emitisse, todos esses 13 Na verdade, esses são os dados da ETTJ brasileira ara o dia 18 de fevereiro de 2002.

5 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 30 títulos não seriam negociados todos os dias, somente alguns deles. Temos, então, uma ETTJ incomleta, significando com isso que ara várias maturidades/ vencimentos não temos a taxa de juros associada. Se o conjunto dos títulos emitidos cobrisse a totalidade dos vencimentos ossíveis, então teríamos uma ETTJ comleta ara esse dia, ou seja, taxas associadas a qualquer vencimento ossível. Uma ETTJ comleta, até o razo de um ano, tomaria a seguinte forma: 22,00% 21,50% 21,00% 20,50% 20,00% 19,50% 19,00% 18,50% Maturidade (# anos) Figura 2: ETTJ observada (comleta) em um dia hiotético Usualmente, a ETTJ observada não é comleta. No entanto, ara os articiantes do mercado de títulos é imortante ter a caacidade de associar à qualquer maturidade a taxa de juros que vigoraria caso um título do governo tivesse sido negociado naquele vencimento, ou seja, é imortante ter a caacidade de se obter uma ETTJ comleta ou, ao menos, uma boa aroximação dessa. De forma geral, existem duas formas rinciais ara que obtenhamos aroximações de uma ETTJ comleta. A forma mais usual de se aroximar taxas não observadas é a interolação. As técnicas de interolação são as mais variadas. Normalmente, utilizam-se olinômios com formas conhecidas (como os de Legendre ou Bernstein) como funções que ligam o razo de vencimento à taxa de juros. Não há um modelo teórico or trás desse aroach. Suõe-se que a ETTJ ode ser exlicada or uma função f (normalmente, essa função é um olinômio). Estimam-se, então, os 14 Criar liquidez em mercado secundário de títulos, investidores que ossuam referência or vencimentos esecíficos são algumas das razões elas quais o governo escolhe emitir uma

6 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 31 coeficientes da função (olinômio) que melhor se ajustam às taxas de fato observadas no mercado. Na rática, o grau do olinômio é escolhido de forma que as taxas calculadas a artir do olinômio ara os vencimentos observados (os chamados vértices ) tenham ajuste erfeito às taxas, de fato, observadas. De osse desses coeficientes, é ossível, dado que conhecemos a forma funcional da função/olinômio, se obter a taxa de juros associada à qualquer maturidade/ vencimento. A ETTJ obtida com esse método é chamada ETTJ interolada. Alguns trabalhos imortantes estudam a ETTJ interolada. Entre eles, citamos Almeida (2001). A outra forma de se aroximar uma ETTJ comleta é através de um modelo estrutural e/ ou teórico ara a ETTJ 15. Tais modelos teóricos, como veremos à frente (Caítulo 4), são funcionais, que ara qualquer instante do temo t, fornecem a taxa de juros associada a qualquer vencimento desejado 16. Nesse sentido, eles executam uma ação muito similar à executada elos olinômios na interolação. É reciso, entretanto, salientar as diferenças entre o trabalho de estimação de um modelo teórico da ETTJ e um trabalho de interolação da ETTJ observada. Um modelo teórico da ETTJ é derivado a artir de uma equação diferencial estocástica ara os fatores da economia 17 que, or hióteses de equilíbrio ou não arbitragem, geram um funcional 18 que exlica a dinâmica da ETTJ ao longo do temo como função desses fatores da economia. Um modelo teórico calibrado ou estimado não tem orque se ajustar erfeitamente à ETTJ observada da economia 19, afinal, o modelo imõe uma série de restrições tanto em relação à dinâmica dos fatores/ estados (que formam a taxa de curto razo) como maior concentração de dívida em determinados vencimentos. Cox, Ingersoll e Ross (1981) é uma excelente referência na discussão de algumas dessas teorias relacionadas à ETTJ. 15 De fato, é através desse método que vamos obter uma ETTJ comleta nesse trabalho. 16 De forma mais esecífica, esses modelos se constituem de uma equação ara a dinâmica da taxa de curto razo e outra equação que liga a taxa de curto razo às taxas associadas a vencimentos mais longos. Chamamos tais modelos anteriormente de fully-secified models da ETTJ. 17 No modelo de 1 fator, esse fator é normalmente associado à taxa de juros de curto razo e/ ou livre do risco da economia. 18 Funcional no sentido matemático como uma função de funções. Afinal, um modelo teórico da ETTJ normalmente fornece uma exressão que, ara cada eríodo do temo t, fornece uma função que associa a cada maturidade T uma taxa de juros. 19 A literatura teórica tem rocurado desenvolver modelos que ossam se ajustar totalmente à ETTJ observada. O modelo seminal é sem dúvida o de Heath, Jarrow e Morton (1992) que modela as taxas forward da ETTJ e não a taxa de curto razo.

7 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 32 em relação às correlações entre as várias taxas de mais longo razo que formam a ETTJ a cada eríodo do temo. A ETTJ obtida através de um modelo é chamada ETTJ teórica. Em termos de ajuste às taxas observadas, a interolação é mais flexível, ois desde que se use uma função de interolação de grau suficientemente alto é ossível garantir o ajuste da estrutura interolada à estrutura observada. Entretanto, como a interolação de uma ETTJ não está associada a argumentos de equilíbrio ou não-arbitragem, os resultados, assim obtidos, admitem oortunidades de arbitragem, uma roriedade não desejável em qualquer modelo que rocure dar reço a diferentes ativos ou exlicar a dinâmica temoral de uma ETTJ. O uso de modelos teóricos da ETTJ garante a consistência dos resultados com hióteses de não-arbitragem, além disso, vários dos arâmetros desses modelos carregam interesse er se, como o reço de risco do mercado e a taxa de juros de longo razo da economia. Esses modelos, entretanto, dadas as restrições que eles imõem, não garantem que as taxas teóricas sejam idênticas às taxas de fato observadas. Tal fato tem imedido, muitas vezes, o uso mais amlo na indústria financeira desses modelos, ois os agentes de mercado demandam antes de tudo que o seu modelo da ETTJ se ajuste erfeitamente às taxas observadas no mercado Yield Sread O yield sread mede a diferença nas taxas entre dois títulos com vencimentos diferentes. Em geral, esses dois títulos odem ser de quaisquer maturidades. Entretanto, nesse trabalho, semre vamos nos referir ao yield sread como uma medida da diferença entre a taxa de curto razo e a taxa de um outro título de maturidade mais longa, qual seja: s = y r (4) t

8 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 33 s é o yield sread, no eríodo t, entre a taxa de um zero-couon com vencimento em T e a taxa de curto razo; y é o valor da taxa anualizada de um zero-couon com vencimento em T; r t é o valor da taxa livre de risco ou taxa de curto razo da economia. Dessa forma, o conceito de yield sread será uma medida da inclinação da ETTJ em determinado eríodo do temo t. Como discutiremos mais à frente, a inclinação da ETTJ está associada ao risco de mercado e à taxa de longo razo ara a economia. Veja o gráfico abaixo, com alguns yield sreads ara a ETTJ brasileira do dia 21 de dezembro de ,5% 17,0% 16,5% 16,0% =0,58% =1,06% 15,5% 15,0% 14,5% Maturidade Figura 3: Yield sread (6 meses e 1 ano) no dia 21-Dez O retorno de um título e o excesso de retorno eserado Vimos que títulos zero-couon têm as mais variadas taxas de retorno anualizadas e maturidades. Entretanto, recisamos estabelecer com clareza qual o retorno de um título ara o investidor. Como ara qualquer outro ativo, esse retorno deende simlesmente do reço ago elo investidor na comra do título (relacionado à taxa a que o título era negociado no momento da comra) e o reço elo qual o investidor vendeu o título (relacionado à taxa a que o título era negociado no momento da venda).

9 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 34 Se o investidor comra um título e o mantém até o vencimento, então, seu retorno total será igual à taxa efetiva (effective yield) do título no momento da comra; e, seu retorno anualizado será igual à taxa anualizada no momento da comra. Entretanto, o investidor não necessariamente comra e mantém um título em carteira até o vencimento. Ele ode comrar um título de maturidade mais longa e mantê-lo or temo inferior ao da maturidade do título, or exemlo. Nesse caso, considere R tst,, como a taxa anualizada de retorno de um título com maturidade em T quando é comrado em t e vendido em s (t<s<t): st, ( s t) RtsT,, *( s t) = e (5) onde: em (T-s-t); R tst,,, retorno anualizado do investimento;, reço de um título zero-couon comrado em s com vencimento s, T ( s t), reço de um título zero-couon comrado em t com vencimento em T; ( s t ), duração do investimento em anos. É imortante notar que o retorno desse investimento, R tst,,, só é aurado no eríodo s, ou seja, em t, quando o investidor decidiu elo investimento, ele não sabe quanto será seu retorno. Em teoria, um investidor que decidi investir em um título de maturidade mais longa, or um determinado eríodo, esera receber um adicional de rendimento em relação ao que seria o seu retorno caso ele investisse no ativo livre de risco da economia. Esse adicional de rendimento eserado é chamado de excesso de retorno eserado e, em rincíio, é crescente com a maturidade do título. Como veremos no caítulo 4, os modelos teóricos da ETTJ fornecem uma exressão ara o cálculo do excesso de retorno eserado de um título zero-couon de longo razo.

10 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros A taxa forward e a taxa forward instantânea Títulos com diferentes vencimentos odem ser combinados de forma a se obter um retorno garantido no futuro. Através da comra e venda a descoberto de títulos, é ossível, no eríodo t, iniciar um investimento em t que irá agar $1 em T (t<s<t) ao investidor. A taxa de retorno desse investimento é chamada taxa forward. Essa taxa ode ser entendida como a taxa de um investimento feito em t, mas que irá vigorar entre s e T, (t<s<t), sendo que o investidor recebe uma unidade monetária nesse último eríodo. O rocedimento ara se obter tal investimento é o que segue: 1. Querendo garantir o agamento de $1 em T, o investidor comra, em t, um título com vencimento em T or ; 2. Como o investidor quer iniciar seu investimento somente em s, ele vende uma quantidade de títulos com vencimento em s, de forma a obter o valor tt, gasto na comra do outro título. Como o título com vencimento em s custa ts,, o investidor vende / ts, unidades do título com vencimento em s; 3. Assim, ele desembolsa zero, ois desembolsa em títulos com vencimento em T, mas recebe or títulos vendidos com vencimento em s. O retorno de tal investimento é dado or: onde: 1 ftst,, *( T t) = e (6) ( / ) ts, f tst,,, é a taxa forward contratado em t e que vigorará entre s e T; T-s, é o eríodo em anos ara o qual a taxa forward estará ativa.

11 Conceitos básicos relacionados à estrutura a termo da taxa de juros 36 A taxa forward instantânea em s é a taxa forward quando T tende a s (ou seja, s T 0 ). O gráfico abaixo exemlifica a relação entre a taxa forward e a taxa anualizada na ETTJ brasileira de 19 de setembro de ,0% 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% Taxa sot Taxa Forw ard 0,0% Maturidade (# dias) Figura 4: Taxa anualizada versus forward rate