CÁLCULO I Ano Lectivo o Semestre

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa CÁLCULO I Ano Lectivo o Semestre CORRECÇÃO EXAME a ÉPOCA Gruo a) A frase é falsa or dois motivos: - Função com derivada contém o caso em que as derivadas laterais são iguais mas in nitas. Nenhuma aroximação é ossível. - Mesmo que além de "com derivada" se dissesse diferenciável, a frase ainda estaria errada ois a diferenciabilidade garante aenas uma aroximação de Taylor de a ordem. b) A frase é falsa. O conjunto derivado é o conjunto dos ontos de acumulação. Se o nosso conjunto é formado elos termos de uma sucessão, se existir limite, então ele oderá será o nosso único onto de acumulação e o cardinal do derivado será. Mas atenção! Os ontos de acumulação odem ir além do limite! Uma sucessão que contenha duas subsucessões que convirjam ara valores distintos, não tem limite, mas ainda assim oderá terá dois ontos de acumulação. O derivado teria cardinal e não. Exemlos: A = x : x = ( ) n + n ; 8n N : Dois ontos de acumulação. B = fx : x = ( ) n ; 8n Ng : Nenhum onto de acumulação. Para re ectirem: o que está escondido or detrás das alavras a bold? Gruo a) O domínio da função g será Dg = x < : x + ^ x + Df = x < : x + ^ x + > = = fx < : x ^ x > g :De outro modo, Dg = ] : +[ : A função g é contínua no seu domínio orque é a comosição de duas funções contínuas nos seus resectivos domínios: x + é uma função contínua no seu domínio e a função f também (se a a derivada de f é contínua no seu domínio (< + ), então a a derivada e a rória função f também o são). b) g (x) = f x + = f x + x + = f x + (x + ) = f ( x+) x+

2 c) g () = f ( ) = f () = = O facto de a rimeira derivada da função g(x) se anular em x = não é su ciente ara odermos clari car se é um extremo ou um onto de in exão. Como rovar então? Pelo sinal da a derivada que, neste nosso caso, odemos calcular: g (x) = f ( x+)( x+) x+ f ( x+)( x+) (x+) = f ( = f ( x+) f ( x+)(x+) x+ g () = f () f () = = < x+) (x+) x+ f ( x+) (x+) x+ = Como g () <, a função é côncava, existindo or isso um máximo no onto x = : d) g(x) ' g() + g ()x + g () x x! = f() + x x! =, g(x) ' x Gruo 3 a) A = x < : x > B = x <nq : 3 x > 9 C = fx < : jxj > g Conjunto A: sob a forma de intervalo A = ] ; [ [ ]; +[. Conjunto B: 3 x > 9, 3 x > 3, x >, x <. Assim, B = ] ; [ \ (<nq) ; em ortuguês, os irracionais de ] ; [ : Conjunto C: jxj >! condição universal, logo C = <: E = AnB = (] ; [ \ Q) [ [ ; [ [ ]; +[ int(e) = ] ; [ [ ]; +[ front(e) = ] ; ] [ f ; g ext(e) = ] ; [ ader(e) = ] ; ] [ [; +[ deriv(e) = ] ; ] [ [; +[ Como E 6= int(e), o conjunto não é aberto. Como E 6= ader(e), então também não é fechado. b) H = A C = (] ; [ [ ]; +[) < int(h) = H front(h) = f ; g <; ou seja, a recta vertical x = reunida com a recta x = : deriv(h) = (] ; ] [ [; +[) <; "quase" H...

3 c) f(x) = + 5x ln x A = ] ; [ [ ]; +[ Intervalo ] ; [ : i) A função é contínua e diferenciável no seu domínio <n fg ; logo também é em ] ; ]; ii) É ossível encontrar um intervalo fechado onde a função seja contínua, neste caso ] ; ] ; iii) Como lim f(x) = + 5( ) ln(+) = < e f( ) = 5 ln x! = + ln 3 > ; então em linguagem simbólica f( )f( ) < ; v) Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, odemos garantir a existência de elo menos um zero no intervalo ] ; ] ; vi) Como a função derivada é semre ositiva em ] ; ], odemos a rmar que f(x) é estritamente crescente neste intervalo e ortanto existe aenas o zero referido em v). Note que f (x) = 5 ln 5 > ; 8x ] ; ] ; viii) Resumindo, só oderá existir exactamente um zero à esquerda de : x + Intervalo ]; +[ : i) A função é contínua e diferenciável no seu domínio <n fg ; logo também é em [; +[; ii) É ossível encontrar um intervalo fechado onde a função seja contínua, neste caso [; +[ ; iii) Como lim f(x) = + 5(+) ln(+) = + > e f() = + 5 ln x!+ = + ln 3 < ; então em linguagem simbólica f( )f() < ; v) Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, odemos garantir a existência de elo menos uma raíz no intervalo [; +[ ; vi) Como a função derivada é semre ositiva em [; +[, odemos a rmar que f(x) é estritamente crescente neste intervalo e ortanto existe aenas o zero referido em v). Note que f (x) = 5 ln x +5 > ; 8x [; +[ ; viii) Resumindo, só oderá existir exactamente um zero à direita de : Conclusão: existem exactamente dois zeros em A, um no intervalo ] ; [ e outro no intervalo ]; +[ ;tal como suseitávamos! 3

4 Gruo a) = R h i n+ n+ x xdx = n = (n+) n (n) = n +, = n + b) Para demonstrar que lim = +; temos de veri car que: 8L > ; 9n(L) : n > n(l) ) > L: n + > L, n > L Dado L arbitrário, escolha-se ara n(l) o rimeiro número natural suerior a L : c) + = (n + ) + n = > ; 8n N. A sucessão é monótona crescente. d) i) Usando o resultado que diz que se lim Un+ lim (n+)+ n+ = lim n+5 n n+ = lim n = ) lim n n + = = a, então lim n = a; temos que: ii) lim sin n = lim n+ sin n: O roduto de um in nitésimo or uma sucessão limitada é um in tésimo. Como é um in nitésimo e sin n é uma sucessão limitada (entre e ), então sin n é um in nitésimo, isto é, sin n! : ( x+) a) P x Gruo 5 ( x+) Trata-se de uma rimitiva imediata: P Nota: x = ( x+) + C; tem dúvidas? Derive! Também oderiamos ter recorrido ao método de rimitivação or substituição, de nindo x = t ; x = t e t = x: ( x+) P x! R (t+) t t = R (t + ) = (t+)! ( x+) + C ( x+) Assim, P = ( x+) + C: x b) P xe x = R xe x A exressão suscita logo o método de rimitivação or artes. Seja u = e x e v = x; vem que u = ex e v = : Então, R xe x = ex x R e x = xex e x + C = ex (x ) + C

5 Gruo 6. Na relação imlícita SD + S 3 D = 3 ; o onto de equilíbrio é (S; D) = ; ; quer isto dizer que... Pretende-se calcular dd ds e ortanto imaginamos D(S): Derivando a relação imlícita em ordem a S : SD + S 3 D S = 3 S, D + SDD + 3S D + S 3 D =, D DS + S 3 = D 3S D, D = D 3S D DS+S 3 Avaliando esta exressão no onto de equilíbrio, D = 3 + = 7 8 Para calcularmos ds dd, basta recorrermos ao seguinte resultado sobre a derivada da função inversa: g (y ) = f (x : o) Assim, ds dd (; ) = dd ds (; ) = 8 7 ; sem cálculos! 5