MATEMÁTICA COMENTÁRIO DA PROVA

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1 COMENTÁRIO DA PROVA Os objetivos desta rova discursiva foram lenamente alcançados. Os conteúdos rinciais foram contemlados, inclusive comlementando os tóicos abordados na ª. fase, mostrando uma conveniente interação entre as duas rovas, o que é elogiável. Questões clássicas, rimando ela originalidade em várias situações, questões mais trabalhosas, atenuadas elo temo maior (horas e 30 minutos) disonibilizado ara a sua resolução. Professores de Matemática do Curso Positivo.

2 Inicialmente, vamos escalonar o sistema: adicionando os elementos da segunda equação aos da rimeira multilicados or ( ), e adicionando os elementos da terceira equação aos da rimeira multilicados or ( 3). Desta forma, tem-se: x y + z = 5 x + y + 3z = 3x y + k z = k + 5 x y + z = 5 5y + z = 8 5y + (k 3). z = k 0 Continuando, vamos adicionar os elementos da terceira equação aos da segunda multilicados or ( ): x y + z = 5 5y + z = 8 (k 4). z = k a) Para k = 0, tem-se: x y + z = 5 5y + z = 8 4z = Da terceira equação, tem-se z =. Substituindo z = na segunda equação, tem-se: 5y + = 8 5y = 8 y = 7 0

3 Substituindo z = e y = 7 0 x = 5 x = 5 na rimeira equação, tem-se: x = x = 0 Para k = 0, o conjunto solução é dado or S = 0, 7 0, b) O sistema escalonado aresenta-se da seguinte maneira: x y + z = 5 5y + z = 8 (k 4). z = k Observando a última equação do sistema, tem-se: Para k =, tem-se 0. z = 0, de modo que z ode assumir qualquer valor real. Para k =, tem-se 0. z = 4. Neste caso, não existe valor de z que verifique tal equação. Para k e k, tem-se um único valor de z, ou seja, z = k k 4 = k +. Resostas: a) S = 0, 7 0, b) Para k e k, tem-se z = k + Sistema ossível e determinado. Para k = Sistema ossível e indeterminado. Para k = Sistema imossível. 3

4 a) Pela tabela, observa-se que Q(0) = 500 e Q(00) = 800, ou seja: 500 = a + b. log(0) 800 = a + b. log(00) 500 = a + b 800 = a + b Subtraindo a rimeira equação da segunda, tem-se: b = 300 Substituindo b = 300 na rimeira equação, tem-se a = 00. b) Deseja-se encontrar o valor de x ara o qual se tem Q(x) = 00, ou seja: Q(x) = a + b. log(x) 00 = log(x) = 300. log(x) 000 = 300. log(x) 0 = 3. log(x) 0 = log(x 3 ) x 3 = 0 0 x = x = x = x ,5 x 50 Portanto, a área aroximada, em hectares, ara a qual se terá 00 tios de insetos é igual a 50. Resostas: a) a = 00 e b = 300 b) 50 4

5 a) Sendo r a medida do raio da circunferência menor, observe a figura: Alicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado, tem-se: ( + 3) = (r + 3) + (r + ) 5 = r + 0r + 3 r + 0r = 0 r + 5r 6 = 0 (r ). (r + 6) = 0 r = ou r = 6 (não convém, ois r > 0) Logo, o raio do círculo menor mede unidade de comrimento. 5

6 b) A área do losango cujos vértices são os centros dos quatro círculos maiores ode ser obtida or meio do semiroduto das medidas das diagonais. As diagonais do losango medem 8 e 6. Logo,a área é dada or: S = D. d S = 8. 6 S = 4 unidades de área Resostas: a) 0 b) 4 a) A quantidade de cubos com exatamente uma face vermelha é dada or: V =. [(n ). (n + ) + (n ). (n + ) + (n + ). (n + )] V =. [(n ). (n ) + (n ). n + (n ). n] Para que cubos ossuam exatamente uma face vermelha é necessário e suficiente que V =, ou seja: =. [(n ). (n ) + (n ). n + (n ). n] = (n ). (n ) + (n ). n + (n ). n = n 3n + + n n + n n 3n 6n 9 = 0 n n 3 = 0 Fatorando, obtém-se: (n 3). (n + ) = 0 n = 3 ou n = (não convém, ois n > 0) Portanto, n = 3. 6

7 b) A quantidade de cubos com nenhuma face vermelha é dada or: V 0 = (n ). (n + ). (n + ) V 0 = (n ). (n ). n Para que 4 cubos não ossuam qualquer face vermelha é necessário e suficiente que V 0 = 4, ou seja: 4 = (n ). (n ). n 4 = (n 3n + ). n 4 = n 3 3n + n n 3 3n + n 4 = 0 Fatorando o olinômio do rimeiro membro or meio dos rórios zeros, tem-se: (n 4). (n + n + 6) = 0 n = 4 ou n + n + 6 = 0 Como a equação n + n + 6 = 0 não aresenta raízes reais, conclui-se que n = 4. Resostas: a) 03 b) 04 7

8 a) O volume do cubo é igual a 4 3 = 64 cm 3. O menor sólido é uma irâmide cuja base tem área igual à metade da área de um quadrado de lado 4 cm e cuja altura é igual à aresta do cubo, ou seja, 4 cm. Desta forma, o volume do menor sólido (irâmide) é dado or: V menor = = V menor = 3 3 cm3 O volume da irâmide é igual a um sexto do volume do cubo. Logo, o do maior sólido é igual a cinco sextos do volume do cubo, ou seja: V maior = V maior = cm3 b) A área total da irâmide é constituída or 3 triângulos isósceles retângulos de catetos 4 cm e triângulo equilátero cuja medida do lado é igual a da diagonal de uma face do cubo. Logo, a área total da suerfície da irâmide é dada or: S menor = S menor = ( ) cm 3 8

9 A área total do maior sólido é comosta or 3 quadrados de lado 4 cm, 3 triângulos retângulos isósceles de catetos 4 cm e triângulo equilátero cuja medida do lado é igual à da diagonal de uma face do cubo: S maior = S maior = ( ) cm 3 Resostas: a) 3 3 cm3 e 60 3 cm3 b) ( )cm 3 e ( )cm 3 a) A média aritmética dos números de licenças onderados elas quantidades de emregados é dada or: X = X = X = Logo, a média de licenças or emregado é igual a 6. A moda da distribuição é igual à quantidade de licenças mais frequente, ou seja, 6. No cálculo da média aritmética, observou-se que são 30 emregados. Como essa quantidade é ar, existem dois termos centrais na sequência ordenada de licenças: 5º e 6º valores. Os termos centrais são ambos iguais a 6, de modo que a mediana é igual à média aritmética dos dois termos centrais: Md = Md = 6 Assim, a mediana é igual a 6. 9

10 A variância da distribuição de licenças é dada or: V = (3 6). + (4 6). 3 + (5 6). 6 + (6 6). 9 + (7 6). 7 + (8 6) V = = 5 3 (licença) O desvio adrão da distribuição de licenças é dado or: 5 D = = = 3 3 D = 5 3 licença Resostas: a) média = moda = mediana = 6 b) Variância = 5 3 (licença) e D = 5 3 licença a) A distância da origem ao onto P(3,4) é igual ao raio de C : R = (3 0) + (4 0) = 5 = 5 Logo, a equação cartesiana da circunferência C é dada or: (x 0) + (y 0) = 5 x + y = 5 0

11 O coeficiente angular da reta que assa ela origem e elo onto P é dado or: m = = 4 3 Assim, a equação da reta que assa ela origem e elo onto P é dada or: y y 0 = m. (x x 0 ) y 0 = 4 3. (x 0) y = 4 3 x Os triângulos em destaque são semelhantes de modo que: a 3 3 a 3 3 = b 4 4 = 5 = 5 a = 5 b 4 4 = 5 b = 8 5 Portanto, a equação cartesiana da circunferência C é dada or: x 5 + y 8 5 = x 5 Resostas: + y 8 5 = 4 centro no onto 5, 8 5 a) Circunferência: x + y = 5; reta: y = 4 3 x b) x 5 + y 8 5 = 4 centro no onto 5, 8 5

12 a) O termo geral da exressão é dado or: T + = C n.. x 3. x n T + = C n.. x 3. x n T + = C n.. x (n 4) Para n = 4, tem-se T + = C 4.. x (4 4) Para que esse termo seja indeendente de x é necessário e suficiente que o exoente de x seja igual a zero, ou seja: 4 4 = 0 = Substituindo = no termo geral, tem-se: T + = C 4. (4 4. ). x T = 4.. x0 T = Logo, o termo indeendente de x ossui ordem (º termo) e coeficiente igual a.

13 b) Retornando ao termo geral, tem-se: T + = C n.. x (n 4) Para que o termo indeendente seja igual a 7 é necessário e suficiente que o coeficiente deste termo seja igual a 7 e o exoente seja igual a zero: C n. = 7 n 4 = 0 Da segunda equação, observa-se que = n 4, ou seja, n deve ser natural e divisível or 4. A tabela a seguir aresenta alguns diferentes valores de n e : n C n. 7 7,5 3,75 A tabela indica que, ara n = 8 e =, tem-se n = 4 e C n. = 7. Logo, n = 8 é uma resosta do roblema. Para que a resosta seja única, é necessário demonstrar que não existe outro ar de valores (n, ) que C n satisfaça ambas as equações do sistema. = 7 n 4 = 0 3

14 Observando que n = 4 e calculando a razão, R, entre dois valores genéricos e consecutivos de, tem-se: R = C 4. C + 4(+). (4)!!. (4 )! + = (4 + 4)! ( + )!.[(4 + 4) ( + )]!. R = (4)!!. (3)!. ( + )!. (3 + 3)! (4 + 4)!. R =. R =. ( + ). (3 + 3). (3 + ). (3 + ) (4 + 4). (4 + 3). (4 + ). (4 + ) ( + ). (3 + 3). (3 + ). (3 + ) 4. ( + ). (4 + 3). (4 + ). (4 + ) R = (3 + 3). (3 + ). (3 + ). (4 + 3). (4 + ). (4 + ) Para que fique comrovado que não existe outro ar de valores (n, ) que satisfaçam o sistema, basta mostrar que a sequência formada elos valores de C. n Fazendo R <, tem-se: é crescente, o que equivale a rovar que R <. (3 + 3). (3 + ). (3 + ). (4 + 3). (4 + ). (4 + ) < Observa-se que é um número inteiro e ositivo, logo: (3 + 3). (3 + ). (3 + ) <. (4 + 3). (4 + ). (4 + ) < > 0 Como a desigualdade anterior é verificada ara qualquer valor ositivo de, uma vez que todas as arcelas ossuem coeficientes ositivos, conclui-se R < e que, consequentemente, o único ar ossível é igual a n = 8 e =. Resostas: a) T = b) 08 4

15 a) f o g = g o f De acordo com a definição de função comosta, tem-se: f(g(x)) = g(f(x)) c. g(x) + = f(x) + c c. (x + c) + = cx + + c cx + c + = cx + + c c c = 0 c. (c ) = 0 c = 0 ou c = b) Para encontrar a inversa de f vamos trocar as variáveis e isolar y: f(x) = cx + y = cx + x = cy + y = x c f (x) = x c, c 0 Se g = c f, então: x + c = c. x c x + c = x c = Resostas: a) c = 0 ou c = b) c = 5

16 a) Observe a ilustração indicando x como a medida do lado do segundo quadrado: x Utilizando o teorema de Pitágoras, tem-se: x = x = 4 x = + Por raciocínio análogo, a medida do lado do terceiro quadrado será igual à medida do lado do segundo multilicada or, ou seja, as medidas dos lados de quadrados consecutivos constituem uma rogressão geométrica cuja razão é igual a. Desta forma, a medida do lado do terceiro quadrado é igual a. = 4 =. 6

17 b) A soma dos erímetros dos infinitos quadrados é dada or: S = S = 4. 8 S = ( ). ( + ) ( + ) S = 8. ( + ) ( ) S = 8. ( + ) S = 4. ( + ) Considerando,4, tem-se: S 4. ( +,4) S 3,6 Resostas: a) / b) S 3,6 (demonstração) 7