Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I

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1 Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo º Semestre Eame Final de ª Época em 5 de Junho 9 Duração: horas e 3 minutos É proibido usar máquinas de calcular ou telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não são esclarecidas dúvidas Simplifique os cálculos ao máimo Justifique sempre as suas respostas Pode usar o verso das folhas de eame Os rascunhos devem estar bem identificados Não pode desagrafar as folhas do eame

2 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo (3 valores) Considere o conjunto Identifique: [ [ Q A =, a) O seu interior; b) O seu eterior; c) A sua fronteira; d) O seu derivado; e) Se é aberto ou fechado; f) O número de vizinhanças do ponto = contidas no próprio conjunto A. a) ; et ( A) =, c) d) A ' R b) ] [ = e) f) Dado que toda a vizinhança do ponto = conterá quer números racionais quer números irracionais, é impossível definir uma vizinhança em torno desse ponto totalmente contida no conjunto A. A resposta é, então, zero.

3 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo ( valores) Considere a epressão gogol gogol = Admitindo que esta epressão define uma função = f () numa vizinhança do ponto (, ) ' a) Calcule ( ) f pela técnica da função implícita; b) Sendo g a função inversa de f numa vizinhança de (,), sem fazer mais cálculos ' g. indique o valor de ( ) a) Considere-se a função (escrita na forma implícita): Variante: b) De acordo com o Teorema da derivada da Função Inversa, se: f é diferenciável em ; estritamente monótona e contínua numa vizinhança de ; função inversa de f; Então: g é diferenciável em ; ; Assim, 3

4 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo 3 ( valores) Calcule o limite da sucessão de números reais: Un = ln( n) d P U n ( ln n) = Pln n = ln n P = ln n c ln nd = = ln [ ] [ n ] = ln n = ln n ln n 4n = ln n n ( n ) ln n = ln = ln 4 Assim sendo lim U n ( n ) = = lim ln4 4

5 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo 4 ( valores) Verifique que: lim = A substituição directa de = conduz à indeterminação Começamos por logaritmizar a epressão: ln ln = ln = A substituição directa de = conduz à indeterminação. Estamos nas condições para aplicar o teorema de Cauch.. lim ln lim = = lim( ) = Então lim = e = 5

6 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo 5 (3 valores) Considere a função: f ( ) = 7 a) Verifique que os desenvolvimentos de ª ordem de Talor em torno de qualquer ponto =a e de McLaurin conduzem à mesma aproimação. b) Indique o menor dos majorantes do erro de cada uma das aproimações obtidas na alínea anterior. a) Ingredientes para ambas as fórmulas: f '( ) = 7 f '( a) = a 7 f ''( ) = f ''( a) = Talor de ª ordem f ( ) f ( a) a = 7 ( a)( a 7)..( a) = a 7a a a 7 7a a = Como a é qualquer, este é também o desenvolvimento de Mac Laurin!!! Além disso o passa a =. b) O melhor majorante do erro é zero! As aproimações são eactas. Mas caso queira escrever o resto de ordem dois observe bem que estará lá f '''( ) =. 6

7 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo 6 (5 valores) Considere as duas funções reais f : R R f (, ) = ln g : R R g(, ) = ln a) Indique os domínios de f e de g. b) Desenhe as linhas de nível de cota e de cota de cada uma das funções c) Desenhe o conjunto e indique C {(, ) : f (, ) < e g(, ) } = c) o interior, o eterior e a fronteira c3) se é aberto ou fechado c4) o seu derivado d) Calcule g ( ), d a) {(, ) R : > } = R \ (, ) D f = : Ou seja, R sem o eio dos YY D g {(, ) R : > } = Ou seja todo o semi-plano direito aberto { R} 7

8 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 b) Relativamente à função f: Curva de nível de cota Curva de nível de cota k=.5 k= Relativamente à função g: Curva de nível de cota Curva de nível de cota k= k= 8

9 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 9 c) c) c3) C não é aberto; C não é fechado. c4) ( ) ( ) ( ) { } R C ln ln :, ' = d) ln 4 ln ln 4 ln ) ln ( ), ( = = = = d d g

10 Eame de Cálculo em 5 de Junho de 9 Grupo 7 (3 valores) Seja f () = uma função estritamente monótona definida em a, b e diferenciável em ] a, b [. [ ] Sabe que f ( a). f ( b) <. Prove que a) A função f () b) O valor do integral = tem um e um só zero no intervalo [ a, b] b a f ( ) d não é numericamente igual área de f () compreendida entre = a, = b e = f (). a) Se f ( a). f ( b) < necessariamente f (a) e f (b) têm sinais contrários. Como a função é diferenciável também é contínua e terá pelo menos um zero em [ a, b]. Mas como é estritamente monótona este zero será único. b) Sem perda de generalidade, seja f ( a) > e f ( b) <. A função estará acima e abaio do eio dos XX no intervalo referido Por eemplo: a b O integral até poderá ser zero!