Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Microeconomia - 6 a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitora:Amanda Schutze

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Marta Ximenes do Amaral
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1 Mestrado em Finanças e Economia Emresarial Microeconomia - 6 a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitora:Amanda Schutze (schutze@fgvmail.br) Parte I - Exercícios Básicos a Questão As funções de rodução relacionadas a seguir aresentam rendimentos decrescentes,constantes ou crescentes de escala? a. Y = 0; 9KL R. ) 0; 9:(K)(L) = 0; 9: KL = Y, dado >, temos que a função aresenta rendimentos crescentes de escala. b. Y = 0K 5L R) 0(K) 5(L) = (0K 5L) = Y.)a função aresenta rendimentos constantes de escala. c. Y = 0(K 0;8 L 0; ) R) 0(K) 0;8 (L) 0; = 0 0;80; K 0;8 L 0; = 0K 0;8 L 0; = Y ) A função ossui rendimentos constantes de escala a Questão (Função de rodução Cobb-Douglas) Se a função de rodução tem a forma Calcule: Y = f(k; L) = AK 0;5 L 0;5 a. Produtividade Média do Trabalho e do Caital; b. Produtividade Marginal do Trabalho e do Caital Solução a) Produtividade Média do Trabalho e do Caital; P mel = f(k;l) L = AK0;5 L 0;5 L = AK 0;5 L 0;5 = A K L P mek = f(k;l) K = AK0;5 L 0;5 K = AK 0;5 L 0;5 = A L K b) Produtividade Marginal do Trabalho e do Caital. P MgL onde, f(k; L) = AK 0;5 L 0;5 P MgL = A K 0;5 L : Analogamente, P MgK = A 0;5 L K 3 a Questão Considere a função custo c() = : Pede-se: a. Custos Fixo, Médio e Variável Médio. b. Custo Marginal 0;5 0;5

2 c. Nível de rodução que minimiza o custo médio. custos variáveis; R. CV = custos xos; R. CF = custos variáveis médios; R. CV Me = CV = custos xos médios; R. CF Me = CF = : custos médios; R. CMe = C() = custo marginal; R. CMg = nível de rodução que minimiza o custo médio. R. Lembre-se que a curva de custo marginal corta a curva de custo médio no seu onto mínimo, ortanto, fazendo CMg = CMe teremos o nível de roduto que minimiza o custo médio: ) = ) = ) = 4 a Questão Suonha que uma determinada rma ossui uma tecnologia de rodução do tio C.E.S, ou seja, f(x ; x ) = (x x ) onde a mesma utiliza dois insumos (x e x ) cujos reços são ( e ), resectivamente. a. Resolva o roblema de minimização de custos da rma e encontre a função custo b. Calcule a elasticidade substituição entre os insumos e. a) O roblema da rma é: Min x ;x x x s:a: (x x ) O lagrangeano do roblema é: L = x x [ (x x ) = 0 ) (x x ) x = 0 ) (x x ) x = ) x = x

3 Na R.O ) ) " " ) x x! # x x = " x # 0 ) ) x = ) x = # = = A = Analogamente: x = A função custo será: c(! ; ) = x (! ; ) x (! ; ) ) c(! ; ) = 6 4 ) c(! ; ) = 6 4 ) c(! ; ) = ) c(! ; ) =

4 b) A elasticidade de substituição entre os insumos x e x é de nida or: d ln(x =x ) d ln(f (x ; x )=f (x ; x )) = d(x =x ) f (x ; x )=f (x ; x ) d [f (x ; x )=f (x ; x )] x =x d ln(x =x ) = d ln x d ln x = dx dx (()) x x logo : d ln(x =x ) = dx dx x x Para a CES, temos das condições de rimeira ordem que : ln(f (x ; x )=f (x ; x )) = ln Portanto; (x x ) x! (x x ) x! = ln x x = ln x x d ln(f (x ; x )=f (x ; x )) = d ln x Substituindo na de nição, de () e () obtemos: x (()) = ( ) [d ln x d ln x ] = ( ) dx dx x x d ln(x =x ) d ln(f (x ; x )=f (x ; x )) = x dx x dx h i = ( ) x dx x dx ( ) = 5 a Questão Calcule as funções oferta e lucro ara as funções de rodução abaixo (x 0): a. f(x) = x ; 0 b. f(x) = minfx ; x g a) O roblema de maximização de lucro é dado or: max x0 x x Calculando a condição necessária de rimeira ordem do roblema, obtemos: x = 4

5 A condição su ciente de segunda ordem ara máximo é garantida se 0. Logo, a demanda elo fator é: x (; ) = Segue que as funções oferta e lucro são dadas or: (; ) = (; ) = = b) O roblema de maximização de lucro é dado or: max [minfx ; x g x x ] x0 Se x 6= x então é ossível aumentar o lucro reduzindo algum dos insumos. Segue que x = x. Substituindo na função objetivo, obtemos: max x x x0 = max x x0 x Caso ) Se > 0 (ie., > ), então é ossível obter lucro tão grande quanto se queira tomando x arbitrariamente grande. Segue que o roblema não tem solução neste caso. Caso ) Se < 0 (ie., < ), então x (; ) = 0. Neste caso, (; ) = (; ) = 0 Caso 3) = 0 (ie., = ), então existem in nitas soluções ois todo x ositivo fornece lucro zero. Segue que x (; ) <. Logo, (; ) < e (; ) = 0: 6 a Questão Imagine que você é rorietário de uma emresa cometitiva cujo custo variável ara obter um nível de rodução q seja CV (q) = q 3q e que o custo xo seja igual a 0..Se o reço de mercado do roduto da emresa for R$9; 00; então ede-se: a. Qual será o nível de rodução escolhido or sua emresa? b. Será que a sua emresa está auferindo lucro ositivo? c. Diante dos resultados obtidos, você continuaria a roduzir ou susenderia as atividades de sua emresa? Justi que sua resosta. 5

6 a- Qual será o nível de rodução escolhido ela emresa? R. Como a emresa oera em concorrência erfeita, teremos: P = CMg(q) ) 9 = 3 q ) q = 6 ) q = 3 b- Qual o excedente do rodutor ara esta emresa? R. Lembre que o excedente do rodutor corresonde à área acima da curva de oferta e abaixo do reço de mercado e que a curva de oferta corresonde à curva de custo marginal a artir do onto em que esta cruza a curva de custo variável médio. Então: Excedente=A T = b:h = 63 = 9 c- Será que a emresa está auferindo lucro ositivo, negativo ou zero no curto razo? R. O lucro da emresa é dado or: = RT CT ) = P:q CT ) = 9 3 (3 3 3 CF ) ) = 9 CF ) = Logo, vemos que a rma incorrerá em rejuízo, orém, como se está cobrindo arte dos custos xos, a sua emresa deverá continuar roduzindo. 7 a Questão Considere uma rma que roduz utilizando uma tecnologia do tio Cobb- Douglas de retornos constantes com dois insumos e onde o segundo insumo é mantido xo (x = x ), de forma que f(x ; x ) = x x a. Calcule a função lucro de curto razo desta rma. b. Calcule a oferta de curto razo desta rma. a) O roblema então é solucionar: s:a x x Max ;x x x Assumindo solução interior, a restrição se mantém com igualdade e, ortanto, odemos substituir a restrição na função objetivo, de forma que o roblema se resume à: 6

7 Max x x x x x A condição de rimeira ordem ara escolha de x requer que: x x = ) x = x ) x = ) x = A função lucro de curto razo será, então: x x (; ; ; x ) = x x ) (; ; ; x ) = : : ) (; ; ; x ) = ) (; ; ; x ) = ) (; ; ; x ) = : : :x :x : :x x x ( ) x x : x x x x x x b) Pelo Lema de Hotelling, a função oferta de curto razo ode ser obtida diretamente diferenciando a função lucro de curto razo com reseito a : (; ; ; x ) = (; ; ; x ) = h 8 a Questão Uma rma tem função de rodução x : i x : ( ) f(x ; x ) = x x Suondo que os reços dos insumos são e, resectivamente, e que o reço do roduto seja, calcule, suondo < : a. A função custo da rma e a demanda condicional de x e x. b. A função lucro, as demandas incondicionais de x e x e a oferta. c. Admitindo que no curto razo a quantidade do insumo seja xa em x a um reço : 7

8 (a) i. Encontre a função custo de curto razo da rma e sua função lucro de curto razo, exlicitando custo xo e custo variável. ii. Encontre a função oferta de curto razo. a) A rma resolve: L = x x ( x x ) = 0 ) = x = 0 ) = x x ) = x x ) x = x Na R.O.: x h i x = ) x logo: x = ) x = Max x x x ;x s:a f(x ; x ) = ) x = ) x = Decorre que ) x = c(! ; ) = : : ) c(! ; ) = : ) c(! ; ) = b) Problema da rma: : s:a x x Max x ;x x x ) Max x ;x x x x x 8

9 C.P.O: = 0 ) x = 0 ) x x = ) x = x Na a C.P.O.: h i x x =... 9

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