Cálculo Diferencial e Integral I
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- Raíssa Delgado
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1 Cálculo Diferencial e Integral I LEAmb, LEMat, LQ, MEB, MEEC, MEQ o teste / o eame - 7 de Janeiro de 8 duração: o teste: :3 / o eame: 3: Apresente todos os cálculos e justificações relevantes Para resolver o o teste responda apenas aos grupos III e IV. 4.5 vals.) I. Considere os seguintes subconjuntos de R: { A = R : 5 + } >, B = { } R : e ) >. a) Mostre que A B = ], [ ], 7[. Conjunto A: Caso, ou seja, : 5 + > 5 + Caso <, ou seja, < : + > 7 > < > > Logo A = ], [ [, 7] = ], 7[. Conjunto B: e ) > >. Logo, B = R \ {}. Portanto, A B = ], 7[ \ {} = ], [ ], 7[. b) Indique caso eistam em R), > + > >. min A, sup A, maa B), infa B R + ), sup[a B) R \ Q)], min A não eiste, sup A = 7, maa B) não eiste, infa B R + ) =, sup[a B) R \ Q)] não eiste. c) Diga, justificando, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa: i) Toda a sucessão estritamente crescente de termos em A B tem ite em R +. Falsa. Um contraeemplo: u n = n. Todos os seus termos estão em A B, é estritamente crescente e u n / R +. ii) Toda a sucessão de termos em A B tem pelo menos um subite.
2 Verdadeira. Como A B é um conjunto itado, qualquer sucessão u n de termos em A B é uma sucessão itada. O teorema de Bolzano-Weierstrass garante então que u n tem pelo menos uma subsucessão convergente e, portanto, tem pelo menos um subite. iii) Se n é uma sucessão monótona de termos em A B, então cos n ) é uma sucessão convergente. Verdadeira. Se n é uma sucessão monótona em A B então, além de monótona ela é itada. Então, como qualquer sucessão itada e monótona é convergente, n é convergente. Como a função cosseno é contínua em R, se n a então cos n cos a. 3 vals.) II.. Calcule caso eistam em R): [ ] n n + n + )! n! 3 n + n, log n log, + ) n. n + n [ n + )! log n log n n + 3 n + n = n! n + ) n n + n n = =. 3 + n 3 n ] n + )!n + ) = log n = log n! = log + ) + ) = log. n n + ) n = e. n n + )n + ) n.5 vals.). Considere a sucessão definida por a =, + =, se n. + a) Mostre que, se n, então ], [. Par = : a = a +a = 3. Logo, a ], [ é verdadeira. Admitamos agora, como hipótese de indução, que para um natural n, ], [. Então, + = + >, dado que >. Por outro lado, Logo, + ], [. Isto prova que < < + + <. Fica assim provado por indução que n ], [ + ], [). n ], [.
3 b) Prove que é monótona decrescente. Como > para todo n N temos + = + = + <. c) Justifique que é convergente e calcule. Pela alínea a) sabemos que é uma sucessão itada minorada e majorada). Pela alínea b) sabemos que é monótona. Como qualquer sucessão monótona e itada é convergente, concluimos que é convergente, ou seja, eiste l := em R. Então, como >, para todo n N, temos + = l = l ll + ) l = + + l l = l =. Para o o Teste responda apenas às questões desta página.8 vals.) III.. Calcule caso eistam em R): +cos ), log + ), arcsen ). O primeiro ite, na forma em que está escrito, é uma indeterminação do tipo +. Como, para >, cos ) logcos ) = e, é uma indeterminação do tipo, usamos a regra de Cauchy para esta indetermi- logcos ) e + nação. De concluimos que e, portanto, Segundo ite: logcos )) + ) +cos ) = + sen cos = =, logcos ) = + = e logcos ) = e logcos ) + = e =. + log + ) = + e loglog ) = +. Terceiro ite: trata-se de uma indeterminação do tipo arcsen )) ) = à qual aplicamos a regra de Cauchy: ) =. Logo, arcsen ) =. 3
4 4 vals.). Seja α uma constante real e f : R R uma função definida por arctg se > f) = e + α se. a) Determine α por forma que f seja uma função contínua em R. Em R \ {} a função é contínua justificação habitual). f) = arctg = =, + + f) = f) = e + α = + α. A condição necessária e suficiente da continuidade de f em, f) = f) = f), + traduz-se então na condição + α = ou seja, α =. b) Calcule, se eistirem em R, f) e f) + f) = e ) = = + f) = π arctg = = +. c) Será f diferenciável no ponto zero? Determine a função f. Por definição, a derivada lateral esquerda em é f e) f) f) e = = Para levantar esta indeterminação, aplicamos a regra de Cauchy: Logo e ) ) A derivada lateral direita em é dada por = e ) =. f e) e = =. f d f) f) ) = + = arctg =. + Como f e) f d ) concluimos que não eiste f ) e portanto f não é diferenciável em. A função f tem como domínio R \ {} e é dada por { f arctg + se > ) = + e se < 4
5 d) Determine os intervalos de monotonia de f e os respectivos etremos locais, se os houver. Para < : f ) = e = f ) < < log, = log = log, f ) > log < <. Para > : f ) >, para todo >. Logo, usando o facto de f ser crescente em ] log, [ e em ], + [ e de f ser contínua em =, concluímos que f é estritamente crescente em ] log, + [, f é estritamente decrescente em ], log [, e f tem um único ponto de etremo local em = log que é ponto de mínimo local na realidade é também global). e) Diga, justificando, qual é o contradomínio de f. A função f é contínua em R e portanto transforma intervalos em intervalos. Usando a informação obtidas alíneas a) e d), e pelo facto de f log ) = + log = log podemos dizer que ] [ [ [ log log fr) = f], log [) f[ log, + ]) =, +, + [ [ log =, +.. vals.) IV.. Calcule + d, arctg d. + d = [ ] arctg d = arctg + ) + ) d = + d = π 8 [ ] 3 + ) 3 = π 8 [ arctg ] = π 8 π 4 ) = 3π 8. = ) d + vals.). Calcule a área da região de R deitada pelos gráficos das funções y = +, y = e, e pelas rectas =, =. 5
6 Como se depreende facilmente de um esboço da região, a área pedida é o número A dado por A = e + )) d + = [ e + ) = ) = e + e. ] e + ) e ) d [ ] + ) + + e )) + + e ) )) + vals.) 3. Seja g : ], + [ R uma função contínua tal que g) >, para todo >. Considere a função f definida por a) Mostre que Para cada >, O caso = e estude o sinal de f em R +. f ) = > f) = g = > f / gt) dt. ) = f), g = em ], + [ verifica-se sse =, e temos g = f). f) = g =. Se >, temos > e, portanto f) = g > = ) >. Por outro lado, se < <, então > e e portanto, f) <. f) = f ) >, b) Justifique que f é diferenciável em R + e calcule f. Seja, para cada >, ϕ) = Como g é contínua, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, ϕ é diferenciável em R + e ϕ ) = g), para todo R +. Como f) = ϕ) ϕ/), conclui-se que f é diferenciável por ser a diferença g. 6
7 entre a função ϕ diferenciável em R +, e a composta de ϕ com a função que é diferenciável em R + com contradomínio em R +. Além disso, f ) = ϕ) ϕ )) = ϕ ) ϕ ) ) = g) + g ). 7
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