3.1 Cálculo de Limites

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1 3. Cálculo de Limites 3.A Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 (b) f () = ; a = 0 (c) f () = ; a = 5 (d) f () = ; a = 2 (e) f () = ; a = (f) f () = ; a = (g) f () = ; a = (h) f () = 9 ; a = 9 (i) f () = 2 + ; a = 0 (j) f () = ; a = 2 (k) f () = + ; a = 3 (l) f () = ; a = (m) f () = ; a = 2 (n) f () = ; a = (faça u = 3 3 ) s (o) f () = ; a = () f () = ; a = (faça u = 3 + 2) + f () 3.B Se f é uma função de nida em R e f (3) f 2 (a) = 3 (b) = 0 =, mostre que f () f () 3.C Se! 2 2 =, calcule f () e! 2! 2. f () 5 3.D Sabendo-se que = 3, calcule f ()!2 2!2 3.E Se ' é uma função tal que ' () +, 6= 0, calcule 2 ' () 3.F Sejam f e g funções de nidas em D, tais que!a f () = 0 e jg ()j M; 2 D, sendo M uma constante ositiva. Use o Teorema do Sanduíche e mostre que!a [f () g ()] = 0

2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS < 3.G Considere a função g de nida or g () = ites g () e 2 g (), se 0, se > 0. Investigue a eistência dos 3.H Em cada caso abaio, calcule os ites laterais de f no onto a (a) f () = ; a = 2 (b) f () = ( 2) 2 ; a = 2 (c) f () = 2 ( ) 3 ; a = (d) f () = 2 4 j 2j ; a = 2 (e) f () = ( + 3) j + 2j ; a = 0 (f) f () = ; a = ( ) (g) f () = ; a = (h) f () = + 3 j j j 2 9j ; a = 3 (i) f () = ; a = (j) f () = j j j 2 4j ; a = 2 3.I Calcule 2 e veri que se eiste o ite!2 +!2 2 3.J Calcule os ites laterais indicados. (a) (b) (c) (e) (f) (g)!3 + 3!3 3 + (i) (m) (j) (n) 3 2 (k)! ! + 2 (o) + jj (d) (h) (l) ()! j j 2 + 3! K Calclule os seguintes ites no in nito. (a) (d)! b)! (c)! ! (e) 5 4 +!+ 2 5 (f) 5 4 +! (g)! (j) + 3!+ (m)! (h) (k) (n)!!+! (i) (l)!+!+ (0)! jj

3 2 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 >< 3.L Calcule f (), onde a função f R! R é de nida or f () =! > Esta função é contínua em =? 2, se 6= 3; se = 3.M Seja f uma função real contínua, de nida em torno do onto a =, tal que f () = , ara 6=. Quanto vale f ()? Por quê? 3.N Determine o valor de k, de modo que cada uma das funções dadas abaio seja contínua no onto a indicado. >< (a) a = 2; f () = > 3, se 6= 2 2 k, se = 2 >< 3, se > 0 e 6= 3 (b) a = 3; f () = 3 > k, se = 3 3.O Seja f a função de nida or f ( ) = 2 e f () = 2 +, ara 6= + contínua no onto =? Por quê? E no onto = 0?. A função f é 3.P Dê eemlo de uma função f, de nida em R, descontínua no onto = 2, mas que satisfaça f () = f ()!2 +!2 3.2 Continuidade 3.2A Qual das a rmações abaio é verdadeira? (a) f () =!a +!a f () =) f é contínua em = a; (b) Se!a jf ()j eiste, então!a f () também eiste; (c) Se!a jf ()j = 0, então!a f () = 0 3.2B Seja f uma função tal que jf ()j 2, 2 R. Mostre que f é continua em = 0 3.2C Esboce o grá co e encontre os ontos de descontinuidade da função f, de nida or , se >< 5 f () = 6 5, se < < 3 > 3, se 3

4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 3 3.2D Em cada caso, esboce o grá co da função e diga se ela é contínua no onto a indicado. 2 < 2, se > ><, se 6= 2 (a) a = 0; f () = (b) a = 0; f () = j 2j 2, se >, se = 2 (c) a = ; f () = < 0, se < 0 (d) a = ; f () = + [], se 0 Nota No Eercício 3.20(d), [] reresenta o maior inteiro menor ou igual a e a função corresondente 7! [] é denominada função escada. 3.2E Seja f a função cujo grá co encontra-se esboçado abaio. (a) Calcule f() (b) Calcule f()!3 (c) Calcule f(0) (d) Calculef(3) (e) f é contínua no onto = 0? (f) f é contínua no onto = 3? F Eiste um número real caaz de fazer com que! eista? 3.2G Uma comanhia ferroviária cobra R$0,00 or km, ara transortar um vagão até uma distância de 200km, cobrando ainda R$,00 or cada km que eceda a 200. Além disso, essa mesma comanhia cobra uma taa de serviço de R$.000,00 or vagão, indeendentemente da distância a ercorrer. Determine a função que reresenta o custo ara transortar um vagão a uma distância de km e esboce seu grá co. Essa função é contínua em = 200? 3.2H Uma fábrica é caaz de roduzir unidades de um certo roduto, em um turno de horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo o de R$2.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Suondo-se que, or unidade roduzida, o custo variável, dado o gasto com matéria rima e salários, é de R$2,00, determine a função que reresenta o custo

5 4 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 total ara a fabricação de unidades e esboce seu grá co. A função encontrada é contínua ara ? 3.2I Um estacionamento cobra R$3,00 ela rimeira hora, ou arte dela, e R$2,00 or hora sucessiva, ou arte dela, até o máimo de R$0,00. Esboce o grá co do custo do estacionamento como uma função do temo decorrido e analise as descontinuidades dessa função. 3.2J Prove que a equação = 0 tem elo menos uma raiz no intervalo [ ; 0] 3.2K Prove que a equação = 0 admite três raízes reais e distintas. < 2 + 2, se L Considere a função f de nida or f () = Mostre que não 2 2, se 0 2 eiste um número no intervalo [ 2; 2] tal que f () = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário? 3.2M Quais das seguintes a rmações sobre a função y = f () ilustrada abaio são verdadeiras e quais são falsas? (a) f() eiste. (b) f() = 0 (c) f() = (d)! f() = (e)! f() = 0 (f)!a f() eiste no onto a em ( ; ). 3.2N Elique or que os ites abaio não eistem. (a) jj (b)! + 3 (c)! 2 ( ) ( + 2) (d)! 2 + 3

6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 5 Resostas e Sugestões 3.A (a) 9 (b) 3=2 (c) 7 (d) =2 (e) 4 (f) =3 (g) 4=3 (h) =6 (i) (j) 4 (k) =(3 2) (l) 0 (m) (n) 32 (o) =2 () =3 3.B (a) Com u = 3 tem-se f (3) f (u) = 3 u!0 u Em (b), faça u = f 2 uf (u) 2 e encontre = 3.C u!0 u 4 e 2 3.D 5 3.E 3.F Temos 0 jf () g ()j M jf ()j 3.G g () não tem ite em = 0 e 2 g () = 0 3.H (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 5=5 2 =6 2 =4 5=5!a +!a 2 =6 2 =4 3.I Quando! 2 + o ite eiste e vale 0. Quando! 2 o ite não eiste. 3.J (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) () 3.K (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 5=6 0 0 =2 3.L! f () = 2 e f () = 3 Logo, f é descontínua em a = 3.M Como f é contínua em a =, devemos ter f () = 3.N (a) k = 2 (b) k = 3=6 3.O f é contínua em e descontínua em 0 3.P Considere, or eemlo, a função f de nida assim f () =, ara 6= 2 e f (2) = 0 3.2A (a) falsa (b) falsa (c) verdadeira 3.2B Use o Teorema do Sanduíche 3.2C = 3 é a única descontinuidade de f 3.2D (a) sim (b)sim (c) não (d) não 3.2E (a) 3 (b) não eiste (c) 3 (d) 4 (e) sim (f) não 3.2F Se = 5, o ite será 3.2G Se 200, o custo C () é determinado em reais or C () = O custo ara uma distância de 200 km é, ortanto, C (200) = R$3000; 00. Se a distância ecede 200 km, isto é, se > 200, então o custo total será dado or C () = 3000+( 200). Resumindo, temos C () = , se 0 < 200; e C () = 400 +, ara > 200 Essa função é contínua em = H Se , um único turno de trabalho será su cente e, assim, C () = Se 5000 < 45000, então a fábrica deverá oerar em 3 turnos e, nesse caso, C () = Nesse intervalo a função custo é descontínua 3.2I As descontinuidades ocorrem nos ontos t = ; t = 2; t = 3 e t = 4 3.2L Não. Como a função

7 6 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 não é contínua em [ 2; 2], o fato não contradiz o resultado citado 3.2M V, V, F, F, F, V 3.2N Em cada caso note que os ites laterais, quando eistem, são diferentes.