CÁLCULO I 1º Semestre 2011/2012. Duração: 2 horas e 30 minutos

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1 NOVA SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS CÁLCULO I 1º Semestre 2011/2012 EXAME 2ª ÉPOCA 23 Janeiro 2012 Duração: 2 horas e 30 minutos Não é permitido o uso de calculadoras. Não pode desagrafar as folhas do enunciado. O enunciado deste exame é composto por 19 páginas. Responda de forma justificada a todas as questões, apresentando sempre os cálculos efectuados e simplificando os resultados ao máximo. Responda a cada grupo na respectiva secção (pode usar os versos das folhas para responder às questões). Não se esclarecem dúvidas. Identifique todas as folhas. NOME: NÚMERO:

2 NÚMERO: Considere a seguinte série: + n= 0 GRUPO 1 (4 valores) ( 2 + x ) n, x R, n N n+ 1 5 a) (0,75 valores) Verifique se a série é geométrica. b) (0,75 valores) Encontre o conjunto A formado por todos os valores de x que tornam a série convergente. c) (0,75 valores) Calcule, se existir, o máximo do conjunto derivado de A. A R \ Z. d) (0,75 valores) Encontre a fronteira do conjunto ( ) e) (1 valor) Será verdade que se f é uma função contínua em A terá obrigatoriamente máximo e mínimo em A? Justifique. 2

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5 NÚMERO: GRUPO 2 (2,5 valores) Calcule as seguintes primitivas: 1 1 a) (0,75 valores) P cos ln x x 2 x b) (0,75 valores) P 2 x + 4 c) (1 valor) 1 P 1 + e x 5

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8 NÚMERO: GRUPO 3 (3 valores) Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sucintamente. a) (0,75 valores) Se uma sucessão U n tem termos tão próximos de 7 tanto quanto se pretenda, é certo que lim U = 7. n b) (0,75 valores) Uma sucessão ser não limitada é condição suficiente para ser um infinitamente grande (positivo, negativo ou em módulo). c) (0,75 valores) O conjunto formado pelos termos da sucessão 2n+ 3 V n = ( 1) é igual ao conjunto formado pelos termos da sucessão W n = cos( π + 2nπ ) sendo os cardinais de ambos os conjuntos iguais a Alef Zero. d) (0,75 valores) O conjunto das funções que admitem uma aproximação de primeira ordem num ponto x0 do seu domínio está contido no conjunto das funções que admitem um polinómio de Taylor de ordem n no ponto x0 do seu domínio. 8

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11 NÚMERO: GRUPO 4 (4,5 valores) 2 Considere a função real de variável real definida por ( x) x arctan( x ) f =. a) (0,5 valores) Encontre o domínio da função f e estude a função quanto à continuidade no seu domínio. b) (0,5 valores) Será f uma função par? E ímpar? c) (1 valor) Escreva a equação das assimptotas do gráfico da função f em cálculos adicionais diga quais são as suas assimptotas em R. Justifique. + R. Sem fazer d) (0,75 valores) Com base nas conclusões das alíneas anteriores determine o contradomínio de f. e) (0,75 valores) Sabendo que a função f é injectiva em todo o seu domínio calcule, se possível, a equação da recta tangente ao gráfico de da derivada da função inversa. 1 f no ponto de abcissa 0, usando a regra f) (1 valor) Será possível garantir que existe pelo menos um ponto c no intervalo ] 1; 1[ que a recta tangente ao gráfico de Justifique. f ' é paralela à recta de equação tal y = m, com m R? 11

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15 NÚMERO: GRUPO 5 (4,5 valores) Seja a função real de variável real f ( x) = 6x k, k R. a) (0,75 valores) Prove pela definição que a função f é contínua em x = k. b) (1 valor) Mostre que a aproximação de Mac-Laurin de 2ª ordem da função b b 1 b 2 2 com b R \{ 0} é: g( x) ( k) + 6b( k) x + 18b( b 1)( k) x. g ( x) = f ( x) b c) (0,75 valores) Seja f ( x) h ( x) = f ( x). Calcule ( ) h ' x apresentando a resposta final na forma de produto. d) (1 valor) Considere a função h da alínea anterior. Para k = 0 calcule lim h ( x ). x 0 ln 2 e) (1 valor) Sabe-se que f (x) passa pelo ponto ; ln 2. Represente graficamente a região 6 delimitada pelas funções f (x) e y = x 3 2x e calcule a respectiva área. 15

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19 NÚMERO: n uma função integrável no intervalo [ c] Seja (x) calcule o valor de: a 1+ ( x) dx n( x) dx + c GRUPO 6 (1,5 valores) a n n( x) dx a 1 a;, com a < b < c. Sabendo que n( x) dx = 2 c b b a 19