ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

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1 ESOL SEUNÁRI E LERTO SMPIO Matemática EXERÍIOS EXTRÍOS E PROVS NIONIS EXME RELIZS ENTRE 993 E 998 º NO /3 FIH E TRLHO E FUNÇÕES. Observe o gráfico de uma função F.. Estude o sinal de F.. onsidere as funções reais de variável real, f, f e f 3 definidas por: 4 f ( ) = + ; 7 f ( ) = + ; 7 f ( 3 ) = +. Sabendo que F é uma delas justifique que não pode ser f nem f Segue-se a representação gráfica de uma função f real de domínio R. O eio das ordenadas e a recta de equação = m + b, representada a traço-ponto, são as únicas assimptotas do gráfico. s rectas tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas e, são horizontais.. etermine o contradomínio de f.. Escreva uma equação da assimptota oblíqua..3 Indique, justificando, quais - os etremos da função. - EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página

2 3. e uma função f de domínio = R \ {-}, contínua em, sabe-se que: lim f ( ) = 5 ; lim f ( ) = + ; lim f () = + e lim f ( ) = + + X Sinal de f () Variação de f() -4-6 a. Quais as coordenadas dos pontos em que f tem etremos? lassifique esses etremos. b. Proponha um gráfico para a função f. c. Escreva equações das rectas tangentes ao gráfico f que o quadro de variação lhe permita conhecer. 4. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O omprimento, em centímetros, do raio dess nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado + 4t por r ( t) = ( t ). + t a) alcule r () e lim r(t) e diga qual é o significado fisico destes valores. t + b) Esboce o gráfico de r, tendo já em conta que, no domínio indicado, a função r tem primeira derivada positiva e Segunda derivada negativa. r( t) r() c) iga qual é o significado do limite lim e determine-o. + t d) alcule, com aproimação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa é igual a 3 cm. (Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo duas casas décimais) 5. Pretende-se esboçar o gráfico da função N que dá o Nível de álcool no sangue em função do peso p de uma pessoa, depois de ela Ter ingerido um litro de cerveja. Sabe-se que: i) num litro de cerveja eistem 4 g de álcool; ii) N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool eistente no litro de ecerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa; iii) o volume do fluido orgânico de cada pessoa é numéricamente igual a 7% do seu peso total (em kilogramas) Sabendo que N(p) é epresso em gramas por litro e p é epresso em kilogramas, a) determine N(3), N(6) e N(8): b) esboce o gráfico de N quando p varia de a 3; c) em Portugal a lei estabelece penas avustadas para quem for apanhado a conduzir com um nível de álcool superior a,5 gramas por litro. Indique, nas condições do enunciado, quem não deve conduzir depois de beber um litro de cerveja. EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página

3 P relativamente a domínio, contradomínio, continuidade, monotoniae e etremos. ( d) d 5 d =, 6. Faça um estudo da função P, real de variável real, definida por ( ) 3 b) Suponha que houve uma intoicação alimentar, num colégio interno, em que o número N(d) de doentes ao fimdo tempo d, epresso em dias, é o mior inteiro contido em P(d). ) etermine, justificando, o domínio da função N. ) Indique em que momento esteve mais gente intoicada e o número de doentes nesse momento. 3) No decorrer de que dia foi eliminada a intoicação? Quando é que o número de doentes baiou mais rapidamente, durante o 3º dia ou o 5º dia? Justifique as respostas. ª PRTE Escolha Múltipla Para cada uma das seguintes questões, seleccione a resposta correcta entre as quatro alternativas que são indicadas, justificando a sua escolha.. função m : tem por representação gráfica. EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 3

4 . Sabendo que o gráfico da função g() admite como assímptotas apenas as rectas =, = e = 3, podemos concluir que o gráfico da função g( ) + admite como assímptotas: = 5 ; = ; = = ; = ; = = 5 ; = ; = 3 = 4 ; = 4 ; = 3. representação gráfica de uma função g em [, π ] é a seguinte: Quanto à eistência de assimptotas do gráfico da função, no mesmo intervalo, pode g afirmar-se que: Não eistem. São as rectas =, = π e = π π π São as rectas =, =. São as rectas =, = e = π π 4. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas por f ( ) = e g ( ) = 3 5. e uma função g, de domínio R, sabe-se que: g()= g é estritamente crescente em [, + [ g é par Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira. O contradomínio de g é [, + [ g é estritamente crescente em R g é injectiva g não tem zeros EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 4

5 6. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função s de domínio R. - Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função t definida por t( ) = s( ) onsidere a função g definida por 5 g ( ) = Indique qual o valor de lim g( ) + + EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 5

6 8. Um projéctil é lançado verticalmente de baio para cima. dmita que a sua altitude h (em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela epressão h( t) = t 5t Qual é a velocidade (em metros por segundo) do projéctil, dois segundos após o lançamento? e uma função h sabe-se que: o domínio de h é R + lim h( ) = + lim h( ) = Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de h. - EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 6

7 . Na figura estão representadas graficamente duas funções: f e g. f g - Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função g f? EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 7

8 . onsidere as funções f e g de domínio R, cujas representações gráficas se indicam a seguir: f g representação de f g é: Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função f, da qual a recta t é assímptota. f t O valor de lim [ f ( ) ( ) ] + é: - + EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 8

9 3. Numa certa localidade, o preço a pagar por mês pelo consumo de água é a soma das seguintes parcelas: 5 escudos pelo aluguer do contador escudos por cada metro cúbico de água consumido até m 3. 4 escudos por cada metro cúbico de água consumido para além de m 3. Indique quais das funções seguintes traduz correctamente o preço a pagar, em escudos, em função do número de metros cúbicos consumidos. 7, se a ( ) = 5 + 4, se > 5 +, b ( ) = 5 + 4, se se > 5 +, se c ( ) = 5 + 4, se > 5 +, se d ( ) = ( ), se > 4. Seja f a função real de variável real cujo gráfico é Então, um gráfico de f( -) é um gráfico de -f() é um gráfico de f( -) é um gráfico de -f() é 5. Seja f uma função real e contínua em R tal que EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 9

10 f ( + ) = f ( ) + f ( ),, R Então, pode concluir que: a função f é constante a função f é par a função f é periódica a função f é impar 6. Quais das funções cujos gráficos são os seguintes, têm um máimo relativo em =a? f: g: a a h: j: a a f, g, j. g, h. f, h. j, g. 7. Se () representa o maior inteiro menor ou igual a, então a figura Representa o gráfico da função () ( ) () + () EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página

11 8. figura ao lado representa o gráfico de uma função f real de variável real. - - Qual dos seguintes gráficos pode representar a função g definida por g ( ) = f ( )? função f ( ) = tem mínimo relativo: Em, e. penas em e. penas em. penas em zero. EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página

12 . figura representa o gráfico de uma função f, real de variável real. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? lim + f () = + e lim [ f ( ) ] = + + lim f ( ) = e lim [ f ( ) ] = + + lim f ( ) = e lim [ f ( ) ] = + lim f ( ) = + e lim [ f ( ) ] = + SOLUÇÕES ª PRTE. F é negativa para < 4 > 3. F é positiva para 4 < < f () = e F() = 3 f = R e F = R \ 4, 3 3 { }. f é estritamente decrescente em ], [ e f é estritamente crescente em ], [ ], + [..3 a = 3 e b = = f 3.3 f ( ) é um máimo relativo de f. 3.4 ], [ ], + [ f ( ) e f () são mínimos relativos de f. 3. = ], ] [, + [ EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página

13 4.. Verdadeira 4.. Falsa 4. = 4 + f ( ) > sse, 4 f ( ) < sse 4.3 [ [ ] 4, 5] 5. f tem um mínimo relativo: f(-) no 5. ponto (-,4); f tem um máimo relativo:f(7) no ponto (7,6). 6 = 4 = = 5.3 ; 6 e 6 a ) r ( ) =, é o comprimento em cm do raio da nódoa no instante em que foi detectada; lim r( t) = 4 + define o maior comprimento, em cm, que o raio da nódoa poderá atingir., b ) c) é igual a 4 7, define a velocidade de crescimento do raio da nódoa no instante t=, ou seja, no instante em que é detectada. d) t = 5, 7 s (.c.d.) EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 3

14 ( 7. a) N 3).9 g / l N(6).95 g / l N(8).7 g / l b) N 3,5,5, p c) epois de beber litro de cerveja, não devem conduzir as pessoas que pesam menos de 4,8 Kg. 8. p = R Monotonia Estritamente crescente em ], [ Estritamente decrescente em ], [ ], + [ Etremos P tem um mínimorelativo: P ( ) = P tem um máimo relativo: P ( ) = 8 lim P( d) = + d lim P( d) = d + Os etremos relativos não são etremos absolutos. p = R º PRTE EM_FUNÇÕES_EX_NO.doc -5-6 ESS º NO /3 Página 4