Exercícios para as aulas TP

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1 Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaTP0. Considere os gráficos correspondentes a duas funções reais de variável real: y y Indique para cada uma delas: (a) Domínio e contradomínio (b) Zeros e sinal (c) Paridade e bijectividade (d) Intervalos de monotonia e etremos (e) Concavidades e pontos de infleão (f) Se são limitadas (g) A epressão analítica de uma função cujo gráfico possa ser o representado.. A figura representa o gráfico de uma função real de variável realf: y

2 Indique o valor lógico das seguintes proposições: (a) f é ímpar (b) CD f =R + 0 (c) lim 0 f()=+ e lim f()=0 (d) f não tem mínimos nem máimos (e) f tem a concavidade virada para cima emr +, =0 (f) f pode ser a função definida porf()= 0, =0. 3. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções: (a) f()= 4 +ln, >0 (b) f()= e, 0 e indique para cada uma: i. Domínio e contradomínio ii. Zeros e sinal iii. Paridade e bijectividade iv. Monotonia e etremos v. Concavidades e pontos de infleão vi. Se são limitadas. 4. Para as funções definidas porf()= eg()=, indique as epressões def+g, f g, f g, g,g e os respectivos domínios. ii

3 Introdução ao conceito de limite. Definição de limite segundo Cauchy. Limites laterais. FichaTP. Considere a função real de variável real definida porf()= +3. (a) Represente graficamente a função e indique o valor do seguinte limite +3 lim 0 (b) Escreva e interprete geometricamente a definição segundo Cauchy do limite da alínea anterior.. Seja h a função real de variável real definida por,<0 h()=,0< 8,> Indique, caso eistam, os valores dos seguintes limites:. (a) lim 0 +h() (b) lim 0 h() (c) lim 0 h() (d) lim h() (e) lim h() (f) lim +h() (g) lim h(). 3. Indique o valor de cada um dos limites, escreva e interprete geometricamente a correspondente definição segundo Cauchy: (a) lim ( ) (b) lim (c) + lim 3.

4 FichaTP Propriedades dos limites. Indeterminações. Teorema do Encaie.. Calcule, caso eista, cada um dos seguintes limites: (a) lim (3 3 +4) (b) lim 3+ (c) lim 3 + (d) lim π cos(3).. Mostre, recorrendo ao teorema do encaie, que lim 0 sen =. 3. Calcule, caso eista, cada um dos seguintes limites: (a) lim +3 (b) lim (c) lim +3 + (d) lim 0 sen(5) (e) lim e + 0 ln() (f) lim + (g) lim 0 e 5 (h) lim 0 ln(3+) 4 cos() (i) lim. +

5 Continuidade e prolongamento por continuidade. Teoremas de Bolzano e de Weierstrass. FichaTP3. Considere a função real de variável real definida por e, <0 f()= +, 0<<,. (a) Determine o domínio def. (b) Estudef quanto à continuidade em todos os pontos do seu domínio. (c) Determine, se possível, o prolongamento por continuidade da função f ao ponto de abcissa=0.. Considere a função real de variável real definida por +a, f()= e e, >,a R. (a) Determine o valor deade forma a quef seja contínua em=. (b) Considerea=0. i. Mostre que, apesar de se terf( ) f(4)<0, não se pode aplicar o Corolário do Teorema de Bolzano no intervalo[,4]. ii. Prove que a restrição def ao intervalo[,] tem nesse intervalo um máimo e um mínimo. Calcule-os. iii. Provequearestriçãodef aointervalo[3,0] temnesseintervaloummáimoeum mínimo. 3. Considere a função real de variável real definida porf()= Mostre quef tem pelo menos um zero. 4. Prove que eiste algum ângulo no intervalo π, π para o qual o valor do seno é o dobro do valor do coseno.

6 FichaTP4 Funções trigonométricas inversas.. Considere a função real de variável real definida por f()=π+arccos. (a) Determine o domínio e o contradomínio def. (b) Caracterize a função inversa de f. (c) Determine, caso eistam, as soluções das seguintes equações: i. f()= π 4 ii. f()= 5π.. Considerando a restrição principal do seno, caracterize a função inversa da função definida por π f()= sen Calcule lim 0 arctg.

7 FichaTP5 Derivada, recta tangente e taa de variação instantânea.. Considere a função real de variável real definida porf()=e. Calculef (), utilizando a definição de derivada.. Considere a função real de variável real definida porf()= +. (a) Calculef (), utilizando a definição de derivada. (b) Utilizando a alínea anterior, determine as equações da recta tangente e da recta normal ao gráfico da funçãof no ponto de abcissa=8. 3. Considere a função real de variável real definida porf()=. (a) Calculef (), utilizando a definição de derivada. (b) Mostre que o triângulo que é formado por qualquer recta tangente à curva de equação y=, >0, e os eios coordenados tem uma área deunidades. 4. A altura, em metros, de uma árvore,tanos após o momento em que foi plantada, é dada por h(t)= 6t+ t+. (a) Com que altura a árvore foi plantada? (b) Determine a taa média de crescimento da árvore, durante os dois primeiros anos após a sua plantação. (c) Diga qual o significado do seguinte limite e calcule-o: h(t) h 3 lim. t 3 t 3 (d) Quanto tempo decorreu entre o instante da plantação e o instante em que a altura da árvore atingiu 5. metros?

8 FichaTP6 Regras de derivação e diferenciabilidade.. Considere a função real de variável realf definida por, se f()=., se> Verifique sef é diferenciável em=.. Estude a diferenciabilidade da função real de variável real definida porf()= Considere a função real de variável realf definida por 3, se f()=, comaebconstantes reais. a+b, se> (a) Determine os valores deaebde modo a quef seja diferenciável em=. (b) Considerandoa=3 eb=, indique a epressão def (). 4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas recorrendo às regras de derivação: (a) f()= 8 +4 (b) f()=sencos (c) f()= ln (d) f()= e e Verifique a eistência da recta tangente e da recta normal ao gráfico da funçãof do eercício 4a) no ponto(,). Determine uma equação de cada uma dessas rectas.

9 FichaTP7 Derivação da função composta e derivação da função inversa. Regras de derivação de funções compostas.. Recorrendo ao teorema da derivada da função composta, justifique que a função h()=ln() é diferenciável e calcule a sua derivada.. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas: (a) f()= 5 +5 (b) f()=cos (3). 3. Recorrendo ao teorema da derivada da função inversa, justifique que a função arcsen() é diferenciável em],[ e que a sua derivada é dada por. 4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas: (a) f()=arccos( ) (b) f()= arctg 3 (c) f()=ln(arcsen(3)).

10 FichaTP8 Diferencial e aproimações.. Utilize o diferencial para fazer uma estimativa da variação emf()= 5 se: (a) varia de3 para34 (b) varia depara Sejaf a função real de variável real definida porf()=. (a) Determine a aproimação linear da função f em torno de 0 e utilize-a para calcular uma aproimação do número 0.9. (b) Ilustre o resultado anterior esboçando o gráfico def e o da recta tangente. 3. O resultado da medição do comprimento do lado de um quadrado foi cm, com um erro máimo de cm. Estime o possível erro propagado no cálculo da área do quadrado. 64

11 FichaTP9 Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações.. A altura de uma bolatsegundos após ter sido lançada verticalmente de baio para cima de uma altura de3m, com velocidade inicial de48m/s, é (a) Verifique quef()=f() f(t)= 6t +48t+3. (b) Tendo em conta o Teorema de Rolle, o que pode afirmar sobre a velocidade em algum instante do intervalo[, ]? Determine esse instante.. Mostre que a equação =0 tem eactamente uma solução real. 3. A funçãof()= 3 ( ) assume valores iguais nos etremos do intervalo[0,4]. Para esta função, o teorema de Rolle é válido no intervalo indicado? 4. Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a funçãof()= 3 no intervalo[, ] e determine o valor médio correspondente. 5. Um avião iniciou uma viagem de500 milhas às4h e chegou ao seu destino às9h30m. Mostre que eistem pelo menos dois instantes durante o voo em que a velocidade do avião foi de400 milhas por hora. 6. Calcule os seguintes limites: (a) lim ln sen (b) lim 0 +sen (c) lim sen + +sen (d) lim 0 (cos) 3/ (e) lim sen. 0 sen

12 Polinómio e fórmula de Taylor e de Mac-Laurin. Resto de Lagrange. FichaTP0. Determine o polinómio de Taylor de ordem, em potências de( π), da função definida por f()=e sen.. Utilize o polinómio de Mac-Laurin de ordem para calcular um valor aproimado de: (a) e (b) sen(0.3). 3. Considere a função real de variável real definida por f()=ln(+). (a) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da funçãof com resto de Lagrange de ordem. (b) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da funçãof com resto de Lagrange de ordem. (c) Prove que ln(+), 0.

13 Etremos e estudo de funções. Optimização. FichaTP. Determine os etremos da funçãof()= Considere a função real de variável real definida por f()= ln. (a) Determine o domínio def e os seus zeros. (b) Estude f quanto à continuidade no seu domínio. (c) Determine os etremos relativos de f e os intervalos de monotonia. (d) Determine os pontos de infleão do gráfico def e o sentido das concavidades. (e) Determine as assímptotas de f. 3. Uma folha rectangular com perímetro igual a 36 cm vai ser enrolada para formar um cilindro. Quais as dimensões da folha para que o volume do cilindro seja máimo?

14 FichaTP Primitivas.. Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) 3 (b) 4 3 (c) cos(+π).. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: (a) As funçõesf()=+arctg e G()=arctg são ambas primitivas da função m()= + 3 (b) P = 3 (c) P 3 = Determine as seguintes primitivas: 3 (a) P +e (b) P [( )(+)] (c) P 4 3 (d) P 3 + (e) P (f) P 3 (g) P (cossen) (h) P sen(ln) (i) P (sen ()) (j) P (sen 3 (5)). 4. Um carro move-se em linha recta e a sua aceleração é dada por a(t) = 3+t ms (m representametrosessegundos). Sabendoqueocarropartiudaorigemequeasuavelocidade passado um segundo era de v() = 6 ms, determine qual a posição do carro passado3 segundos.

15 FichaTP3 Métodos de primitivação: primitivas por partes, substituição e primitivação de funções racionais.. Calcule as seguintes primitivas: (a) P (e ) (b) P (ln) (c) P ( cos()) (d) P (arctg) (e) P (e sen).. Calcule as seguintes primitivas: (a) P (b) P e +e +e + (c) P (d) P (e) P (f) P Calcule as seguintes primitivas: (a) P (b) P + (c) P + ( ) FimdaFicha v/06

16 Introdução ao cálculo integral em R. Propriedades gerais. Teorema da Média. FichaTP4. Sem calcular o integral, mostre que0 5 lnd 4ln5.. Sem calcular o integral, determine o sinal do integral π send. π 3 3. Considere a função definida por f()=+5. (a) Esboce uma região cuja área seja dada pelo integral (+5)d e calcule o seu valor. (b) Determine o valor médio da funçãof no intervalo[,]. (c) Determine, se possível, o ponto do intervalo onde a função atinge o seu valor médio. 4. Determine, se possível, os pontos do intervalo[0, ] onde a função,< f()= 4, atinge o seu valor médio. 5. Considere a função g definida por: g()= +e, +ln,> Justifique que eiste um ponto no intervalo[,3] onde a função atinge o seu valor médio. v0/06

17 Integral indefinido. Teorema Fundamental do Cálculo Integral e Fórmula de Barrow.. Calcule os seguintes integrais: FichaTP5 (a) (b) 0 (+) 3 d 3 d (c) 0 ln3 ln3 e e +4 d.. Considere a função definida porf()= 0 f(t)dt, comf()=+. (a) Determine a epressão da função F() e, para > 0, interprete-a geometricamente. (b) Comprove quef ()=f(), para qualquer R. 3. Sejaf a função definida por 3, se 0 f()= e, se0< ln Determine a epressão def()= f(t)dt.. 4. Calcule, justificando, as derivadas das funções definidas por: (a) (b) dt +t 4 4 e cos(t 3 )dt.

18 Integração por partes e por substituição. FichaTP6. Calcule os seguintes integrais: (a) (b) (+ ) d ln( +)d (c) 3 9 d (d) d.. Sejaf uma função contínua no intervalo[ a,a]. 0 a (a) Mostre que f()d= f( )d a 0 (b) Conclua que: i. Sef é uma função ímpar, então a f()d=0 a a a ii. Sef é uma função par, então f()d= f()d. a 0

19 Cálculo de áreas, volumes e de comprimentos de linha. FichaTP7. Calcule a área das seguintes regiões do plano: (a) região limitada pelas curvas y=,=0,y= ey=e (b) região definida pelas condiçõesy π,y cos e Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da região do plano limitada pelas seguintes curvas: y= e y= 3, (a) em torno do eio dos (b) em torno do eio dosyy. 3. SejaV o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eio dos da região do plano limitada pelas curvas y=, y=0, =, =b, onde0<b<. Determine para que valorbovolume do sólido é igual a3. 4. Calcule o comprimento da curvay= entre os pontos de abcissas= e=.

20 FichaTP8 Integrais impróprios.. Calcule os seguintes integrais impróprios: (a) (b) (c) + 4 d d e d. 0. Considere a funçãof definida porf()=. (a) Determine a área da região plana entre a curvay=f() e o eio dos, considerando. (b) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eio dos da região plana da alínea anterior.