FICHA DE TRABALHO N.º 5 MATEMÁTICA A - 10.º ANO GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VECTORIAL NO PLANO

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1 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano FIH E TRLH N.º 5 MTEMÁTI - 0.º N GEMETRI NLÍTI E ÁLUL VETRIL N PLN onhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUP I ITENS E ESLH MÚLTIPL. Num referencial o.n. sejam e dois pontos simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes pares. Qual das seguintes pode ser uma equação da mediatriz do segmento de recta? Num referencial o.n., considere o segmento de recta tais que 0, e a b, a a e b. Sabe-se que a bissectriz dos quadrantes ímpares é a mediatriz do segmento de recta., com a Quais são os valores de a e de b? a 0 e b a e b a e b a e b. onsidere, num referencial o.n., a circunferência definida por s coordenadas do centro e do raio da circunferência são, respectivamente:, ;, ; 4, ; 4, ; 4. onsidere, num referencial o.n., a elipse definida por 4 6k, com k 0, e de eio maior 8. Quais são as coordenadas dos focos? F 5,0 e F 5,0 F 5,0 e F 5,0 F,0 e F,0 F 7,0 e F 7,0 Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no

2 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 5. Na figura está representada num referencial o.n. uma circunferência centrada no ponto, de coordenadas, e que contém a origem do referencial. Qual das condições seguintes define o conjunto de pontos da região sombreada da figura? Num referencial considere os pontos 4,0 e 4,0 Seja P, um ponto do plano tais que d P d P.,, 50. Então a equação dada é equivalente a: Num referencial o.n. considere os pontos k,,, k e P k, k, com k 0. Qual é o valor de k de que o ponto P pertença à mediatriz do segmento de recta? Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no

3 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 8. Num referencial o.n. considere a condição. Em qual dos referenciais está a representação da região do plano definida pela condição? 9. Na figura está representada um rectângulo divido em doze quadrados: F K P G L Q H M R I N E S J T 9.. vector L Q J pode ser representado por: GF PQ JH Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no

4 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 9.. Qual é o valor real de k tal que Q SR E k S?. 9.. Suponha agora que o rectângulo está representado num referencial o.n., e, e Sabendo que, M, e e P e, quais são as coordenadas do ponto? 8 4, 0 4, 8 4, 0 8, 0. onsidere os vectores não nulos u e v. Qual das seguintes proposições é falsa? Se u e v são perpendiculares, então, u v u v. Se u k v, então, u k v. Se u k v, então, Se u v v, então, u 4v. 7 u v 4u v k. Num referencial o.n.,, k \,0. e e considere os vectores não nulos u k k, k e v k e e, com.. s vectores u e v são colineares se: k k k k.. Quais são os valores de k tais que u v? k k k k k k k k Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 4

5 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano.. Qual é o valor de k de modo que u k e v 6e? 4. onsidere a recta r definida por r : a a à recta r. Uma equação vectorial da recta r é:, com a \ 0. ponto P, de coordenadas P 4,, pertence, 4, k,, k, 0, k,, k, 4, k,, k, 0,4 k,, k. Num referencial o.n. sejam r e s as rectas definidas respectivamente por,, k, a a, com a \ 0 4. s rectas r e s são paralelas., k e Qual é o valor de a? Na figura estão representados, em referencial o.n., as rectas r e s e o quadrilátero. o ponto pertence ao eio e à recta r o ponto pertence às rectas r e s e tem ordenada 5 r o ponto pertence ao eio e à recta s a recta r é definida pelo sistema de equações paramétricas: 6 k 7 k, k s 5, 4.. Qual é a equação reduzida da recta s? Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 5

6 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 4.. Qual é a área do quadrilátero? Qual das condições seguintes define o conjunto de pontos da região sombreada da figura, incluindo a fronteira? daptado de um eercício da minha sebenta Propostas de Testes Intermédios Matemática.º no GRUP II ITENS E RESPST ERT 5. Na figura está representada num referencial o.n. uma circunferência centrada em que contém o ponto e de raio igual a. o ponto pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares;,0 o ponto pertence ao eio e à circunferência; o ponto pertence à circunferência e tem a mesma ordenada que o ponto. 5.. Mostre que uma equação da circunferência é. 5.. Mostre que as coordenadas do ponto são 4,5. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 6

7 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 5.. etermine uma equação da mediatriz do segmento de, apresentando-a na forma m b, com mb, Seja Pa, a 4a, com a, um ponto do segundo quadrante pertencente à recta. Mostre que P pertence à bissectriz dos quadrantes pares efina, por meio de uma condição, a região sombreada da figura. Nota: as fronteiras a carregado devem ser incluídas e as fronteiras a tracejado devem ser ecluídas. 6. onsidere, num referencial o.n., a condição 9 4. Represente a região do plano definido pela condição e determine a sua área. 7. Na figura estão representadas, em referencial o.n., uma recta r e duas circunferências: uma centrada no ponto e que contém o ponto e outra, de equação 4 7, centrada em. as coordenadas do ponto são, ; Q o ponto Q pertence às duas circunferências e tem ordenada 5; P o ponto P pertence à circunferência centrada e e tem abcissa 6; a recta r é tangente às duas circunferências no ponto Q. 7.. Escreve uma condição que defina a circunferência centrada em e mostre que a abcissa do ponto Q é. 7.. Justifique que Q Q e escreva uma equação da recta r, apresentando-a na forma m b, com mb,. 7.. Mostre que o triângulo Q é rectângulo em e, usando este facto, determine o valor eacto da área da região sombreada a cinza da figura Mostre que as coordenadas de P são 6,4 e justifique que as áreas regiões sombreadas a cinza e a amarelo são iguais. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 7

8 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 8. Num referencial o.n. z considere a elipse definida pela equação 50b. b 50 a, com ab, e a distância focal é 4 o ponto de coordenadas 5, pertence à elipse. Sejam F e F os focos da elipse e, P um ponto do plano pertencente à elipse. 8.. Mostre que d P F d P F,, 0 e escreva a equação da elipse na forma reduzida. 8.. etermine a área do losango, onde,, e são os vértices da elipse. 9. Na figura está representada, num referencial o.n., a elipse de focos F e F e o triângulo PF F. F F P Sabe-se que as coordenadas do ponto P são 5 5, 4 4 e que a área do triângulo PF F é etermine as coordenadas dos focos e o comprimento do eio maior. 9.. Mostre que uma equação da elipse é Sejam e os pontos de intersecção da elipse com a bissectriz dos quadrantes pares. ponto tem abcissa positiva e o ponto tem abcissa negativa. a) etermine as coordenadas de e de e justifique que o quadrilátero FF é um paralelogramo. b) etermine a área do paralelogramo FF. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 8

9 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 0. Na figura está representado um quadrilátero e um triângulo G. os pontos E e F pertencem ao lado o ponto E pertence ao lado G e o ponto F ao lado G F G E EF k, FG k G e EG k G, com k Usando cálculo vectorial, mostre que o quadrilátero é um paralelogramo.. onsidere num referencial o.n., e, e os vectores 5, Q, k, com k... onsidere que 8 k e seja w QP u v. u e v e e e os pontos 0, P e a) Mostre que w 5, 0. b) Seja T um ponto tais que TQ w u v. etermine as coordenadas do ponto T... etermine as coordenadas do ponto Q de modo que PQ v 5... etermine um vector de norma 7 e colinear com o vector u v..4. etermine k de modo que QP k v e..5. Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a recta que contém o ponto P e tem a direcção do vector u w.. onsidere num referencial o.n. a circunferência definida por pelo sistema de equações paramétricas r : k 5k, k e a recta r definida.. Mostre que o centro da circunferência pertence à recta r... ponto P 4,4 pertence a um semicírculo limitado pela circunferência e pela recta r. efina, por meio de uma condição, o referido semicírculo. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 9

10 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano. Na figura está representado, em referencial o.n., um quadrilátero. os pontos e são simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares o vector tem de coordenadas 7, e o vector tem de coordenadas 6, o ponto pertence ao eio e tem ordenada.. Mostra que as coordenadas do ponto são, e que as coordenadas do ponto são 7,.. Escreva uma equação vectorial da mediatriz do segmento de recta.... efina por uma condição a região sombreada da figura, incluindo a fronteira. daptado de um eercício da minha sebenta Propostas de Testes Intermédios Matemática.º no 4. Na figura está representada num referencial o.n. uma circunferência centrada em que contém o ponto e o paralelogramo. o ponto pertence à bissectriz dos quadrantes pares;,, a recta é paralela a. 4.. Mostre que as coordenadas do ponto são, e escreva uma equação da circunferência. 4.. etermine a de modo que o ponto de coordenadas recta. a, a 8 pertença à mediatriz do segmento de 4.. Escreva uma equação vectorial do segmento de recta. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no 0

11 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 4.4. Seja u k k,, com k. etermine k de modo que os vectores u e sejam colineares Seja M o ponto médio do segmento de recta. etermine, tais que M efina, por meio de uma condição, a região sombreada da figura, incluindo a fronteira, começando por escrever a equação reduzida da recta. 5. Num referencial o.n. considere as rectas r e s, estritamente paralelas, definidas respectivamente por 6 e, 0, a 4 k, 6 a, k, com \ 0 a. 5.. Mostre que a. 5.. recta r intersecta o eio no ponto e a recta s intersecta o eio no ponto. a) etermine a área do triângulo. b) Escreva uma equação do círculo de diâmetro. c) Escreva uma equação vectorial da recta r. 6. Na figura está representada, num referencial o.n,, o triângulo isósceles e a circunferência, centrada em que contém os pontos e. o ponto pertence ao eio e à mediatriz do segmento de recta o ponto tem abcissa igual a uma equação da recta é uma equação vectorial da recta é,, k,, k 6.. Mostre que a ordenada do ponto é e escreva a equação reduzida da recta. 6.. Mostre que as coordenadas do ponto são, etermine a equação reduzida da mediatriz do segmento de recta e mostre que as coordenadas do ponto são 9,4 e as do ponto são,0. Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no

12 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano 6.4. etermine a área do triângulo 6.5. efina por uma condição a região sombreada da figura, incluindo a fronteira. SLUINÁRI GRUP I ITENS E ESLH MÚLTIPL GRUP II ITENS E RESPST ERT região F 4,0 ; 4,0 9.. b) 8 6 F ; a) 6, 6 ; 6, 6.. b) T 0,6.. Q,0 ou, Q , 5 5 ou , k.5. Por eemplo, 0 7k, k Por eemplo,, 0, 0 k,5, k Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no

13 Geometria nalítica e álculo Vectorial no Plano a 4 a 4,, k,, k 0,.4. k : 7 7 ondição: ou b) 5.. a) 5.. c), 0,6 k,, k Ficha de Trabalho n.º 5 Matemática 0.º no