DERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL

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1 DERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL Derivada de uma função num ponto. Sejam f uma função denida num intervalo A R e a um ponto de acumulação de A. Cama-se derivada de f no ponto a ao ite, caso exista: f(x) f(a) x a x a A derivada de f no ponto a designa-se por f (a), Df xa ( ) df ou dx xa. Designando por o acréscimo x a, a denição de derivada de f no ponto a pode ser escrita na seguinte forma: f (a) 0 f(a + ) f(a) Derivadas laterais. Pode não existir derivada num ponto x a, mas existirem derivadas laterais. Nesse caso, denem-se as derivadas laterais de f no ponto a do seguinte modo: ˆ f (a f(x) f(a) ) x a x a ˆ f (a + f(x) f(a) ) x a + x a (derivada à esquerda de f no ponto a), (derivada à direita de f no ponto a). Uma condição necessária e suciente para que a função f tena derivada no ponto a é que: f (a ) f (a + ) A derivada de uma função num ponto pode ser nita ou innita. Se a derivada de f num ponto a é nita, f diz-se derivável nesse ponto. Interpretação geométrica. A derivada de uma função f no ponto a é igual ao declive da recta tangente ao gráco de f no ponto (a, f(a)). Aulas teóricas: resumo página: 1/15

2 Função derivada. Se a função f admite derivada nita em todos os pontos de um intervalo A, a cada ponto a A corresponde um e um só número real f (a), cando assim denida em A uma nova função f (x) que se diz função derivada da função f em ordem a x. Essa função pode representar-se por: f Df ou df dx Derivadas de ordem superior à primeira. Seja f uma função com derivada em todos os pontos de um intervalo A. Se a função f tiver derivada nita em todos os pontos desse intervalo, ca denida uma nova função que se diz função derivada de segunda ordem de f e que se designa por: f D f ou d f dx Continuidade e derivabilidade. Toda a função que admite derivada nita num ponto é contínua nesse ponto. A única forma de existir e ser nito o ite: f(x) f(a) x a x a é ter f(x) f(a) x a Nota: o recíproco deste teorema não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num dado ponto e não ser derivável nesse ponto. Um exemplo simples é o da função g(x) x, que é contínua em x 0 mas não é derivável nesse ponto. Aulas teóricas: resumo página: /15

3 Cálculo de derivadas pela denição: (k) 0 k k (k x) k (x + ) k x k 0 0 k k 0 ( k x ) 0 k (x + ) k x 0 kx + k 0 kx kx [g(x) + s(x)] g(x + ) + s(x + ) g(x) s(x) 0 ( g(x + ) g(x) + 0 ) s(x + ) s(x) g (x) + s (x) [g(x) s(x)] g(x + ) s(x + ) g(x) s(x) 0 g(x + )s(x + ) g(x)s(x) g(x + )s(x) + g(x + )s(x) 0 s(x) [g(x + ) g(x)] + g(x + ) [s(x + ) s(x)] 0 [ g(x + ) g(x) s(x) + g(x + ) 0 ] s(x + ) s(x) g (x) s(x) + g(x) s (x) Aulas teóricas: resumo página: 3/15

4 [ ] g(x) s(x) 0 g(x+) s(x+) g(x) s(x) g(x + )s(x) g(x)s(x + ) 0 s(x + ) s(x) g(x + )s(x) g(x)s(x + ) g(x)s(x) + g(x)s(x) 0 s(x + ) s(x) s(x) g(x+) g(x) 0 g(x) s(x+) s(x) s(x + ) s(x) g (x) s(x) g(x) s (x) [s(x)] ( (sen x) sen (x + ) sen (x) sen ) ( cos x+ ) ( ( sen )) ( ) x + cos cos x ( (cos x) cos (x + ) cos (x) sen ) ( sen x+ ) ( sen ( )) ( ) x + sen sen x onde se utilizaram as relações: sen α sen β sen α β cos α cos β sen α + β cos α + β sen α β x 0 sen x x 1 Aulas teóricas: resumo página: 4/15

5 Regras de derivação. u f(x) v g(x) k constante a constante (u ± v) u ± v (u v) u v + u v ( u ) u v u v (v 0) v v (k) 0 (k u) k u ( x k) k x k 1 (a x ) a x ln a a R + (log a x) 1 x ln a x R +, a R + \ {1} (sen x) cos x (cos x) sen x (arcsen x) 1 1 x 1 < x < 1 (arctg x) x Aulas teóricas: resumo página: 5/15

6 Derivada da função composta. Se f(x) é uma aplicação de A em R: A R f : x u f(x) derivável num ponto a do seu domínio, e g(x) é uma aplicação de B em R, tal que f(a) B: B R g : u y g(u) derivável no ponto b f(a), então a função: g f : A R é derivável em a e: (g f) (a) g (b) f (a) De um modo geral, em pontos correspondentes tem-se: (g f) (x) g (u) f (x) ou, utilizando outra notação: dy dx dy du du dx Derivada da função inversa. A R f : x u f(x) Se a função f denida acima é uma aplicação de A em R, invertível, com derivada não nula num ponto a do seu domínio, então f 1 : f(a) A é derivável no ponto b f(a) e: ou, utilizando outra notação: ( f 1 ) 1 f (a) dx du 1 du dx Aulas teóricas: resumo página: 6/15

7 ALGUNS TEOREMAS Teorema de Rolle. Se f : [a, b] R, com a < b, é uma função contínua em [a, b], derivável em todos os pontos de ]a, b] e se f(a) f(b), então existe pelo menos um ponto c ]a, b[, tal que f (c) 0. f contínua em [a, b] f derivável em ]a, b[ c ]a, b[ : f (c) 0 f(a) f(b) Interpretação geométrica. Geometricamente, o teorema de Rolle arma que o gráco da função f admite, pelo menos, uma tangente orizontal num ponto interior a ]a, b[. Demonstração Sendo f(x) contínua no intervalo fecado [a, b], o teorema de Weierstrass garante que o conjunto f ([a, b]) é itado, isto é, tem um máximo (M) e um mínimo. Existem, assim, quatro possibilidades: ˆ A função f atinge o seu valor máximo e mínimo no interior do intervalo aberto ]a, b[. Como f é derivável em ]a, b[, nos dois pontos correspondentes f 0. ˆ A função f atinge o seu valor máximo nos extremos e o seu valor mínimo no interior do intervalo aberto ]a, b[. Como f é derivável em ]a, b[, no ponto onde f é mínimo temos f 0. ˆ A função f atinge o seu valor mínimo nos extremos e o seu valor máximo no interior do intervalo aberto ]a, b[. Como f é derivável em ]a, b[, no ponto onde f é máximo temos f 0. ˆ A função f atinge o seu valor máximo e o seu valor mínimo nos extremos. Como f(a) f(b), neste caso f é constante em [a, b] e portanto f (x) 0, x ]a, b[. Aulas teóricas: resumo página: 7/15

8 Corolários do teorema de Rolle. 1. Seja f : [a, b] R, com a < b, uma função contínua em [a, b], derivável em todos os pontos de ]a, b]. Se a e b são dois zeros distintos de f, então a função f' admite pelo menos um zero em ]a, b[. f contínua em [a, b] f derivável em ]a, b[ f(a) f(b) 0 c ]a, b[ : f (c) 0. Seja I R, f : I R derivável em I e seja [a, b] I. Se a e b são zeros consecutivos da função derivada f, então não pode aver mais do que um zero de f no intervalo ]a, b[. f derivável em I [a, b] I f (a) f (b) 0 f (x) 0, x ]a, b[ entre a e b não pode aver mais do que um zero de f. Nota: Atendendo ao teorema de Bolzano sobre funções contínuas, podemos armar que: ˆ Se f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, existe um zero de f em ]a, b[. ˆ Se f(a) e f(b) tiverem o mesmo sinal, não á nenum zero de f em ]a, b[. 3. Seja I R, f : I R derivável em I. Se c é o menor (maior) zero da função derivada f, não pode aver mais do que um zero de f menor (maior) que c. Aulas teóricas: resumo página: 8/15

9 Teorema de Lagrange ou do valor médio. Se f : [a, b] R, com a < b, é uma função contínua em [a, b], derivável em ]a, b[, então existe pelo menos um ponto c ]a, b[, tal que: f (c) f(b) f(a) b a f contínua em [a, b] f derivável em ]a, b[ } c ]a, b[ : f (c) f(b) f(a) b a Interpretação geométrica do teorema de Lagrange. Geometricamente, o teorema de Lagrange garante que, entre os pontos do gráco de abcissas a e b, á pelo menos um ponto desse gráco onde a tangente é paralela à secante denida pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Demonstração Considere-se a função: [ ] f(b) f(a) (x) f(x) (x a) b a Verica-se facilmente que: ˆ Se f é contínua em [a, b], também é. ˆ Se f é derivável em ]a, b[, também é. ˆ (a) (b) f(a) Assim, o teorema de Rolle garante que existe pelo menos um c ]a, b[ tal que (c) 0. (c) 0 f (c) f(b) f(a) b a 0 f (c) f(b) f(a) b a Aulas teóricas: resumo página: 9/15

10 Aplicação das derivadas ao estudo do comportamento de funções Denições: ˆ Uma função diz-se estritamente crescente num intervalo I se x 1, x I, x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) ˆ Uma função diz-se estritamente decrescente num intervalo I se x 1, x I, x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) NOTA: Se x 1, x I, x 1 < x f(x 1 ) f(x ), a função diz-se crescente em sentido lato. Da mesma forma, se x 1, x I, x 1 < x f(x 1 ) f(x ), a função diz-se decrescente em sentido lato. Corolários do teorema de Lagrange. Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[. Então: 1. f (x) > 0 x ]a, b[ f(x) é estritamente crescente em [a, b].. f (x) < 0 x ]a, b[ f(x) é estritamente decrescente em [a, b]. 3. f (x) 0 x ]a, b[ f(x) é constante em [a, b]. Se a função f for duplamente derivável 1. f (x) > 0 x ]a, b[ f (x) é estritamente crescente em [a, b], logo a função f tem a concavidade voltada para cima ( ) nesse intervalo.. f (x) < 0 x ]a, b[ f (x) é estritamente decrescente em [a, b], logo a função f tem a concavidade voltada para baixo ( ) nesse intervalo. Teorema: Se f possui um máximo ou um mínimo para x c, então f (c) 0 ou f (c) não existe. Os pontos onde f 0 ou f não existe designam-se pontos críticos de f. Os pontos onde f 0 ou f não existe designam-se pontos de inexão de f. Aulas teóricas: resumo página: 10/15

11 Uma aplicação de derivadas: Problemas de Optimização Em problemas da vida real (ou de outras ciências que não a matemática), procuramse frequentemente as soluções "óptimas". Muitas vezes, esta solução "óptima"é encontrada determinando os extremos (máximos e mínimos) de uma dada função. A qualquer problema onde esteja em causa encontrar a solução "óptima"cama-se problema de optimização. Para resolver um problema de optimização, adopta-se o seguinte procedimento: 1. Compreender o problema Qual é a incógnita? Quais são os valores conecidos? Quais são as condições a que obedecem as variáveis?. Fazer um esquema Quais são os dados para colocar no esquema? 3. Introduzir símbolos Como representar as variáveis? Quais as letras mais apropriadas? 4. Exprimir a incógnita em função de uma só variável Qual é a variável independente? 5. Usar métodos analíticos para encontrar a solução Quais são os zeros da primeira derivada? Quais são os extremos? Aulas teóricas: resumo página: 11/15

12 Teorema de Caucy. Sejam f : [a, b] R e g : [a, b] R com a < b, duas funções contínuas em [a, b] e deriváveis em ]a, b[. Se g (x) 0 x ]a, b[, existe pelo menos um c pertencente a ]a, b[, tal que: f, g contínuas em [a, b] f, g deriváveis em ]a, b[ g (x) 0 x ]a, b[ f(b) f(a) g(b) g(a) f (c) g (c) c ]a, b[ : f(b) f(a) g(b) g(a) f (c) g (c) Demonstração Considere-se a função: (x) [g(b) g(a)] f(x) [f(b) f(a)] g(x) Verica-se facilmente que: ˆ Se f e g são contínuas em [a, b], também é. ˆ Se f e g são deriváveis em ]a, b[, também é. ˆ (a) (b) f(a) g(b) Assim, o teorema de Rolle garante que existe pelo menos um c ]a, b[ tal que (c) 0. (c) 0 [g(b) g(a)] f (c) [f(b) f(a)] g (c) 0 [g(b) g(a)] f (c) [f(b) f(a)] g (c) O teorema de Caucy conduz-nos à Regra de Caucy, que permite levantar facilmente diversos tipos de indeterminações. Aulas teóricas: resumo página: 1/15

13 Regra de Caucy. Sejam fe g duas funções deriváveis num intervalo aberto I, tal que g (x) 0 x I, e seja a um dos extremos de I. Se quando x tende para a (x a), f(x)e g(x) tendem f para 0, ou para ±, e se existe (x) f(x), então existe também e tem-se: x a g (x) x a g(x) f(x) x a g(x) f (x) x a g (x) Obs. A regra de Caucy é ainda aplicável quando x ±. Esta regra permite levantar indeterminações do tipo 0 0 e. EXEMPLOS: x 0 sen x x x 0 cos x 1 1 x + e x x x + e x x x + e x + NOTA: A regra de Caucy não permite levantar todas as indeterminações. Pode f(x) f acontecer que exista mas não exista (x). Por exemplo, x a g(x) x a g (x) x + x + sen(x) x x + ( 1 + sen(x) x ) mas x cos(x) 1 (o cosseno oscila entre 1 e 1). (1 + cos(x)) x + não existe! Por outras palavras, a existência de o contrário não é verdadeiro. f (x) x a g (x) implica a existência de x a f(x) g(x), mas Aulas teóricas: resumo página: 13/15

14 Representação gráca de funções reais de variável real Determinação de assimptotas ˆ Assimptotas verticais: Diz-se que a recta de equação x a é uma assimptota vertical do gráco da função f se: x a x a f(x) ± ou f(x) ± + ˆ Assimptotas orizontais: Diz-se que a recta de equação y b é uma assimptota orizontal do gráco da função f se: f(x) b ou f(x) b x + x ˆ Assimptotas oblíquas: Uma recta y m x + b, (m 0) é uma assimptota oblíqua do gráco da função f se: (f(x) m x b) 0 x ± (o que signica que, quando x tende para ±, o gráco da função tende a confundir-se com a recta de equação y m x + b Na prática, determina-se: m x ± f(x) x b x ± (f(x) m x) NOTA: Se m 0 trata-se de uma assimptota orizontal, descrita no ponto anterior. Aulas teóricas: resumo página: 14/15

15 Antes de esboçar o gráco de uma função, é conveniente determinar previamente: ˆ O domínio da função. ˆ Os pontos de intersecção com os eixos (zeros e ordenada na origem). ˆ Os pontos de descontinuidade. ˆ As simetrias do gráco (em relação à origem e ao eixo dos xx). ˆ As assimptotas. ˆ Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente e os máximos e mínimos relativos (estudo da primeira derivada). ˆ A concavidade e os pontos de inexão (estudo da segunda derivada). Para desenar o gráco de uma função é por vezes necessário calcular as coordenadas de mais alguns pontos. Aulas teóricas: resumo página: 15/15