Análise Matemática I 1 o Exame (Grupos I, II, III, IV, V e VI) 2 o Teste (Grupos IV, V e VI)

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1 Análise Matemática I o Exame (Grupos I, II, III, IV, V e VI) 2 o Teste (Grupos IV, V e VI) Campus da Alameda 5 de Janeiro de 2003 LEC, LET, LEN, LEM, LEMat, LEGM Apresente todos os cálculos e justificações relevantes I. Considere dois subconjuntos de R, A e B, em que: { A = x : π 6 arctg x < π } 4 e B é o conjunto dos termos da sucessão das somas parciais da série conjunto dos termos da sucessão S n = n k= a) Escreva o conjunto A na forma de um intervalo ou reunião de intervalos. Resposta: A = {x : tg (π/6) x < tg (π/4)} = [ 3/3, [.. k k=. Isto é, B é o k b) Determine, se existirem, o supremo, ínfimo, máximo e mínimo dos conjuntos A \ Q e B. Resposta: Relativamente ao conjunto A\Q temos: sup A\Q = e o máx A\Q não existe. O inf A\Q e o min A\Q são 3/3, porque este número é um irracional. Quanto ao conjunto B estamos perante o conjunto dos termos da sucessão das somas parciais da série /n. Esta série, de termos positivos, é divergente pelo que a correspondente sucessão de somas parciais é crescente e divergente (converge em R para + ). O supremo e o máximo não existem. O ínfimo e o mínimo são o primeiro termo da sucessão, isto é S = k= =. k c) Decida se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas, justificando apropriadamente (demonstre ou dê um exemplo, conforme adequado). i) Existem sucessões crescentes, de termos em [0, + [, que são convergentes. Resposta: Verdadeiro: qualquer sucessão crescente e limitada com termos no conjunto indicado é convergente. Por exemplo a sucessão u n = /n. ii) Se (y n ) é uma sucessão de termos reais satisfazendo y n 2, para todo o n N, então a sucessão (log(y n )) possui pelo menos uma subsucessão convergente. Resposta: Verdadeiro: como (y n ) é limitada, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass ela tem uma subsucessão (y ni ) que converge para certo α [, 2]. Como a função logaritmo é contínua naquele intervalo temos, por sua vez, que (log(y ni )) log(α).

2 iii) Se uma sucessão crescente de termos em B é convergente então existe uma ordem a partir da qual todos os termos são iguais. Resposta: Verdadeiro: uma sucessão crescente de termos em B, se não fosse constante a partir de certa ordem, teria uma subsucessão que também é uma subsucessão das somas parciais S n. Como a sucessão das somas parciais S n diverge para +, todas as suas subsucessões também o farão. E portanto a sucessão crescente original não convergiria. E isto é uma contradição com a ipótese, ou seja, se a sucessão crescente de termos em B converge então terá que obrigatoriamente ser constante a partir de uma certa ordem. II.. Estude a natureza (convergência simples, absoluta ou divergência) das seguintes séries e calcule a soma de uma delas: a) e 2n+ b) 5n 0 + 2n 7 + (n + ) c) ( ) n log n d) n=2 ( ) n log n Resposta: a) e 2n+ = ( ) n e = e e 2 ( ) n. que é convergente, porque se reduz ao estudo de uma série geométrica com razão /e 2 <. Além disso: ( ) n e 2n+ = e = e e 2 (/e 2 ) = e3 e 2. b) A série é divergente. Use-se o corolário do critério geral de comparação, comparando com a série divergente /n: e 2 lim 5n 0 +2n 7 + (n+) n 5n + 2n 8 + n (n + ) = 5. Como o limite é maior que zero e finito, concluimos que a série dada e /n têm a mesma natureza. c) Divergente: o termo geral não tende para 0. d) A série é simplesmente convergente. Para estudar a série dos módulos basta observar que n log n e como a série armónica diverge, logo a série dos módulos também diverge. Para verificar a convergência simples da série original, sem os módulos, use-se o n log n critério de Leibnitz: a sucessão / log n é decrescente e tende para zero, logo ( ) n n=2 log n converge.

3 Assim, como (a n ) é de Caucy, o mesmo sucede com a sucessão das somas parciais da série em estudo, o que permite concluir o resultado. 2. Determine para que valores de x R a seguinte série de potências converge absolutamente, simplesmente ou diverge: e /n (2x + ) n. Resposta: Temos: e /n (2x + ) n = O raio de convergência pode calcular-se através de: lim e /n 2 n ( x + 2) n. e/n 2 n e /(n+) 2 n+ 2 e/n(n+) = 2. A série converge absolutamente nos pontos do intervalo ], 0[ e diverge em R \ [, 0]. Para x = temos ( e /n 2 n + 2) n = ( ) n e /n, que diverge pois o termo geral da série não tende para zero. Para x = 0 temos, e /n 2 n ( 0 + 2) n = ( n e /n 2 2) n = que também diverge, pela mesma razão que no caso anterior. e /n, III. Sejam (a n ) n N e uma (b n ) n N sucessões tais que 0 b n+ a n+ a n b n. Mostre que a série b n converge se e só se a sucessão (a n ) n N converge. Resposta: Suponamos que a série b n converge. Neste caso denotando por s b n a correspondente sucessão das somas parciais, temos que (s b n) é uma sucessão de Caucy. Consequentemente, dado ɛ > 0, existe p N tal que para quaisquer m < k ambos maiores que p se tem, b m + b m+ + + b k < ɛ. Por outro lado tem-se: a k a m = (a k a k ) + (a k a k 2 ) + + (a m+ a m ) b m + b m+ + b k < ɛ logo, (a n ) é de Caucy, e portanto converge. A implicação recíproca pode ser abordada com o mesmo tipo de argumento, uma vez que se tem: b m+ + b m b k (a n+ a n ) + (a n+2 a n+ ) + + (a k a k ) = a k a n.

4 Outra Resposta Possível: Se a sucessão (a n ) converge, então a série de Mengoli (a n+ a n ) a n a também converge. E pelo critério geral de comparação, sendo b n+ a n+ a n, conclui-se que a série b n também converge. Para a implicação contrária utiliza-se o mesmo raciocínio. Se a série b n converge, pelo critério geral de comparação, conclui-se que a série (a n+ a n ) também convergirá. Mas isto é uma série de Mengoli, cuja soma é lim a n a e que portanto converge se e só se existe o limite da sucessão a n. Visto que já sabemos que esta série converge, concluímos que existe lim a n, ou seja, que a sucessão (a n ) é convergente. IV. Considere a função : ]0, + [ R definida por (x) = ψ(log x) + x, em que ψ é uma função definida e diferenciável em todo o R, satisfazendo ψ(y) > 0, y R. a) Justifique que a função é diferenciável no seu domínio e determine (x). Resposta: O enunciado do problema indica que o domínio de é ]0, + [, pelo que a função log está bem definida nesse domnínio, onde sabemos que é diferenciável. Por sua vez, também é dito que a função ψ é diferenciável em R donde se conclui, pelo teorema da função composta, que ψ(log x) será diferenciável para todo o x > 0. Agora, o denominador da fracção é a soma de duas funções diferenciáveis pelo que também é diferenciável, e além disso nunca se anula visto que ψ > 0 e x > 0. Concluímos assim, finalmente, que a função é o quociente de duas funções diferenciáveis, em pontos em que o denomindor não se anula, e será portanto diferenciável em todo o seu domínio. Para determinar a expressão de (x) teremos que combinar a derivação de fracções com a derivação de funções compostas. Assim (ψ(log x) + x) (x) = (ψ(log x) + x) = [ψ(log x)] + 2 (ψ(log x) + x). 2 Agora, aplicando a regra da derivação da função composta donde [ψ(log x)] = ψ (log x)(log x) = ψ (log x), x (x) = ψ (log x) + x x(ψ(log x) + x). 2 b) Sabendo que tem um extremo relativo em x = e, calcule ψ (). Resposta: Visto que é diferenciável em todo o seu domínio, se tem um extremo relativo em x = e, obrigatoriamente ter-se-á (e) = 0. A fórmula para (x) foi determinada na alínea anterior e daí se tira: (e) = 0 ψ (log e) + e e(ψ(log e) + e) = 0 2 ψ (log e) + e = 0. Sabendo, por fim, que log e = conclui-se deste modo que ψ () = e.

5 V. Considere a função g : R R definida por { arctg(e x + e x ), se x > 0, g(x) = e x + αx + β, se x 0. em que α e β são constantes reais. a) Determine α, β sabendo que g tem derivada finita em x = 0 (se não conseguir responder a esta pergunta, use α = e β = 4 nas alíneas seguintes). Resposta: Sabendo que g tem derivada finita em x = 0 concluímos imediatamente que será contínua nesse ponto. Portanto, Agora g(0) = e 0 + β = + β enquanto que donde se conclui g(0) g(x) g(x) x 0 + x 0 lim g(x) arctg(ex + e x ) = arctg( + ) = arctg() = π x 0 + x 0 + 4, β = π 4. Para determinar α recorremos à primeira derivada. Visto que, em x = 0, ela existe e é finita, teremos a igualdade entre a derivada à esquerda e à direita nesse ponto. A derivada à esquerda é g e(0) 0 g(0 + ) g(0) Por sua vez, a derivada à direita é 0 e + α + π 4 π 4 e + α = + α. 0 g d(0) 0 + g(0 + ) g(0) 0 + arctg(e + e ) π 4 = 0 0. Aplicando a Regra de Caucy para levantar esta indeterminação tem-se lim 0 + arctg(e + e ) π (e e ) +(e +e ) 2 e e (e + e ) = 0. 2 Igualando a derivada à direita e a derivada à esquerda, em x = 0, conclui-se finalmente que α =. b) Calcule lim x g(x), lim x + g(x). Resposta: lim g(x) x + x + arctg(ex + e x ) = arctg(+ + 0 ) = arctg(+ ) = π 2. lim g(x) x x ex x + π 4 = π = + (em R). 4

6 c) Estude g quanto a diferenciabilidade e determine g nos pontos em que existir. Resposta: Já sabemos, da alínea a), que g é diferenciável em x = 0: as constantes α e β foram aí determinadas de modo a satisfazer-se essa condição. Para x > 0, tem-se g(x) = arctg(e x + e x ) e esta expressão é a composta de uma função diferenciável em R, o arctg, com outra função também diferenciável em R, e x +e x (esta última por ser a soma de três funções diferenciáveis). Para x < 0, tem-se g(x) = e x x + π/4 que é uma função diferenciável em todo o R, visto ser a soma de três funções diferenciáveis: a exponencial e x, o monómio x e a constante π/4. Está justificado, assim, que g é uma função diferenciável em todo o R. Para calcular g (x) tem-se, para x > 0 g (x) = arctg (e x +e x )(e x +e x ) = + (e x + e x ) 2 (ex e x ) = Para x = 0 já se determinou a derivada, na alínea a), e viu-se aí ser g (0) = 0. Para x < 0 tem-se g (x) = (e x x + π 4 ) = e x. e x e x + (e x + e x ) 2. d) Estude g quanto à existência de extremos e intervalos de monotonia. Resposta: A função g, vimos na alínea anterior, é diferenciável em todo o R. A aver extremos, eles ocorrerão obrigatoriamente em pontos de estacionaridade, isto é, pontos onde a derivada se anula. Pela alínea anterior é fácil ver que o único ponto onde isso acontece é em x = 0. Para x > 0 tem-se que e x > e x e da fórmula para g (x) nessa região conclui-se que g (x) > 0 aí. Ou seja, g é crescente para x > 0. Para x < 0 tem-se que e x < e da fórmula para g (x) nessa região conclui-se que g (x) < 0 aí. Ou seja, g é decrescente para x < 0. Tendo em conta que g decresce de até x = 0, e daí cresce até +, concluimos que g(0) = π/4 é o mínimo absoluto da função. e) Determine o contradomínio de g. Resposta: Pelo que foi visto nas alíneas anteriores, lim x g(x) = + e a função decresce até x = 0, onde atinge o mínimo absoluto g(0) = π/4. Daqui, volta de novo a crescer tendendo para lim x + g(x) = π. 2 Agora, visto que a função é contínua, e que o domínio R é um intervalo, sabemos pelo teorema do valor intermédio que o contradomínio será também um intervalo. E pela análise anterior, é por isso igual a [π/4, + [.

7 VI. Seja f : R R uma função diferenciável tal que a sua derivada é contínua. Supondo que f verifica f(x) sen(/x), x 0, mostre que f (0) = 0. Resposta: A função sen(/x) não tem limite quando x 0. Portanto, não é por aí que se resolve o problema. Mas, notando que a mesma função se anula infintamente, à medida que x tende para 0, cegaremos lá. Assim, note-se primeiro que sempre que x = nπ x = nπ, para n inteiro (e diferente de zero), sen(/x) anula-se. Portanto, da desigualdade indicada, ter-se-á também ( ) f = 0. nπ Pelo teorema de Rolle, entre dois destes zeros consecutivos existirá sempre também um zero da derivada de f. Ou seja, por cada n ter-se-á um c n tal que (n + )π < c n < nπ tal que f (c n ) = 0. Finalmente, basta notar que daqui se conclui então, por um lado, que c n 0 (teorema da sucessão enquadrada). E como nos é dito que f (x) é contínua em todo o R, pela continuidade à Heine aplicada à função derivada: 0 f (c n ) = f (lim c n ) = f (0).