PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO

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1 PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO EXTREMOS: MÁXIMOS E MÍ IMOS As questões de optimização estão relacionados com a escolha da melhor alternativa para a resolução de um problema com base em critérios particulares. Os critérios de selecção mais usados na maioria das ciências são a maximização e a minimização, e.g., maximização dos lucros de uma empresa, minimização dos custos para produzir um determinado artigo. Dada uma unção objectivo y= ( x), os extremos podem ser classiicados de várias ormas: Extremos relativos: máximos e mínimos relativos; Extremos absolutos: máximos e mínimos absolutos ou globais. Pode acontecer a não existência de extremos e.g., unção constante. TESTE DA ª DERIVADA O cálculo da ª derivada ou da derivada de ª ordem é undamental para determinar os extremos de uma unção y= ( x). Deinição: Diz-se que c é um ponto crítico de uma unção se ( c ) = 0 ou se ( c) não existe. Se um extremo relativo ocorre em x= x0, então ou ( x0) = 0 ou ( x0) não existe. Neste º caso (ver Figura ), ambos os pontos A e B representam 8

2 y y A B + - O - + A B x O x x Figura Figura x extremos relativos de y, no entanto as derivadas não estão deinidas nesses pontos agudos. Daqui para a rente vamos excluir esta situação supondo que y= ( x) é contínua e possui derivadas contínuas. Na igura, A e B representam valores extremos, respectivamente um mínimo e um máximo ( ( x ) = 0 e ( x ) = 0 ). Assim, se a primeira derivada de uma unção ( x) no ponto x= x0 é ( x0) = 0, então o valor da unção nesse ponto ( x 0 ) é: um máximo relativo, um mínimo relativo, ou então não é nem um máximo nem um mínimo (ponto de inlexão). Quando possui o mesmo sinal em ambos os lados do ponto x 0. Se ( a) > 0, então ( x) é crescente em x= a. Se ( a) < 0, então ( x) decrescente em a x=. é Exercícios. Achar os extremos relativos da unção y = ( x) = x x + 6x + 8 Resolução: ( x) = x 4x + 6. Para acharmos os valores críticos, i.e., os valores de x quando ( x) = 0, igualamos a zero a unção derivada quadrática obtendo a equação quadrática: 4x+ 6= 0 x. Resolvendo a equação do º grau, vem que x = ( ( ) = 0, ( ) = 40 ), x ( ( 6) = 0, ( 6) = 8 ). = 6 9

3 É ácil veriicar que ( x) > 0 para x < e que ( x) < 0 para x > na vizinhança imediata de x=, portanto o valor correspondente da unção ( ) = 40 é um máximo relativo da unção. Analogamente, já que ( x) < 0 para x < 6 e ( x) > 0 para x > 6 na vizinhança imediata de x=6, o valor da unção ( 6 ) = 8 é um mínimo relativo.. Achar o extremo relativo da unção de custo médio CM = ( Q) = Q 5Q+ 8. Resolução: ( Q) = Q 5, igualando a 0 obtemos a equação linear Q 5= 0 que possui a raiz única Q =, 5. Para realizarmos o teste da ª derivada, vamos achar os valores da derivada em Q =, 4 e =, 6 Q. (,4) = 0,< 0 e (,6) = 0,> 0. Podemos concluir que o valor estacionário CM = (,5) =, 75 representa um mínimo relativo e também absoluto.. Encontre os valores estacionários das seguintes unções (veriique se são máximos, mínimos ou pontos de inlexão. O domínio é IR. a) y = x + 8x+ 7 b) y = x + c) y = x 6x+ d) y = 5 x + x 0

4 TESTE DA ª DERIVADA As derivadas de ordem superior nomeadamente de ª ordem possibilitam desenvolver critérios alternativos para localização dos extremos relativos de uma unção. A derivada de ª ordem pode ser representada por: ( x) Se derivar a ª derivada obtenho a ª e assim por diante. Exemplo y = ( x) ( x) = ( x) = ( x) = ( 4 ) ( x) = 6x 48x 96 ( 5 ) ( x) = 0 = 4x x 4 96x 6 x + 7x 6x x+ + x d y dx ou Se pretender por exemplo conhecer o valor de ( x) no ponto 0, ica ( 0) = 4 Se ( a) > 0, então ( x) tem concavidade para cima em x= a. Se ( a) < 0, então ( x) tem concavidade para baixo em x= a. Exercícios 4. Calcular as primeiras 4 derivadas da unção racional x y = g x + x ( x) =,( ). Podemos tirar conclusões em relação à curvatura de uma determinada unção num ponto se conhecermos as ª e ª derivadas nesse ponto.

5 Se em x = x ( x ) > 0 ( x ) < 0 x = x (x ) = 0 (x ) < 0 ponto B x = x ( x ) < 0 ( x ) < 0 ponto C x = x4 g (x4 ) < 0 g (x4 ) > 0 ponto D x = x5 g ( x5 ) = 0 g (x5 ) > 0 ponto E x = x6 g (x6 ) > 0 g (x6 ) > 0 ponto F ponto A Figura O teste da ª derivada para um extremo relativo diz que se a primeira derivada de uma unção no ponto x = x0 é (x0 ) = 0, então o valor da unção nesse ponto (x0 ) é, a) um máximo relativo se (x 0 ) < 0 b) um mínimo relativo se (x 0 ) > 0 c) se ( x0 ) = 0, nada se pode concluir

6 Exercícios 5. Achar o extremo relativo da unção y= ( x) = x x Resolução: ( x) = 8x ( x) = 8 4. Igualando ( x) a 0 e resolvendo a equação resultante, achamos o valor crítico (único) = 8 x que gera o valor estacionário (único) = e 8 6 já que a segunda derivada é positiva (para todo o x), o extremo achado é um mínimo. 6. Achar os extremos relativos da unção = g( x) = x x + Resolução: Calculando as ª e ª derivadas, g ( x) = x 6x g ( x) = 6x 6 y. Igualando g ( x) a 0 e resolvendo a equação quadrática, obtemos os valores críticos x e x. x 6x= 0 x = 0 x = que por sua vez geram os dois valores estacionários g ( 0 ) = (um máximo porque g ( 0) = 6< 0 ) e g ( ) = (um mínimo porque g ( ) = 6> 0) ESBOÇO DE GRÁFICOS Alguns passos undamentais a seguir para esboçar um gráico:

7 . A partir de ( x), calcular ( x) e ( x).. Localizamos em seguida todos os pontos de máximo e mínimo relativos azendo em seguida um esboço parcial.. Estudamos a concavidade de ( x) e localizamos todos os pontos de inlexão (quando ( x) = 0 ). 4. Outras propriedades do gráico como por exemplo as intersecções com os eixos dos xx e yy. Exercícios 7. Esboce o gráico de uma unção ( x) que tenha as seguintes propriedades: i) ( ) = 4; ii) ( x) > 0 para x<, ( ) = 0 e ( x) < 0 para x> 8. Esboce o gráico de uma unção ( x) que tenha as seguintes propriedades: i) (,), (4,5) e (6,7) são pontos do gráico ii) ( 6) = 0 e ( ) = 0 iii) ( x) > 0 para x< 4, ( 4) = 0 e ( x) < 0 para x > 4 4

8 O gráico da unção quadrática ( x ) = x x é uma parábola e, portanto, tem um extremo relativo. Encontre esse ponto e esboce o gráico. 0. Localize todos os extremos relativos no gráico da unção ( x) = x x + 5. Veriique a concavidade nesses pontos e utilize essa inormação para esboçar o gráico de ( x).. Esboce o gráico de y x + x 5x =.. 6. Esboce o gráico de ( x) = x x + 5x+ QUESTÕES DE OPTIMIZAÇÃO EM FU ÇÕES COM UMA VARIÁVEL Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada está nos problemas de optimização, nos quais alguma quantidade pode ser maximizada ou minimizada. Estas aplicações podem ser utilizadas na maioria das áreas do conhecimento e.g., uma companhia aérea pretende decidir o número de voos diários entre duas localidades para maximizar os lucros; um médico pretende conhecer a quantidade mínima de droga que produzirá o eeito desejado nos seus pacientes; um abricante precisa determinar a requência com que equipamentos devem ser substituídos de orma a minimizar os custos de manutenção. O objectivo passa por encontrar ou construir uma unção que corresponda a um modelo matemático para o problema. Depois a partir do gráico dessa unção teremos possibilidade de responder ao problema de optimização. 5

9 Exercícios. Encontre o valor mínimo da unção ( x) = x 5x + 4x+ 9 para x Uma pessoa quer plantar um jardim rectangular ao longo de um dos lados da casa e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado, utilizando 40 metros de cerca. Nos anos recentes, as decisões económicas têm sido cada vez mais orientadas pela matemática. Em ace de uma enorme quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas de dierentes variáveis, os analistas de negócios e economistas tem recorrido à ajuda de métodos estatísticos para descrever e compreender o que está a acontecer, prever os eeitos das várias políticas e para decidir estratégias razoáveis dentro de um enorme número de possibilidades. Entre os métodos utilizados está o Cálculo. Vamos de seguida estudar algumas destas aplicações do cálculo aos negócios e à economia. Estas aplicações vão estar centradas em torno do que os economistas chamam de teoria da irma. Por outras palavras estudamos a actividade de um negócio ou de toda uma indústria e restringimos a análise a um período de tempo durante o qual as condições básicas (tais como ornecimento de matéria prima, salários, impostos) podem ser consideradas constantes. Vamos ainda mostrar como o cálculo pode ajudar a administração de uma irma a tomar decisões vitais para a produção. São utilizadas várias unções que passo a apresentar: C(x) = custo para produzir x unidades de um produto R(x) = acturação gerada pela venda de x unidades de um produto 6

10 P(x) = R(x) C(x) = lucro (ou perda) gerado pela produção e venda de x unidades de um produto. Exercícios 5. Suponha que a unção custo de um abricante seja dada por C(x) = 0 6 x 0,00x + 5x+ euros. ( ) 000 Descreva o comportamento do custo marginal. Esboce o gráico de C(x). Resolução: As primeiras duas derivadas de C(x) são dadas por : C (x) = C (x) = - 6 ( 0 ) x - 0,006x+ 5 6 ( 6 0 ) x 0,006 Vamos em primeiro lugar esboçar o gráico de C (x). Do comportamento de C (x), teremos condições de obter o gráico de C(x). 6 A unção custo marginal y= ( 0 ) x 0,006x+ 5 tem como gráico uma parábola com abertura para cima. y = C (x) = 0,000006(x.000), podemos observar que a parábola tem uma tangente horizontal em x= 000. A coordenada y correspondente é 6 ( 0 )( 000) 0,006 ( 000) + 5= 6+ 5= Observando o gráico C (x) podemos veriicar que no início o custo marginal diminui, atingindo o seu mínimo de no nível de produção 000, aumentando depois. Isto corresponde à parte de a). Vamos agora obter o gráico de C(x). Podemos observar que o gráico de C (x) nunca é zero logo podemos concluir que não existem extremos relativos. Como C (x) é sempre positivo, C(x) é sempre crescente. 7

11 Como C (x) é decrescente para x menor do que 000 e é crescente para x maior do que 000, temos que C(x) tem concavidade para baixo para x menor do que 000 e concavidade para cima para x maior do que 000 e possui um ponto de inlexão em x=000. Podemos ver que o ponto de inlexão de C(x) ocorre no mesmo valor de x para o qual o custo marginal é mínimo. A maioria das unções custo marginal têm a mesma orma que a unção custo marginal do exemplo anterior. Para x pequeno, o custo marginal diminui. Entretanto o aumento da produção eventualmente leva a horasextra, utilização menos eiciente dos recursos de produção, instalações antigas e competição por matéria prima. Assim vemos que C (x) inicialmente decresce e depois cresce. Função acturação De um modo geral num negócio interessa não apenas os seus custos mas também a sua acturação. Como vimos R(x) é a acturação recebida com a venda de x unidades de algum bem. A derivada R (x) é chamada de acturação marginal. Os economistas utilizam isso para medir a taxa de aumento da acturação por unidade de aumento das vendas. 6. Se x unidades de um produto são vendidas a um preço p por unidade, então a acturação total R(x) é dado por R(x) = x.p. Resolução: A equação de procura de um certo produto é p= euros. Encontre 6 - x o nível de produção que resulta na acturação máxima. Neste caso, a unção acturação é R(x) = x.p= x 6 x = 6x x euros A acturação marginal é 8

12 R (x) = 6 x O gráico de R(x) é uma parábola com abertura para baixo. Tem uma tangente horizontal no valor de x para o qual R (x) = 0, isto é, para x=6, o qual resulta numa acturação de 8 euros. Exercícios 7. Uma Companhia Aérea oerece passeios turísticos em Lisboa. Um dos passeios, custa 7 euros por pessoa e tem uma procura média de 000 turistas por semana. Quando o preço baixar para 6 euros, a procura semanal sobe para 00 turistas. Supondo que a equação de procura seja linear, encontre o preço do passeio por pessoa que maximiza a acturação total em cada semana. Funções Lucro Tendo conhecimento da unção custo C(x) e da unção acturação R(x), podemos obter a unção lucro P(x) de P(x) = R(x) C(x) Exercício 8. Suponha que a equação de procura de um comerciante é p= 00-0,0x e a unção custo é C(x) = 50x Encontre o valor de x que maximiza o lucro e determina o preço correspondente e o lucro total para este nível de produção. 9. Reaça o exercício anterior com a condição que o governo cobra um imposto de 0 euros por unidade. 0. Dada a unção custo C(x) = x 6x + x+ 5, encontre o custo marginal mínimo.. A unção acturação de uma irma que produz um único produto é 600 R(x) = 00 x x+ 8 Encontre o valor de x que resulta na acturação máxima. 9

13 . Uma empresa que produz um único produto estima que a sua unção custo diário é C ( x) = x 6x + x + 5, e a sua unção acturação é R( x) = 8x. Encontre o valor de x que maximiza o lucro diário.. Para qual x a unção g( x) = 0+ 40x x tem o seu valor máximo? 4. Encontre o valor máximo da unção ( x) = x e orneça o valor de x para o qual esse máximo ocorre. 5. Encontre o valor mínimo de ( t) = t 6t + 40, t 0 e orneça o valor de t para o qual o mínimo ocorre. 6. Para que t a unção ( t) = t 4t tem o seu valor mínimo? 0