A seguir veremos o conceito de limites das funções de duas ou mais variáveis.
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- Carlos Derek Mangueira
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1 Limites de Função de várias variáveis. Limites: No curso de CDI-I estudamos ite de uma função real de uma variável. A definição rigorosa de ite é dada or: f ( L, ( / se A seguir veremos o conceito de ites das funções de duas ou mais variáveis. Consideremos a função z f (, de domínio definida em ontos (, bastantes róimos do onto f ( L D e um onto (, D, tais que f seja,. Denominamos vizinhança circular de raio do onto, ao conjunto dos ontos (,, tais que: ( ( ou ( ( que constitui o disco aberto de centro,, conforme ilustra a figura a seguir. Diremos que a constante l é o ite da função f, quando o onto variável (, tende ara o onto (,, quando dado um número, tão equeno quanto desejarmos, for ossível determinarmos em corresondência com ele um outro número, tal que ara todo (, que satisfaça a desigualdade: ( ( tenhamos Nestas condições odemos escrever: l f (, l ou f (, l f (, l ou (, (, Lembre-se: Limites fundamentais sen tg, e sen e e e f (, l, onde: e,788..., ois, quando (em radianos sen tg
2 Cálculo de ites No cálculo de ites de funções de várias variáveis alicamos as mesmas roriedades estudadas em CDI-I. Eemlos: ( =... = - (, (, =... = (, (, ln( (, (, sen( =... = (, (, =... = ln 5 (, (, =... = 6 Calcule: (, (, (, (, =.(.( (.( = (, (, ( ( (, (, (.( (, (, Observações: A condição de eistência do ite de uma função de uma variável é que os ites laterais, devem eistir e serem iguais, ou seja: f ( L f ( f ( L Para funções de várias variáveis, como eiste uma infinidade de caminhos ara se aroimar do onto de análise, devemos rovar que eiste o ite usando a sua definição, salvo as situações onde ode se emregar as roriedades. Proriedade: Semre que, or dois caminhos distintos, os ites forem diferentes, o ite da função não eiste. Nota: Se tomando vários caminhos o resultado insiste em ser o mesmo, use a definição ara rovar que este valor é realmente o ite de tal função. Eemlos: Calcule (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das abscissas, ou seja, = = (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das ordenadas, ou seja, = = (, (, Portanto, como eistem dois caminhos com ites diferentes, o ite não eiste.
3 Calcule (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das abscissas, ou seja, = = (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das ordenadas, ou seja, = = (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando a bissetriz dos quadrantes imares, ou seja, = = (, (, Portanto, como eistem dois caminhos com ites diferentes, o ite não eiste. Mostre que não eiste. (, (, Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o ite nesta direção. Se = (, (, (, (, Se (, (, = (, (, Se =...= (, (, (, (, Se =...= (, (, (, (, Se (, (, ( Portanto, como or dois caminhos diferentes o ite é diferente, conclui-se que o ite não eiste. Mostre que não eiste. (, (, Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o ite nesta direção. Se (, (, Se (, (, Se (, (, ( Portanto, como or dois caminhos diferentes o ite é diferente, conclui-se que o ite não eiste.
4 5 Seja f definida or f (,. Determine o ite de f (, quando (, (,. a Ao longo do eio dos. b Ao longo do eio dos. c Ao longo da bissetriz dos quadrantes ímares. d Ao longo da curva. Resosta: a = => b = => c = => d => Nota: Não odemos concluir a artir desses elementos que o ite de tal função eiste, devemos usar a definição, ou uma roriedade, ara oder rovar o que suseitamos. A seguir, rovaremos que o valor desse ite é zero, usando a seguinte roriedade. Proriedade: Se f (, e g(, é uma função itada numa bola aberta de centro em (,, (, (, então: f (,.g(,., (, ( Eemlos: No eemlo 6, verificamos que o ite insiste em ser nulo, usando a roriedade, rove que: (, (,. (, (, e, ara todo (, (,, ou seja, Assim,. (, (, (, (, Nota: A eressão (quando = e. Ainda:. é uma função itada. tem como valor mínimo (quando = e e como valor máimo.sen, ois (, (, (, (, e sen, ou seja, g(, é uma função itada. Calcule, caso eista, (, (,. e, ara todo (, (,, ou seja é uma função itada. (, (, Assim,. (, (, (, (,
5 Calcule, caso eista, (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das abscissas, ou seja, = = (, (, o Caminho Aroimar do onto (, usando o eio das ordenadas, ou seja, = = (, (, Portanto, como or dois caminhos diferentes o ite é diferente, conclui-se que o ite não eiste. Cuidado:, mas não é itada! Prova: Tome: não é itada logo não é itada 5
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