Aula 16. Integra»c~ao por partes

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1 Aula 16 Integra»c~ao or artes H a essencialmente dois m etodos emregados no c alculo de integrais inde nidas (rimitivas) de fun»c~oes elementares. Um deles e a integra»c~ao or substitui»c~ao, elorada na aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m etodo e chamado de integra»c~ao or artes, que eloraremos nesta aula. Suonhamos que u = u() e v = v() s~ao duas fun»c~oes deriv aveis em um certo intervalo I ½ R. Ent~ao, ara cada em I, temos [u() v()] 0 = u 0 () v()+u() v 0 () Assim sendo, [u 0 ()v()+u()v 0 ()] d = u()v()+c ou seja, v()u 0 () d + u()v 0 () d = u()v()+c Podemos escrever ainda u()v 0 () d = u()v() v()u 0 () d (16.1) aqui considerando que a constante gen erica C j a est a iml ³cita na ultima integral. Sendo u = u() e v = v(), temos du = u 0 () d e dv = v 0 () d, eassamosaf ormula 16.1 µa forma abreviada u dv = u v v du (16.) As f ormulas 16.1 e 16. s~ao chamadas f ormulas de integra»c~ao or artes. 138

2 Integrac»~ao or artes 139 Eemlo 16.1 Calcular R sen d. Solu»c~ao. Tomaremos u =, e dv = sen d. Teremos du =1d = d, ev = R sen d. Para os ro ositos da integra»c~ao or artes, basta tomar v = cos, menosrezando a constante arbitr aria da integral v = R sen d, ois uma tal escolha da fun»c~ao v e su ciente ara validar a f ormula 16.. Temos ent~ao Eemlo 16. Calcular R ln d. sen d= u dv = u v v du = ( cos ) ( cos ) d = cos + cos d Solu»c~ao. Tomamos u =ln, edv = d. = cos +sen + C Teremos du = 1 d, ev = R d. Tomamos v =. Temos ent~ao ln d= u dv = u v v du Eemlo 16.3 Calcular R arc tg d. = ln = ln = Solu»c~ao. Faremos u = arc tg, edv = d. Eent~ao du = 1 d, v =. Da ³, 1+ 1 d d ln 4 + C

3 Integrac»~ao or artes 140 arc tg d= udv = uv vdu 1 = arc tg 1+ d 1 Para calcular a integral J = d, rocedemos a uma mudan»ca de vari avel: 1+ Fazendo w =1+,temosdw =d,eent~ao d= 1 dw. Da ³, 1 1 J = 1+ d = w dw =lnjwj + C =ln(1+ )+C. Portanto, R arc tg d= arc tg ln(1 + )+C Um estrat egia ara integrar or artes Poder ³amos dizer que o ro osito da integra»c~ao or artes e transferir o c alculo de uma integral R u dv ara o c alculo de uma integral R v du (a qual esera-se que saibamos calcular), ela f ormula de integra»c~ao or artes, R udv = uv R vdu. Ao integrar or artes, uma integral da forma R f()g() d, devemos semre escolher, dentre as duas fun»c~oes da eress~ao f()g() d, uma delas como sendo o fator u e a outra como arte de uma diferencial dv. Em outras alavras, odemos fazer u = f() e dv = g() d, ouu = g() e dv = f() d (ou ainda u = f()g() e dv =1d!). Mas esta escolha n~ao ode ser feita de modo aleat orio. Temos que ser esertos em nossa escolha ara que, ao assarmos da integral R udv ara a integral R vdu, assemos a uma integral tecnicamente mais simles de ser calculada. Uma sugest~ao que funciona bem na grande maioria das vezes e escolher as fun»c~oes u e v segundo o crit erio que descreveremos abaio. Ele foi ublicado como uma equena nota em uma edi»c~ao antiga da revista American Mathematical Monthly. Considere o seguinte esquema de fun»c~oes elementares: L I A T E Logar ³tmicas Inversas de Alg ebricas Trigonom etricas Eonenciais trigonom etricas No esquema acima, as letras do anagrama LIATE s~ao iniciais de diferentes tios de fun»c~oes. Uma estrat egia que funciona bem e: ao realizar uma integra»c~ao or artes, escolher, dentre as duas fun»c~oes que aarecem sob o sinal de integral,

4 Integrac»~ao or artes 141 ² como fun»c~ao u: a fun»c~ao cuja letra inicial de caracteriza»c~ao osiciona-se mais µa esquerda no anagrama; ² como formando a diferencial dv: a fun»c~ao cuja letra inicial de caracteriza»c~ao osiciona-se mais µa direita no anagrama. Sumarizando, u deve caracterizar-se ela letra mais r oima de L, e dv ela letra mais r oima de E. Esta estrat egia j a foi adotada nos eemlos desenvolvidos anteriormente! 1. Na integral R sen d, eemlo 16.1, zemos u = (Alg ebrica) e dv = sen d (Trigonom etrica). No anagrama LIATE, A recede T.. Na integral R ln d,eemlo16., zemos u = ln (Logar ³tmica) e dv = d (Alg ebrica). No anagrama LIATE, L recede recede A. 3. Na integral R arc tg d, eemlo 16.3, zemos u = arc tg (Inversa de trigonom etrica), e dv = 1d (Alg ebrica). No anagrama LIATE, I recede A. Passaremos agora a um eemlo interessante e imrescind ³vel. Eemlo 16.4 Calcular R e sen d. Solu»c~ao. Seguindo a sugest~ao dada acima, faremos u =sen (trigonom etrica), dv = e d (eonencial). anagrama LIATE. Temos ent~ao du =(sen) 0 d =cosd, e tomamos v = e.da ³, e sen d= udv = uv vdu = e sen e cos d T vem antes de E no Parece que voltamos ao onto de artida, n~ao e mesmo? Passamos da integral R e sen d µa integral R e cos d, equivalente µa rimeiraemn ³vel de di culdade. Continuaremos, no entanto, a seguir a receita do anagrama. Na integral J = R e cos d faremos u =cos, dv = e d. (Estas fun»c~oes u e v s~ao de nidas em um novo conteto. Referem-se µa esta segunda integral.)

5 Integrac»~ao or artes 14 Teremos du =(cos) 0 d = sen d,ev = e,eent~ao J = e cos d= udv = uv vdu = e cos ( sen )e d = e cos + e sen d O resultado nal e interessante. Chamando I = R e sen d, I = e sen d= e sen J µ = e sen e cos + e sen d = e sen e cos I Portanto, ou seja, e ent~ao obtemos I = e sen e cos I I = e sen e cos + C I = 1 (e sen e cos )+C Eemlo 16.5 Calcular R a d (a >0). Aqui odemos integrar or artes, mas o anagrama LIATE n~ao nos e de serventia, j a que a integral involve aenas eress~oes alg ebricas. Faremos u = a, dv = d. Ent~ao du = d, e tomamos v =. Da ³, a a I = d = udv = uv vdu = a = a + a d a d

6 Integrac»~ao or artes 143 Agora fazemos (a a d = )+a d a a = a d + a a d a = d + a 1 a d = I + a 1 a d = I + a arc sen a + C Portanto, I = a I + a arc sen a + C de onde ent~ao a d = I = a + a arc sen a + C Um modo mais aroriado de abordar integrais com eress~oes da forma a,oua,ser a retomado adiante, quando zermos um estudo de substitui»c~oes trigonom etricas. 16. Problemas 1. Reetindo rocedimento an alogo ao usado no eemlo 16.5, mostre que + d= + + ln j + + j + C. Calcule as seguintes integrais. (a) R e d. Resosta. e ( 1) + C. (b) R ln d. Resosta. (ln 1) + C. (c) R n ln d (n 6= 1). Resosta. n+1 n+1 ln 1 n+1 + C. (d) R ln(1 + ) d. Resosta. ln( +1) + arc tg + C. (e) R arc tg d. Resosta. 1 [( + 1) arc tg ]+C. (f) R arc sen d. Resosta. arc sen C. (g) R 1 d. Resosta. 1 arc sen C. Sugest~ao. Imite os rocedimentos usados no eemlo 16.5.

7 Integrac»~ao or artes 144 (h) R arc sen d. Resosta. 1 4 [( 1) arc sen + 1 ]+C. (i) R e d. Resosta. e ( 1) + C. (j) R arc tg d. Resosta. ( + 1) arc tg + C. Sugest~ao. Ao dearar-se com R d, fa»ca z =. (1+) (k) R arc sen d. Resosta. arc sen C. (l) R arc sen d. Resosta. arc sen + arc tg + C Sugest~ao. N~ao se deie intimidar. Comece fazendo u = arcsen +1, dv = d. (m) R cos d. Resosta. + 1 sen + 1 cos + C Sugest~ao. cos = 1 (1 + cos ). (n) R ( +7 5) cos d. Resosta. ( sen cos sen +7 5) +( +7) + C. 4 4 (o) R e a 1 cos b d. Resosta. e a (b sen b + a cos b)+c. a +b () R e a 1 sen b d. Resosta. e a (a sen b b cos b)+c. a +b (q) R arc sen 1 d. Resosta. 1 arc sen + C. (r) R arc sen d. Resosta. 1 ln arc sen + C =ln arc sen + C. Sugest~ao. Fa»ca R 1 d = R 1 d, quando necess ario, e ent~ao 1 z = 1. (s) R ln( + 1+ ) d. Resosta. ln( + 1+ ) 1+ + C. (t) R arc sen arc d. Resosta. sen (1 ) ln C. 3. Ao calcular a integral R 1d, Jo~aozinho rocedeu da seguinte maneira. Fazendo u = 1,edv = d, odemos tomar v =, e teremos du = 1 d. 1 d = udv = uv = 1 vdu µ 1 d =1+ Sendo J = R 1d, temos ent~ao J =1+J, logo0=1. Onde est a o erro no argumento de Jo~aozinho? 4. Mostre que Sugest~ao. Fa»ca ( + ) d = ( + ) d = ( + ) + d +. {z} ( + ) d. u {z } dv 1 d

8 Integrac»~ao or artes Usando o resultado do roblema 4, calcule (considere a>0) (a) d. (b) ( + a ) (a ) d. Resostas. (a) + 1 arc tg + C. (b) ( +a ) a a 6. Mostre que Sugest~ao. R 1 (a ) d ( + ) = ( + ) + 1 d = R ( + ) d. ( + ) ( + ) ln a+ 4a a + C. d + 7. Usando a redu»c~ao mostrada no roblema 6, calcule as integrais (considere a>0). d (a) ( + a ). (b) d (a ). Resostas. (a) + 1 arc tg + C. (b) + 1 ln a+ a ( +a ) a 3 a a (a ) 4a 3 a + C. 8. Calcule R arc tg d. Resosta. ( +1) 4( +1) arc tg 1 arc tg + C. 1+