Aula 5. Limites laterais. Para cada x real, de ne-se o valor absoluto ou m odulo de x como sendo ( jxj = x se x<0

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Luca Fernandes Domingues
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1 Aula 5 Limites laterais Para cada x real, de ne-se o valor absoluto ou m odulo de x como sendo ( x se x jxj = x se x< Por exemplo, j p 2j = p 2, j+3j =+3, j 4j =4, jj =, j p 2j = p 2 (pois p 2 < ). Para apresentar o conceito de ites laterais, consideraremos a fun»c~ao f(x) =x + x jxj cujo campo de de ni»c~ao (dom ³nio) e o conjunto R fg. Se x>, jxj = x eportantof(x) =x +. Se x<, jxj = x eportanto f(x) =x. O gr a co de f e esbo»cado na gura x - -2 Figura 5.. Esbo»co do gr a co de f(x) =x + x jxj. 39

Para apresentar o conceito de ites laterais, consideraremos a fun»c~ao f(x) =x + x jxj cujo campo de de ni»c~ao (dom ³nio) e o

2 Limites laterais 4 Se x tende a, mantendo-se >, f(x) tende a. Se tende a, mantendo-se <, f(x) tende a. Dizemos ent~ao que o ite de f(x), quando x tende a pela direita, e igual a, e denotamos f(x) = x! + Dizemos tamb em que o ite de f(x), quando x tende a pela esquerda, e igual a, edenotamos f(x) = x! De um modo geral, sendo f(x) uma fun»c~ao, se x est a nointeriorou eextremo inferior de um intervalo contido em D(f), f(x) signi ca x!x x>x f(x) Se x est a nointeriorou e extremo superior de um intervalo contido em D(f), Exemplo 5. x!x f(x) signi ca x!x x<x f(x) Consideremos agora a fun»c~ao f(x) ==x. Conforme j a observado no exemplo 4.7, aula 4 (reveja-o), esta fun»c~ao n~ao tem ite quando x!. Temos D(f) =R fg =] ; [ [ ]; +[. Assim, e extremo superior do intervalo ] ; [ ½ D(f), e tamb em e extremo inferior do intervalo ]; +[ ½ D(f). 3 2 =/x x - -2 Figura 5.2. x! + x =+, x! x = No esbo»co do gr a co de f, gura 5.2, ilustramos a ocorr^encia dos ites laterais x! + x = x! x> x =+ x! x = x! x< x =

De um modo geral, sendo f(x) uma fun»c~ao, se x est a nointeriorou eextremo inferior de um intervalo contido em D(f), f(x) signi ca x!

3 Limites laterais 4 (Tamb em ilustramos que = =.) x!+ x x! x Neste caso, e conveniente denotar, introduzindo novos s ³mbolos em nossa algebra de ites, x! + x = =+ + x! x = = Observa»c~ao 5. Em geral, dizemos que f(x) = + se x!x (i) x!x f(x) =,e (ii) f(x) mant em-se > quando x! x,ouseja,f(x) > para todo x su cientemente pr oximo de x. Dizemos que x!x f(x) = se (i) x!x f(x) =,e (ii) f(x) mant em-se < quando x! x,ouseja,f(x) < para todo x su cientemente pr oximo de x. Escrevemos ainda f(x) = + para indicar que (i) f(x) =, e (ii) f(x) > quando x! x e x>x. Analogamente, podemos tamb em conceituar os casos f(x) =, x!x f(x) =,e f(x) = +. x!x Nossa algebra de ites passa a contar agora com os seguintes novos resultados: ( c = + + se c> se c< ( c = se c> + se c< Tamb em e f acil intuir que Exemplo =+ + = + = =+ x! (x )2 = +,portanto x! (x ) 2 = + =+.

x f(x) =,e (ii) f(x) mant em-se < quando x! x,ouseja,f(x) < para todo x su cientemente pr oximo de x. Escrevemos ainda f(x) = + para indicar que (i) f(x) =, e (ii) f(x) > quando x! x e x>x.

4 Limites laterais 42 2x 3 x! + x x!+ = 3 = + 5 x 3 = 5 + =+ Exemplo 5.3 Calcular x! 2 + jj e x! 2 jj Solu»c~ao. Observe que > se e somente se x> 2. Assim sendo, se x> 2, temos> eent~ao jj =. Por outro lado, se x< 2, temos< eent~ao jj = (). Assim sendo, temos x! 2 + jj = x! 2 x> 2 x! 2 jj = x! 2 x< 2 jj = x! 2 x> 2 jj = x! 2 x< 2 Observa»c~ao 5.2 A a rma»c~ao f(x) =a x!x e equivalente µa a rma»c~ao, simult^anea, de que = x! 2 = () = x! 2 = f(x) =a e x!x f(x) =a Se no entanto f(x) e de nida para x>x,masn~ao e de nida para x<x,ent~ao x!x f(x) =a signi ca x!x + f(x) =a p p Por exemplo, x! x =,muitoembora p x n~ao esteja p de nida para x<. Neste caso, a rmar que x! x =signi ca que x! + p x =,j a que n~ao se de ne o ite x! x Observa»c~ao 5.3 (O gr a co de uma fun»c~ao cont ³nua em [a; b]) No exemplo ao in ³cio da aula, vimos que a fun»c~ao f(x) =x + x=jxj tem ites laterais diferentes no ponto x =, sendo f(x) =e f(x) =. Assim, conforme x! + x! podemos vizualizar na gura 5., o gr a co de f apresenta um salto no ponto. Tamb em a fun»c~ao f(x) ==x tem um salto no ponto. Agorapor em o salto e in nito, sendo f(x) =+ e f(x) =. x! + x!

x e equivalente µa a rma»c~ao, simult^anea, de que = x! 2 = () = x! 2 = f(x) =a e x!x f(x) =a Se no entanto f(x) e de nida para x>x,masn~ao e de nida para x<x,ent~ao x!x f(x) =a signi ca x!

5 Limites laterais 43 f(b) f(a) a b x Figura 5.3. f e cont ³nua e diferenci avel no intervalo [a; b]. f(b) f(a) a c d b x Figura 5.4. f e cont ³nua no intervalo [a; b], masn~ao tem derivadas nos pontos c e d. Na aula 4, estivemos observando que a fun»c~ao f(x) ==x 2 tem ite in nito no ponto : f(x) =+. Aqui, nas proximidades de, o gr a co \salta" para cima dos x! dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr a co. Quando uma fun»c~ao f(x) e cont ³nuanospontosdeumintervalo[a; b], acurva = f(x), a x b, gr a co de f no intervalo [a; b], n~ao apresenta quebras ou saltos. Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr a co ligando o ponto inicial A = (a; f(a)) ao ponto nal B =(b; f(b)) sem tirarmos o l apis do papel, tal como na gura 5.3. Observa»c~ao 5.4 (Uma fun»c~ao cont ³nua pode n~ao ter derivada sempre) J a na gura 5.4 temos uma ilustra»c~ao de uma fun»c~ao cont ³nua no intervalo [a; b] que, no entanto, n~ao tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes a c e d n~ao e poss ³vel tra»car retas tangentes ao gr a co de f. Observa»c~ao 5.5 (Continuidade signi ca f =) Na observa»c~ao 2., aula 2, vimos que, sendo x 2 D(f), seexistef (x ) ent~ao f =. Na verdade, n~ao e necess ario termos f diferenci avel x para que tenhamos f =.

dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr a co.

6 Limites laterais 44 A condi»c~ao necess aria e su ciente para que tenhamos f = e que f seja cont ³nua no ponto x. Vejamos: f = f(x + x) f(x ). Fazendo x = x + x, temos f = f(x) f(x ). Temos que x! se e somente se x! x. Se f =,ent~ao (f(x) f(x )) =, logo x!x f(x) = [(f(x) f(x )) + f(x )] = + f(x )=f(x ). Assim, f e cont ³nua x!x x!x em x. Se f e cont ³nua em x, f(x) =f(x ). Logo, (f(x) f(x )) =, e x!x x!x ent~ao f =. Assim, f =, f(x) =f(x ). x!x Quando existe f (x ),temos f =eent~ao f(x) =f(x ),ouseja x!x Se f tem derivada em x ent~ao f e cont ³nua em x. No entanto, podemos ter f cont ³nua em x, sem ter derivada em x. Veja problemas5e6abaixo. 5. Problemas 2 x - -/2 Figura 5.5.

7 Limites laterais 45. Na gura 5.5 est a esbo»cadoogr a co de uma fun»c~ao = f(x). Complete as igualdades: (a) x! (d) x!2 (g) f(x) = (b) f(x) = x! + (c) x!2 f(x) = + (e) f(x) = x! (f) x! + f(x) = (h) x! x!+ 2. Em que pontos a fun»c~ao f do problema anterior e de nida? Em quais pontos e cont ³nua? 3. Calcule os ites laterais (a) (d) j¼ xj x!¼ x ¼ x!8 + x 8 (b) (e) j¼ xj x!¼ + x ¼ x 2 5x +4 x!2 + 2 x (c) (f) x!8 x 8 p x 2 x! Calcule os ites f(x), f(x) e diga se existe o ite + Diga tamb em se f e cont ³nua no ponto 3. 8 < 8 se x< 3 < (a) f(x) = 2 3x (b) f(x) = : 3p : se x 3 f(x). 9 se x 3 x 3p 2 4+x se x> 3 5. Veri que que a fun»c~ao f(x) =jxj e cont ³nua em x =,masn~ao existe f () f(+ x) f() (mostre que n~ao existe o ite ). Mostre que existem os ites x laterais e, chamados respectivamente de x x f(+ x) f() + f(+ x) f() derivada direita de f no ponto (f ( + ))ederivada esquerda de f no ponto (f ( )). Esboce o gr a co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos acima. 6. Veri que que a fun»c~ao f(x) = 3p f(+ x) f() x econt ³nua em x =,mas = x +. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f () = +. Esboce o gr a co de f, tra»cando-o cuidadosamente atrav es dos pontos de abcissas, =8,, 8, e interprete geometricamente o fato de que f () = Respostas e sugest~oes. (a) (b) =2 (c) + (d) (e) (f) (g) =2 (h) 2. A fun»c~ao f e de nida em R fg. Econt ³nua em R f; 2g. 3. (a) (b) (c) (d) + (e) + (f)

2 + 2 x (c) (f) x!8 x 8 p x 2 x!2 + 4. Calcule os ites f(x), f(x) e diga se existe o ite + Diga tamb em se f e cont ³nua no ponto 3. 8 < 8 se x< 3 < (a) f(x) = 2 3x (b) f(x) = : 3p : se x 3 f(x).

8 Limites laterais (a) 3. (b) f(x) =, f(x) = =. + f(x). f( 3) =, mascomon~ao existe f(x) =, + f(x) =f( 3). N~ao se de ne (n~ao existe) o ite f(x), f n~ao e cont ³nua no ponto f(x) =, f(x) =. f e cont ³nua no ponto 3 pois 5. Ao esbo»car o gr a co de f, notamos que f(x) =x, sex, ef(x) =x, sex. Assim, f ( + )=indica a presen»ca de uma reta tangente ao gr a co de f, \µadireitado ponto (; )", como sendo a reta tangente ao gr a co de = x, x, noponto(; ) (a reta tangente a uma reta e apr opria reta). Analogamente, interpreta-se f ( )=. 6. f () = + signi ca que a reta tangente µa curva = 3p x,noponto(; ), e vertical.

$Assim, f ( + )=indica a presen»ca de uma reta tangente ao gr a co de f, \µadireitado ponto (; )", como sendo a reta tangente ao gr a co de = x, x,$

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