FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I. Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE

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1 FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE Teorema 0.. Dadas f,g, : A R funções e 0 ponto de acumulação de A. (i) Supona eiste ǫ > 0 tal que para cada ( 0 ǫ; 0 + ǫ) tem-se f() () g(). (ii) Supona que f() = L e g() = L, onde L é um número real. 0 0 Então () = L. 0 Eemplo 0.. Seja : A R R função dada por () = sen ( ), e 0 = 0. Calcule (). Note que, sen ( ), entã tome f() = e g() = e teremos f() () g() para todo R. Como = 0 =, o Teorema 0. nos garante que sen ( ) = 0. Primeiro Limite Fundamental Provemos que sen =. Denotemos por o ângulo AOC na Figura. Considere o setor circular BOC e os triângilos OAC e BOG cujas as áreas são representasdas por s, A e G respectivamente. C G O A B Figura :

2 É fácil ver que A s G. Note que a medida dos segmentos de reta OB, OA, AC e BG são um, cos, sen e sen respectivamente. Com estes valores em mente podemos cos calcular cada uma destas áreas, isto é 2 (sen cos) 2 2 sen cos ou seja sen cos sen cos. Invertendo todas as frações teremos sen cos cos sen. Multiplicando todos os membros das inequações acima por sen (veja que sen > 0) teremos cos sen cos. Agora estamos em condições de nos valer do Teorema 0. com as funções f() = cos, g() = cos e () = sen. Como +f() = + cos = e +g() = cos =, + o Teorema 0. nos asegura que sen +() = =. + Note que todos os cálculos acima podem ser desenvolvidos para próimo de zero, mas pela esquerda de zero, o que nos faz ver que sen () = =. Como os ites pela esquerda e pela direita de zero eistem e são iguais, teremos sen cos Eemplo 0.2. Vamos calcular. =. Veja que a fração dentro do ite pode ser escrita como cos = cos + cos + cos = cos2 + cos = sen sen + cos. sen Veja que = (ite fundamental), sen = 0 e =. Então + cos temos cos = sen sen + cos = 0 = 0. 2

3 sen 3 sen. Calcule (i) ; (ii) π ; 2. Tome f() = cos e calcule f(a + ) f(a) sen π sen 7 3. (i) Calcule. (ii) sen π ; sen 3 (iii) sen 5 ; (iv) sen 2. 5 OUTROS EXERCÍ CIOS 4. a - Calcule b - Seja f : R R dada por f() = 5. Se a for um número real fio não nulo, f() f(a) f() f(a) calcule. Em seguida calcule (a) 5. a a a 5. Calcule os ites abaio : (i) ; (ii) ; (use o item (i) eercício 3) Encontre em R o conjunto solução para as inequações abaio : (a) ; (b) ; (c) Seja f : A R R dada por f() = 2 +. Descreva o conjunto A. 7. a Calcule as assíntotas orizontais e verticais de f() = , b Como sabemos da definição de ite que = 7 se dado ǫ > 0 eistir δ > 0 tal que, se dist(; 2) < δ, então dist(f(), 7) < ǫ. Dado ǫ = 0 4, encontre algum δ > 0 adequado que satisfaça a definição de ite. Segundo Limite Fundamental Primeiramente vamos mostrar que se n for um número natural maior que dois entaão i=0 + n n 2 se n 2. Usando o binômio de Newton, vemos facilmente que + n n ( ) n ( ) ( i n ( ) ( 0 n ( = n i = n i n 0) n 0 + n ) n n ) + n i=2 ( ) n ( i, n i i n) 3

4 ( mas veja que n 0 n ainda note que ) ( 0 n (. ( = = ) n) n Então n 0 ) ( 0+ n ( n ) n) n = + = 2, n i=2 ( n i ) n i ( n) i > 0, pois todas as suas parcelas são positivas. Portanto, se n 2 teremos + n n 2.. Proposição Se e for o número irracional neperiano cujo valor aproimado é 2, , então + t = e = + t. t + t t t A prova desta Proposição envolve o conceito de Séries de numéricas e será omitida, mas faremos alumas observações sobre este assunto. Faça t N, (t assumir apenas números Naturais). Neste caso é fácil ver que 2. Vamos provar que + s s = e. s 0 () Fazendo t = s, teremos que s + se t 0+, então + s s = + t Prop = e. s 0 + t t Ainda teremos que s se t 0, então + s s = + t Prop = e. s 0 t t Como os ites laterais são iguais, teremos + s s = e. s 0 4

5 Sabemos da teoria de ite que dadas f,g : a,b R tais que f é uma ( função) contínua em g( 0 ) a,b e eiste g() = L R, enão f(g()) = f 0 0 g() 0 = f(l). Note que este resultado é útil para se calcular o ite abaio: ln + = ln ( + ) = ln e =. (2) 3. Proposição 2 Seja a R tal que 0 < a, então a = ln a. Prova : Fazendo t = a, teremos a = t +. Calculando Logaritmo Nepariano em ambos os membros teremos ln a = ln(t + ), então ln a = ln(t + ), portanto = ln(t + ). ln a É fácil ver que se 0 ( 0) então t 0 (t 0), Assim teremos a = t ln(t + ) ln a = ln a ln(t + ) t = ln a. ln(t + ) t ver(2) = ln a 4. Use a teoria acima e calcule os ites abaio: a b (a) a,b R tal que 0 < a,b, (c) ( Calcule Outros Eercícios. ), ( ( d) + sin(9) sin(0) (a), (b) sin(9), (c) (b) ( + n n ) n. ), (5) n ( 2n + 3 2n + ) n+5. cos 2, (d) () sin Agora, se a R, a > 0 e a, podemos calcular facilmente a derivada das funções que f() = a para todo R e g() = log a para todo > 0. 5

6 6. Denomine f () o seguinte Limite: f () = f( + ) f() = a (+) a a = a a = a a Veja que a Proposição 2 nos diz que = lna. Portanto, Denomine g () o seguinte Limite: Portanto g () = g( + ) g() f () = a.lna. ( + ) log a = log a + log + (faça s= = ) a = log a ( + ) log a = = log a + = log s (ver ()) + s = a s 0 log e a g () = lna. 6