Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 Ministrante Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha Material elaborado pela Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha

Transcrição

1 Ministrante Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha Material elaborado pela Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha SUMÁRIO 4 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO Definição Dados dois conjuntos de números reais A e B, não vazios. Uma relação f, de A em B, recebe o nome de aplicação de A em B, ou função definida em A com imagens em B, ou, simplesmente, função definida de A em B se, e somente se, para todo único B, tal que (, ) f. Em símbolos: f é função definida de A em B ( A, B / (, ) f }. A eiste um Observações: lê-se: eiste um único; 1 Em Cálculo Diferencial e Integral 1, estudaremos apenas as funções reais de uma variável real, isto é, aquelas funções que possuem apenas uma variável livre (independente) e que, tanto a variável dependente como a variável independente, assumem apenas valores reais (o conjunto universo é o conjunto dos números reais). Essas funções são regidas por uma lei matemática do tipo =f() e o gráfico é uma curva plana contida do plano cartesiano. Em Cálculo Diferencial e Integral, serão estudadas as funções reais de duas variáveis livres, regidas por leis matemáticas do tipo z=f(,) cujos gráficos são superfícies do espaço tridimensional, e, ainda, serão estudadas as funções de três ou mais variáveis livres, regidas por leis matemáticas do tipo t=f(,,z), w=f(,,z,t) etc. Em Cálculo Diferencial e Integral 3, serão estudadas as funções de variáveis compleas (o conjunto universo é o conjunto dos números compleos).

2 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 Toda função f definida de A em B é uma relação binária de A em B, isto é, f é um subconjunto de A B; Em geral, há uma sentença matemática = f() que determina para um dado A. Essa sentença matemática é denominada lei de correspondência. Notação das funções Denota-se uma função f, definida de A em B, segundo a lei de correspondência f (), por: f : A B f ( ) ou f : A B f ( ) ou, ainda, A f B f ( ) Lê-se: f é uma função que associa cada de A a um de B tal que f (). 4. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 4..1 Domínio O domínio de uma função f, definida de A em B, é o conjunto D dos elementos A para os quais eiste B, tal que (, ) f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, então D( f ) = A. Em símbolos: D( f ) = { A, B / (, ) f }. Se D( f ), diz-se que f é definida em ou, ainda, que f () eiste. A epressão f não é definida em significa que D( f ). 4.. Contra-domínio O contradomínio de uma função f, definida de A em B, é o conjunto CD dos elementos B. Assim: C D ( f ) = B Imagem A imagem de uma função f, definida de A em B, é o conjunto Im dos elementos 33

3 B para os quais eiste A tal que (, ) f. Portanto, Im B. Em símbolos: Im( f ) = { B, A / (, ) f }. Observação: Quando se trabalha com subconjuntos dos números reais, é usual a função ser caracterizada apenas pela lei de correspondência que a define, = f (). Nesse caso, o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida. No entanto, a fim de evitar confusões, é preferível usar a notação f : A R B, ainda que não se eplicite o domínio A. f ( ) 4.3 FUNÇÕES IGUAIS Duas funções f e g, tais que f está definida de A em B e g está definida de C em D, são iguais se, e somente se, A, tem-se: i) A = C (domínios iguais) ii) B = D iii) f () = g() (contradomínios iguais), (leis de correspondências iguais) Eemplos: a) As funções f : R R b) As funções h : R { } R 4 e g : R R são iguais, pois, R. 4, se. e j : R { } R são iguais, pois 4.4 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 34

4 Uma função real de uma variável real pode ser representada por um diagrama de Venn, por um gráfico, ou, ainda, na forma eplícita, implícita ou paramétrica, conforme a natureza do problema correspondente. Eemplos: a) Diagrama de Venn A f B M g N Figura 4 Funções representadas por diagramas de Venn b) Gráfico = Figura 5 Função representada por um gráfico c) Forma Eplícita 35

5 Uma função real de uma variável real está representada na forma eplícita se a variável dependente é dada em função da variável independente, ou seja, a variável dependente está isolada. Genericamente escreve-se = f(), = g(), s=h(t), = j(), etc Eemplos: (R, abaio, é R, o conjunto dos números reais) c.1) f : D R R 4 3 c.3) h: D R R t s t 5t c.) g: D R R sen c.4) j: D R R 3 4 (neste caso, a variável dependente é e a independente é ). d) Forma implícita A equação F(, ) = k define implicitamente as funções =f() ou =g() se, ao substituirmos por f() ou por g(), na equação F(, ) = k, essa equação se transforma numa identidade. Observação: Nem sempre uma equação F(, ) = k define uma função =f() ou =g(); por eemplo, em: a) Não eiste par ordenado (, ), com e reais, que satisfaça essa equação. b) 0 0. Ainda que a equação F(, ) = k admita soluções, ou seja, ainda que eistam pares ordenados (, ) de números reais que satisfaçam tal equação, por si só ela não representa como função de e nem como função de. 36

6 Eemplo: A equação + = 4 possui infinitas soluções. Ela representa uma circunferência de centro na origem e raio igual a. No entanto, + = 4 não representa como função de, pois para pertencente ao intervalo, eistem dois valores de em correspondência. Analogamente, a equação + = 4 também não representa como função de. + =4 Todavia, se tomarmos, por eemplo, [, ] e 0, a equação 4 4 representa implicitamente a função f:, R 4. f:. 37

7 De forma análoga, a equação 4 também representa implicitamente as funções: g: h: j: m: com Assim, a equação F(,) = k, quando define alguma função, pode representar implicitamente diversas funções dos tipos =f() ou =g(). Usualmente, a forma implícita é utilizada para representar uma função quando não é possível utilizar a forma eplícita =f() ou =g(). Eemplo: 3 + ln () = 0. 38

8 e) Forma paramétrica Sejam ( t) ( t) duas funções reais da mesma variável real t, com t [ a, b]. A cada valor de t correspondem dois valores e. Consequentemente, a cada valor de t corresponde um ponto P((t),(t)) do plano cartesiano O. Se as funções =(t) e =(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P((t), (t)) descreve uma curva no plano. As equações =(t) e =(t) são denominadas equações paramétricas da curva, e t é denominado parâmetro. Eemplos: a) r cos, onde r 0 e 0 θ π rad, são as equações paramétricas de uma circunferência rsen com centro na origem do sistema de coordenas cartesianas e raio igual a r. Demonstração: Como, vem: + =r r P, b) a cos, onde a 0, b 0 e 0 θ π rad, são as equações paramétricas de uma elipse bsen com centro na origem, semieio maior a e semieio menor b. Demonstração: A Toma-se um ponto P(,) qualquer sobre a elipse e ergue-se uma perpendicular ao eio, passando por P(,). N P Seja A o ponto de interseção entre essa perpendicular e a circunferência de centro na origem e 39 O A M raio igual ao semi-eio maior da elipse. Daí, tem-se:

9 c) asec btg, onde a 0, b 0 e θ 0, {, } 3, são as equações paramétricas de uma hipérbole com centro na origem, semieio real a e semieio imaginário b, com eio real sobre O. Demonstração: Toma-se um ponto P(,) qualquer sobre a B P(,) hipérbole. Quando percorre o intervalo é descrito o ramo direito da hipérbole ( ) e quando percorre o intervalo é descrito o ramo esquerdo da hipérbole ( ). A 1 A O Como a equação canônica da hipérbole com B 1 centro na origem é dada por e fazer: (relação trigonométrica), pode-se Semi-eio real: Semi-eio imaginário: paramétricas., de onde se tem as equações 40

10 a No caso da hipérbole ter o eio real sobre O, sua equação canônica é dada por 1, de onde vêm suas equações paramétricas b btgθ. asec θ d) a( sen ), onde a 0 a(1 cos ), são as equações paramétricas de uma ciclóide. Uma ciclóide é o lugar geométrico descrito por um ponto fio da circunferência de um círculo que roda sem deslizar sobre uma reta fia. Demonstração: Seja CB = CM =a o raio do círculo rolante de centro em C, P(, ) um ponto fio da circunferência e M o ponto de contato do círculo com a reta fia O, denominada base. esquerda. Se o arco PM for igual ao comprimento de OM, então P tocará O se o círculo roda para a Seja o ângulo PCM. Daí, vem: =ON=OM NM= a - a sen = a (1-sen ) =NP=MC-AC= a - a cos = a (1-cos ). Logo, as equações paramétricas da ciclóide são a(1 sen ). a(1 cos ) O ponto V é denominado vértice. O P N B C A M O V a a 41

11 4.5 CLASSIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL FUNÇÃO INJETORA, FUNÇÃO SOBREJETORA E FUNÇÃO BIJETORA Função Injetora Definição: Uma função f, de A em B, dada por função f : A B é injetora se, e somente se, f ( ) Eemplo: D( f ), 1 f ( 1 ) f ( ) ou f ( 1 ) f ( ) 1. A f B Função Sobrejetora Definição: Uma função f, de A em B, é sobrejetora se, para todo A, tal que =f(); ou seja, uma função é sobrejetora se Im (f) = B. Em símbolos: B eiste um elemento 4

12 Seja a função f : Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 B. f é sobrejetora B, A/ f ( ) A f ( ) Eemplo: A f B Função Bijetora Definição: Uma função f é bijetora se for injetora e sobrejetora, simultaneamente; ou seja, para todo B eiste um único A, tal que =f(). Em símbolos: Seja a função f : A B. f é bijetora B, A/ f ( ) f ( ) Eemplo: A f B Observação: Eistem funções que não são sobrejetoras nem injetoras. E.: f : R R 4.5. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR 43

13 Função Par Definição: Uma função f é par se, para todo no domínio de f, tem-se f() = f(). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio dos. Eemplos: f()=f(-) =cos Função Ímpar Definição: Uma função f é ímpar se, para todo no domínio de f, tem-se f() = f(). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Eemplos: f() =sen - f(-) 44

14 4.5.3 FUNÇÃO PERIÓDICA Uma função f é periódica se eiste um número real T > 0 tal que f( + T) = f(), para todo D( f ). O menor número real positivo de T é chamado período da função f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T. Eemplos: =tg 4.6 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Definição: Dadas as funções reais de uma variável real f e g, sua soma f + g, diferença f g, produto f.g e quociente f/g, são definidos por: i) (f+g)() = f() + g() ii) (f g)() = f() g() iii) (f.g)() = f().g() iv) ( f g )( ) f ( ) g( ) O domínio das funções f + g, f g e f.g é a intersecção dos domínios de f e g. 45

15 O domínio de f/g é a intersecção dos domínios de f e g, ecluindo-se os pontos onde g() = 0. Eemplos: a) f : D R R Como D( 1 ) = R, D( ) =R+ e R R R, então D( Portanto, a função f fica assim definida: f : R R ) = R b) g: D R R. e Como D( ) = R, D( e ) =R e R R R, então D( = 1 Portanto, a função g fica assim definida: g: R R. e c) h: D R R sen 1 Como D( 1 sen ) = R, D( ) = R* * e R R * R* *, então sen 1 * D( sen. ) = R R {0}. Portanto, a função h fica assim definida: h: R {0} R. sen..e )= R 4.6. PRODUTO DE UMA FUNÇÃO POR UM ESCALAR Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por (kf)() = kf(). O domínio de kf coincide com o domínio de f. Eemplo: Seja a função f: D R R 3ln( ) Como D( ln( ) ) = (, ), então D( 3ln( ) ) = (, ) 1 Portanto, a função f fica assim definida: 46

16 f: (, ) R 3ln( ) COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g 0 f, é definida por (g 0 f)() = g(f()) O símbolo g 0 f lê-se: g composta com f ou g bola f. O domínio de g 0 f é o conjunto de todos os pontos no domínio de f tais que f() está no domínio de g. Em símbolos: D(g 0 f ) = { D( f ) / f ( ) D( g)} Em diagrama, tem-se: f f() g g 0 f g(f()) Eemplo: * Sejam as funções f: [ 3, ) R e g: R R 3 ln Determine o domínio e a lei de composição das funções g 0 f e f 0 g. Solução: a) g 0 f = g(f()). Lei de composição: f g 0 f g 47

17 O domínio de g 0 f será dado por: g=ln? g 0 f = Como f(-3)=0 e zero não pertence ao domínio de g()=ln(), então o domínio de g 0 f é ( 3, ), pois nesse intervalo as imagens f() pertencem ao intervalo ( 0, ) que é igual ao domínio da função g. Em diagrama, vem: g=ln R g 0 f = Verificação: g 0 f = ln b) f 0 g = f(g()). Lei de composição: g ln f f 0 g O domínio de f 0 g será dado por:? 48 f 0 g =

18 Eiste um intervalo (0 < < e -3 ) pertencente ao domínio de g que fornece imagens g() < 3. Esse intervalo deve ser retirado do domínio de g para que possa eistir a função real f 0 g. Após a retirada desse intervalo, a imagem de g será maior ou igual a 3 que é igual ao domínio da função f. Em diagrama, vem: R + f 0 g = Verificação: f 0 g = ln 3 ln 3 0 ln 3 e INVERSÃO DE FUNÇÕES Função inversa Seja a função real f : A B. Se f for uma função bijetora, então podemos f ( ) definir uma função g: B A g( ) f 1. A função g, definida dessa maneira, é chamada função inversa de f, e denotada por 49

19 Caso uma função f não seja bijetora, pode-se restringir o seu domínio a um intervalo, de modo que, naquele intervalo, f seja bijetora e, portanto, admita inversa. Os gráficos de uma função f: A B f ( ) e da sua inversa g= f 1 : B A g( ) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Isso porque a composição g(f()) =. Veja: B A f =f() g A g 0 f g(f())=g()= Eemplo: Defina a função = no maior intervalo real, tal que ela admita função inversa. Dê o domínio, o contradomínio e a fórmula da função inversa. Esboce o gráfico da função dada e da sua inversa. Solução: A função = não é bijetora em seu todo seu dominio, dado por D()=R. No entanto, se restringirmos a função aos intervalos ou ela será bijetora, e, portanto, admitirá função inversa. A lei matemática que define a função inversa é dada por: = Daí, vem: (3 ) 4 4(1 ) a) Se f: [, ) [ 1, ), então f g :[ 1, ) [, ) b) Se f: (,] [ 1, ), então f h :[ 1, ) (,]

20 Gráficos de f e de f -1 : =g() =f() =f() =h() Gráficos auiliares: Observação: O gráfico de 1, onde é o eio das ordenadas (variável dependente) e é o eio das abscissas (variável independente), é equivalente ao gráfico de 4 3 ; basta elevar ambos os membros ao quadrado e isolar. 51

21 No entanto, na equação Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula , obtida de 1, continua sendo a variável dependente e continua sendo a variável independente. Como, em Matemática, usualmente representamos a variável independente no eio horizontal e a denominamos por, bem como representamos a variável dependente no eio vertical e a denominamos de, então o gráfico de 1 é equivalente ao gráfico de = Veja: 4.7 GRÁFICO DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Definição e Representação no Plano Cartesiano Definição: O gráfico de uma função real de uma variável real f é o conjunto de todos os pontos (, f () ) do plano cartesiano, onde D( f ). Em símbolos, tem-se: Graf ( f ) {(, ) R / f ( )}. Em geral, utiliza-se uma representação geométrica para descrever o gráfico de uma função. Quando se trata de uma função real de uma variável real essa representação geométrica é uma curva plana. Eemplo: 5

22 Seja a função real dada por f : do R que assumem a forma (, ). Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 R R. O gráfico de f são todos os pontos f ( ) Geometricamente, tem-se: = No eio horizontal ou eio das abscissas, são representados os valores da variável independente, não importando a denominação que tal variável recebe, se ou. Analogamente, no eio vertical ou eio das ordenadas, são representados os valores da variável dependente, não importando a denominação que tal variável recebe ( ou ). Eemplos: a) f : R R f ( ) sen Neste caso, é dado em função de. Logo, é a variável independente e seus valores são representados no eio das abscissas (horizontal). Consequentemente, é a variável dependente e seus valores são representados no eio das ordenadas (vertical). A variável independente pode assumir qualquer valor real. No entanto, para facilitar o esboço do gráfico, os valores de são tomados em intervalos de π radianos. 53

23 O (rad) Observações: 1 radiano é o arco de medida igual ao raio da circunferência. Numa circunferência, cabem π rad 6, 8 arcos de comprimento igual ao raio da circunferência. Quando o ângulo é dado em radianos, não é necessário indicar a unidade. E.: θ 5radθ 5, π π tg( rad) tg, sen (1 rad) = sen Ao usar a calculadora, certifique-se de que ela esteja no modo radiano, caso os ângulos sejam dados em radianos. A função real definida por sen não tem sentido se for medido em graus. Para as funções trigonométricas circulares, os ângulos são medidos em radianos, que são números reais, a fim de que seja possível localizá-los na reta real. b) g : R R g( ) 3 Neste caso, é dado em função de. Logo, é a variável independente e seus valores são representados no eio das abscissas (horizontal). Consequentemente, é a variável dependente e seus valores são representados no eio das ordenadas (vertical). Observação: Os eios e não foram rotacionados de sua posição tradicional. Apenas, foram permutados. 54

24 * c) h : R R 1 h( ) Neste caso, como não pode assumir o valor zero, é necessário estudar a vizinhança de 0, a fim de perceber o comportamento de. No eio, representando 0 por 0 + (lê-se: zero pela direita) e 0 por 0 (lêse: zero pela esquerda), onde 0 é o raio da vizinhança de =0, tem-se o seguinte esboço: (lê-se: se tende a zero pela direita, então tende a infinito positivo) ( 0 ) (lê-se: se tende a zero pela esquerda, então tende a Para representar geometricamente o gráfico da função h, é preciso analisar, ainda, o comportamento de quando cresce ou decresce infinitamente. Assim, no eio, representando, 0 por 0 + e 0 por 0, onde 0 é o raio da vizinhança de =0, pois também não assume o valor zero, tem-se o seguinte esboço: (lê-se: se tende a infinito positivo, então tende a zero pela direita) 0 (lê-se: se tende a infinito negativo, então tende a 55

25 Reunindo todas essas informações, num mesmo plano cartesiano, obtém-se o comportamento geral da função h por meio da representação geométrica de seu gráfico; assim: d) j : R { 3, 3 } R j( ) 1 3 e 3 Neste caso, primeiramente, no plano cartesiano, esboça-se as retas verticais 3, de forma tracejada, pois não pode assumir esses valores. No entanto, é necessário estudar a vizinhança de 3 e de 3 a fim de perceber o comportamento de. É preciso analisar, ainda, o comportamento de quando cresce ou decresce infinitamente. Assim, vem: ( ) 0 ( ) 56

26 e) m: R {} R m( ) Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Aqui, deve-se trabalhar com o conceito de funções iguais. A função m é igual a função n : R { } R. Logo, o gráfico de m é dado por: 4 1 Alguns gráficos de funções mais complicadas são esboçados geometricamente mediante o estudo do sinal da primeira e da segunda derivadas da função dada Sinais e Zeros de uma Função A observação da representação geométrica do gráfico de uma função possibilita identificarse os pontos do domínio nos quais a função é positiva, negativa ou nula. Uma função f : A B é positiva se a variável dependente assume valores reais f ( ) maiores que zero. Nesse caso, o gráfico encontra-se acima do eio das abscissas. Por sua vez, f é negativa se a variável dependente assume valores reais menores que zero, ou seja, o gráfico encontra-se abaio do eio das abscissas. Nos pontos em que a função f é nula, ou seja, a variável dependente é igual a zero, o gráfico de f intercepta o eio das abscissas. Os valores (ou o valor) da variável independente que tornam a variável dependente igual a zero são denominados zeros da função. 57

27 Eemplo: Nesse eemplo, os zeros da função são = -, = 0 e = 1, pois tornam =0. A função é positiva nos intervalos - < < 0 ou > 1, pois neles > 0. A função é negativa nos intervalos <- ou 0 < <1, pois neles < Intervalos de Crescimento e de Decrescimento de uma Função Função crescente: Uma função f : R R f ( ) é denominada função crescente num intervalo aberto (a,b) do domínio de f quando D, f ( ) f ( ). 1, 1 1 Função decrescente: 58

28 Uma função f Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 : R R é denominada função decrescente num intervalo (a,b) do f ( ) domínio de f quando D, f ( ) f ( ). 1, 1 1 Função constante: Uma função f : D R do domínio de f quando R é denominada função constante num intervalo (a,b) f ( ) k, D, 1 f ( 1 ) f ( ) k, com k R 1. Função não-decrescente: Uma função f : D R R é denominada função não-decrescente num intervalo f ( ) (a,b) do domínio de f quando D, f ( ) f ( ). 1, 1 1 Função não-crescente: Uma função f : D R do domínio de f quando D, f ( ) f ( ). R é denominada função não-crescente num intervalo (a,b) f ( ) 1, 1 1 Função monótona: Uma função f : D R R é denominada função monótona quando é somente f ( ) crescente ou somente decrescente no intervalo considerado. Alguns autores, para classificar uma função f em crescente ou em decrescente, consideram um intervalo fechado [a,b] do domínio de f, enquanto outros consideram o intervalo aberto e outros, ainda, nada dizem a respeito. Aqui, serão considerados os intervalos de crescimento ou de decrescimento de f como intervalos abertos do tipo (a,b), uma vez que, no tópico sobre derivada, a função será 59

29 crescente se a derivada primeira eistir e for positiva (f ()>0), bem como será decrescente se eistir e for negativa (f ()<0). Para a derivada primeira eistir num ponto 0, em tal ponto as derivadas laterais devem ser iguais, pois o conceito de derivada de uma função real de variável real envolve f ( 0 ) f ( 0 ) um limite bilateral ( f ( 0 ) lim ). 0. De acordo com essa definição, caso a função esteja definida num intervalo fechado [a, b], não tem sentido falar então em crescimento ou decrescimento nos pontos etremos =a ou =b. Por também ser adotado em muitas definições posteriores, relativas ao tópico sobre derivadas, que uma função será derivável num intervalo aberto (a,b), preferiu-se, aqui, considerar o crescimento e o decrescimento da função num intervalo aberto. No entanto, eistem autores que definem função diferenciável num intervalo fechado, baseados na eistência das derivadas laterais nos pontos etremos do intervalo [a, b]; por eemplo ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. V 1. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 000, p Eemplo sobre os intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função: Classifique a função dada pelo gráfico abaio de acordo com seu crescimento ou decrescimento: 60

30 Solução: Nesse eemplo, a função é: Crescente no intervalo < 1; decrescente no intervalo > ; constante no intervalo 1<<; não-decrescente no intervalo <; não-crescente no intervalo > Etremos Relativos e Etremos Absolutos de uma Função Máimo local ou relativo: Uma função real f : D R possui um máimo local ou máimo relativo no ponto f ( ) a D quando eiste um 0 tal que ( a, a ) D f ( ) f ( a). Essa definição diz que para a pertencente ao domínio de f deve eistir uma vizinhança de a, de raio, tal que para todo pertencente à interseção entre o domínio e a vizinhança, a imagem f () é menor ou igual à imagem de f no ponto a. Eemplo: f(a) f() =f() ( a ) Máimo relativo: = f(a) 61 Ponto de máimo relativo: = a

31 Mínimo local ou relativo: Uma função real f : D R possui um mínimo local ou mínimo relativo no ponto f ( ) a D quando eiste um 0 tal que ( a, a ) D f ( ) f ( a). Eemplo: =f() ( a ) f() f(a) Mínimo relativo: = f(a) Ponto de mínimo relativo: = a Máimo absoluto: Uma função real f : D R possui um máimo absoluto no ponto f ( ) a D quando D f ( ) f ( a). Mínimo absoluto: Uma função real f : D R possui um mínimo absoluto no ponto f ( ) a D quando D f ( ) f ( a). 6

32 Eemplo: A função f :[ π, π] R tem um máimo absoluto em =1, pois nenhum f ( ) sen outro ponto do domínio de f tem imagem maior que essa. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em = -1, pois nenhum outro ponto do domínio de f tem imagem menor que essa. Máimo absoluto: = 1 Ponto de máimo absoluto: = =sen (rad) Mínimo absoluto: = -1 Ponto de mínimo absoluto: = Função Limitada Seja X R. Dizer que uma função f é limitada em X significa que eistem m R e M R, tais que m f ( ) M, para todo X, ou seja, f () [ m, M ]. O menor desses intervalos contendo todos os valores f () é dado por m =inf f e M=sup f, onde inf f é o ínfimo de f e sup f é o supremo de f. 63

33 Eemplos: Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 03 1 =1 =-1 A função f : R R f ( ) cos( ) 3 R, f ( ) 1,1. Neste caso, inf f = -1 e sup f = 1. é limitada em todo seu domínio, pois A função g : R {0} 1 [ 1,4], g( ), R g( ) 1 é limitada; por eemplo, no intervalo [1,4], pois Nesse caso, inf 1,4] g [ 1 16 e sup [ 1,4] g 1. No entanto, no intervalo (0, ], a função g 1 1 não é limitada, pois ( 0,], g( ) [, ). Aqui, inf ( 0,] g e, ainda, sup (0,] g 4 4 não eiste. Mesmo que não se tenha o gráfico da função h : R R h( ) classificá-la em limitada em todo seu domínio, pois R, h( ) 0,1 sen 0 sen 1, 1 1 e, consequentemente, sen 1, é possível, uma vez que 64

34 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 04 Ministrante Profª. Drª. Luciana Schreiner de Oliveira Bibliografia: Demana; Waits; Fole; Kenned. Pré-Cálculo. Editora Pearson. São Paulo, 009.

35 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 66

36 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 67

37 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 68

38 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 69

39 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 70

40 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 71

41 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 7

42 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 73

43 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 74

44 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 75

45 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 APÊNDICE Translação e Refleão de Gráfico Translação vertical Se uma constante real k for somada a cada valor da função real definida por =f(), o gráfico de =f(), denominado gráfico básico, fica transladado verticalmente. Se k>0 o gráfico sobe, e se k<0 o gráfico desce em relação a sua posição básica. Eemplos: = = + =+3 = = - 4 = - 3 Gráfico básico: = Gráfico básico: = Translação horizontal Se uma constante real k for somada a cada valor da função real definida por =f(), o gráfico básico fica transladado horizontalmente. Se k>0 o gráfico descola-se para à esquerda, e se k<0 o gráfico desloca-se para a direita, em relação a sua posição básica. Eemplos: = = 3 =(-1) 3 =(+3) =(+) 3 =(-) 76

46 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 Refleão Se uma função real definida por =f() for multiplicada por uma constante real k, então cada valor da função fica multiplicado por essa constante. Se k<0, os gráficos = kf() e = k f() são denominados refleões de cada um deles em relação ao eio. Eemplos: = = - Gráfico básico: Gráfico básico: = Ao esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real, deve-se estar atento ao gráfico da função básica. Se o gráfico da função básica for conhecido, então aplicando uma translação ou refleão, o trabalho de esboço do gráfico pretendido pode ser bastante facilitado. Eemplos: Esboce o gráfico das funções reais regidas pelas seguintes leis matemáticas: a) = + 3 = = =+3 Gráfico básico 77

47 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 b) = = =- =- Gráfico básico 78

48 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 0 GABARITO: Ver Bibliografia: Demana; Waits; Fole; Kenned. Pré-Cálculo. Editora Pearson. São Paulo, 009. P