Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral

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1 Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Volume I Fábio Henrique de Carvalho

2 Copright c 03 Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco Univasf) Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico incluindo fotocopia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem previa autorização, por escrito dos autores. Editoração Eletrônica: Pedro Henrique Araújo Sobral e Thiago Bonfim Primeira impressão, abril de 03. R938v Fábio Henrique de Carvalho Juazeiro, Univasf. 03 Inclui bibliografia ISBN Calculo Diferencial e Integral.. Algebra Linear. 3. Calculo Numerico. 4. Geometria Analitica

3 Sumário O Limite de uma Função. Introdução Eercícios Definição de Limite Limites Laterais Eercícios Propriedades Operatórias dos Limites Eercícios Limites Infinitos Eercícios Limites no Infinito Eercícios O Teorema do Confronto Eercícios Continuidade Eercícios Eercícios Complementares iii

4

5 O Limite de uma Função. Introdução Considere a função racional f) = Sabemos que f está definida para todo R,. Porém, é possível estabelecer o que ocorre com as imagens de valores de tão próimos de quanto desejarmos. Para tanto, há duas escolhas: i) a primeira, mais rudimentar, é considerar uma sequência ou duas) de valores de próimos a e determinar as imagens de tais valores. Tanto para <, quanto para >, observa-se que as imagens f) se aproimam de 3. Através de uma lista mais abrangente de valores próimos de, nosso palpite de que as imagens se aproimam de 3 pode ser emitido com maior convicção; porém, isso não caracterizaria uma prova matemática. ii) a segunda, mais precisa e eficaz neste caso, é observar que para todo tem-se = ) 4) = 4; e, portanto, para valores de próimos de sejam eles maiores ou menores que ), f) se aproima de 3. Obviamente, neste eemplo, não convém falar em imagem de por f, já que f nem mesmo está definida para =. No entanto, o número 3 nos diz muito a respeito do comportamento da função f em torno f f) 0, 9 3, 0, 99 3, 0 0, 999 3, 00 0, , 000..? f),, 9, 0, 99, 00, 999, 000, ?

6 . O Limite de uma Função da abcissa, para a qual f não está definida. Diremos que 3 é o ite de f quando tende a e abordaremos tal noção num sentido mais formal na seção posterior. Eemplo.. A função salto unitário) { 0, se 0 Considere a função f) =, se > 0. Obviamente, se se aproima de 0 por valores menores que 0 o ite é 0 e este é igual a f0)). Por outro lado, se se se aproima de 0 por valores maiores que 0 o ite é e, portanto, diferente de f0) = 0). Eemplo.. Considere a função f) = 4, definida para todo R, ±4. Para valores de próimos de 4 mas diferentes de 4) podemos escrever + 4 = 4 4 = + 4) + ) = + e, portanto, quando se aproima de 4 o ite é 4. 4, 4 ) Eemplo..3 Considere a função f) = 3 +, + 3 definida para todo R tal que e 3 /. É fácil observar que 3 + = ) ) e + 3 = ) + 3). Portanto, para valores de próimos de e diferentes de e também de 3 /) podemos escrever f) = de novembro de 03

7 .. Eercícios 3 Logo, enquanto se torna cada vez mais próimo de, f) se aproima de 5 5 =. 3 Eemplo..4 A função maior inteiro) Aqui, e em todo o restante do teto, representará o maior inteiro menor do que ou igual a. Assim, se z é um inteiro, z = z; se r R é um não inteiro r é um número inteiro imediatamente menor que r. O gráfico da função f) =, também chamada função escada, é uma sequência infinita de degraus de comprimento e altura unitários, representados abaio. 0 3 Evidentemente, se r / Z, o ite de f quando se aproima de r é r. No entanto, se z Z, f) tende a z quando se aproima de z e < z e, por outro lado, fz) tende a z quando se aproima de z e > z. Portanto, o ite de f quando se aproima de z não pode eistir.. Eercícios.. Com o auílio de uma tabela de valores, faça uma estimativa do ite de f) quando tende a c. a) f) = + 6 c =, 9, 99, 999, 00, 0, f) b) f) = 3 9 c = 3, 9, 99, 999 3, 00 3, 0 3, f) 0 de novembro de 03

8 4. O Limite de uma Função c) f) = c = 0 0, 0, 0 0, 00 0, 00 0, 0 0, f) d) f) = c = 3 3, 3, 0 3, 00, 999, 99, 9 f) e) f) = +) 7 3 c = 3, 9, 99, 999 3, 00 3, 0 3, f) f) f) = +) 5 4 c =, 9, 99, 999 3, 00 3, 0 3, f).. Utilize mecanismos de manipulação algébrica redução ao mesmo denominador, fatoração, racionalização, por eemplo) a fim de calcular o valor eato de cada um dos ites do eercício anterior...3 Esboce o gráfico de f e identifique possíveis valores de c para os quais o ite de f quando tende a c não eiste. +, i) f) = 3 +, < < 3 6, 3 sen, < 0 ii) g) = cos, 0 π cos, > π iii) h) = iv) ) {, < ou >, { 0, < 0, 0 v) =, [, ].3 Definição de Limite Definição.3. Seja f uma função definida na vizinhança aberta de um certo número real c f não necessariamente está definida na abcissa c). Para que f tenha ite L quando tende a c é necessário e suficiente que, para todo número real ɛ > 0 ɛ é tomado arbitrariamente pequeno), eista δ > 0, tal que as imagens dos elementos do conjunto c δ, c) c, c + δ) pela função f pertençam ao intervalo L ɛ, L + ɛ). Em outras palavras, f tem ite L para se aproimando de c quando valores arbitrariamente próimos de c por uma diferença menor que δ) tem imagens arbitrariamente próimas de L por uma diferença menor que ɛ). Graficamente: 0 de novembro de 03

9 .3. Definição de Limite 5 f L + ɛ L L ɛ c δ c c + δ Em notação matemática, o ite de f é L, quando tende a c, se ɛ > 0, δ > 0 tal que c δ, c + δ), c, implica f) L ɛ, L + ɛ). Quando tal número real L eiste, escrevemos f) = L, ou ainda f) L. c c Eemplo.3. Limite da Função Constante) Considere k R uma constante. O gráfico da função f) = k é uma reta horizontal abaio representamos o gráfico para k > 0 para efeito de ilustração). 0,k) c,k) f)=k c Temos que o ite de f quando tende a c é, obviamente k. De fato, tomando arbitrariamente ɛ > 0, é fácil ver que para qualquer δ > 0 escolhido em particular, para δ = ) as imagens dos elementos do intervalo c δ, c + δ) pertencem ao intervalo k ɛ, k + ɛ) na verdade, são todas iguais a k). Eemplo.3. Limite da Função Identidade) Considere a função f) =, R. Tomando c R temos que o ite de f quando tende a c é igual a c. f)= c c,c) c 0 de novembro de 03

10 6. O Limite de uma Função De fato, dado ɛ > 0, para que f) c ɛ, c + ɛ), isto é, c ɛ < f) < c + ɛ basta que c ɛ < < c + ɛ. E, portanto, se escolhermos δ = ɛ segue que c δ, c + δ) implica f) c ɛ, c + ɛ). Eemplo.3.3 e que 3 = 9. De fato, considere ɛ > 0. Queremos mostrar que eiste δ > 0 tal que Observe que δ < 3 < δ ɛ < 9 < ɛ. 9 = 3) + 3) δ < 3 < δ 6 δ < + 3 < 6 + δ. Assim, se considerarmos δ temos 5 < + 3 < 7 e podemos escrever + 3 < 7. Agora, 9 < ɛ 3) + 3) < ɛ < ɛ. Logo, dado ɛ se escolhermos δ < min {, ɛ /7} segue δ < 3 < δ + 3 < 7 e 9 = 7 3 < 7 δ < ɛ. f) = 3,9) 3 = 9 Eemplo.3.4 Considere a função f) = 3 Dado ɛ > 0, em torno de c =. O ite de f quando tende a é. ɛ < 3 < + ɛ ɛ < 3 < + ɛ ɛ < < + ɛ. Assim, tomando por eemplo δ = ɛ segue para δ, + δ), f) ɛ, + ɛ). 0 de novembro de 03

11 .4. Limites Laterais 7 f)= 3, ) 3 =.4 Limites Laterais Quando houver necessidade, podemos avaliar o ite de f quando tende a c apenas para valores de maiores ou menores que c). Neste caso, estaremos avaliando o ite lateral pela direita ou pela esquerda) de f quando tende a c. Definição.4. Seja f uma função. O ite de f quando tende a c pela direita é L no caso em que, para todo ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que c, c + δ) implica f) L ɛ, L + ɛ). Quando tal número L eiste, escrevemos f) = L ou f) c+ L. c + Analogamente, o ite de f quando tende a c pela esquerda é M no caso em que, para todo ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que c δ, c) implica f) M ɛ, M + ɛ). Quando tal número M eiste, escrevemos f) = M ou f) c M. c Obviamente, c + significa que c e > c; e c significa que c e < c. Eemplo.4. Para a função f) = Obviamente, não eiste 0 f)). Eemplo.4. { 0, se 0, se > 0 temos 0 0 f) = 0 e f) =. + A função f) = está definida apenas para. Portanto, só faz sentido em R) avaliar ites bem como imagens) para f neste intervalo. Em c = temos + = 0 Verifique!) mas não faz sentido avaliar o ite pela esquerda. 0 de novembro de 03

12 8. O Limite de uma Função Eemplo = 3 3 = 6. 3, 6 ) 3 Eemplo.4.4 Considere f) = Temos { +, se 0, se < f) = e f) =. + Um fato importante e útil: Teorema.4.. Seja f uma função e seja c R. Então, c A justificativa fica como eercício)..5 Eercícios.5. Ache: f) = L c c f) = f) = L. + a) c) 3 e) ) 5) + + b) d) 3 f) t 3 t 9 t 3 0 de novembro de 03

13 g) 3h h + 3 h) h 0 7h i) j) k) l) m) 3 4 n) o) p) q) r) s) t) + ) ) Dê uma justificativa para o Teorema Verifique que não eiste o ite de f quando tende a c nos casos: { +, a) f) =, c) f) = + 4, > b) f) = 0, < < c =, c = e c = { 0, 0, > 0 c = 0.6 Propriedades Operatórias dos Limites Nas seções anteriores observamos que é imediata a obtenção de ites tais como k = k e = c. c c À partir disso é possível, por eemplo, afirmar que L = c ) = c 3 c + 5c + em particular, para c =, temos L = 5), através das seguintes propriedades: Teorema.6.. Sejam c, k, L e M números reais e sejam f e g funções reais. Suponha f ) = L e c g ) = M, temos c i) c kf ) = kl. ii) c [f ) ± g )] = L ± M. iii) c f ) g ) = LM. f ) iv) c g ) = L M Demonstração : desde que M 0). i) Será deiada como eercício. ii) Seja ɛ > 0. Como c f ) = L e c g ) = M eistem δ, δ > 0 tais que c δ < < c + δ L ɛ < f ) < L + ɛ.6.) e c δ < < c + δ M ɛ < g ) < M + ɛ..6.)

14 0. O Limite de uma Função Considere δ = min {δ, δ }, assim valem simultaneamente as duas desigualdades para f ) e g ). Logo, somando membro a membro, temos Agora, observando que tem-se, somando à desigualdade em.6.), Portanto, L + M) ɛ < f ) + g ) < L + M) + ɛ. M ɛ < g ) < M + ɛ L M) ɛ < f ) g ) < L M) + ɛ. [f ) ± g )] = L ± M. c iii) Provemos inicialmente que, se h ) = 0 então [f ) h )] = 0 por hipótese, f ) = L). c c c De fato, seja 0 < ɛ <. Eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ implica f ) L <. Mas, f ) L < f ) L < ɛ <. Logo, Por outro lado, eiste δ > 0 tal que c < δ implica f ) < + L..6.3) h ) < ɛ + L..6.4) Portanto, tomando δ = min {δ, δ } valem ambas as desigualdades.6.3) e.6.4) e 0 < c < δ implica ɛ f ) h ) = f ) h ) < + L ) + L = ɛ. Agora, se f ) = L e g ) = M, podemos verificar imediatamente pela propriedade ii) que c c a função f ) g ) = [f ) L] M + f ) [g ) M] + LM tende a LM quando tende c. iv) Primeiramente mostraremos que, se g ) = M e M 0 então c c g ) = M. Seja 0 < ɛ < M. Eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ implica e Logo, Da igualdade g ) M < ɛ M g ) > g ) M = M g ) Mg ) M M = g ) M M g ) M M ) Justifique!) < ɛ M M M M M M [ f ) g ) = [f ) L] M + f ) g ) ] + L M M conclui-se, de modo análogo ao caso anterior, a validade de iv). = ɛ. Eemplo.6. Sabemos das seções anteriores que c = c. Portanto i) c a = a c = a c, a R; 0 de novembro de 03

15 .7. Eercícios ) ) ii) = [ ] = = c c = c ; c c c c iii) 3 4 ) = 3 4 = 3 ) 4 ) =. Evidentemente, utilizando a associatividade na adição e na multiplicação em R, podemos estender os itens ii) e iii) do Teorema.6. a mais que duas parcelas e fatores. De fato, por eemplo, se f, f,..., f n são funções reais tais que então f ) = L, f ) = L,..., f n ) = L n, c c c [f ) f ) f 3 ) f n )] = f ) [f ) f 3 ) f n )] c c c onde em cada uma das igualdades foi aplicado o Teorema.6.. Eemplo.6. Assim Da observação acima segue que c n = c n, n N. = L f ) [f 3 ) f n )] c c = = L L L 3 L n, 4 ) =, ) 3 = 0 e 0 + = 0..7 Eercícios.7. Sejam f, g, h funções tais que f ) = 5, 3 g ) = 4 e h ) = Determine: a) 3 [3f ) 4g ) + 5] b) 3 [3f ) 5) h ) + )] c) 3 f ) + g ) h ) d) 3 [f )] [g )] [h )] e) 3 f ) [g ) h ) + ] 6 f) 3 f ) 3g ) f ) 4h ).7. Mostre que se a e b são constantes arbitrárias, então a + b) = ac + b. c Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular: a) 3) b) 4 /4 c) 5 4) d) ) e) f) / ) ) / 0 de novembro de 03

16 . O Limite de uma Função.7.3 Mostre que se m, n e p são constantes arbitrárias então m + n + p ) = mc + nc + p. c Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular: a) + 5 ) b) ) c) 3 + ) d) 4 8 ) e) f) + + ) / + + ) /.7.4 Utilize que n = n c, para todo c 0 e n N, n a fim de calcular: c ) ) ) a) d) g) 4 4 b) c) 9 + ) ) e) 4 f) h) 5 i) Limites Infinitos Muito embora tenhamos definido o ite de uma função como um número real nas seções anteriores, em muitos casos na maior parte das vezes em uma abcissa fora do domínio), o comportamento da função é iitadamente crescente ou iitadamente decrescente. Se faz necessário então estender o conceito de ite de uma função. O faremos introduzindo os símbolos + ou ) lê-se mais infinito ), e lê-se menos infinito ). Definição.8. Seja f uma função definida em a, c) c, b). i) Dizemos que o ite de f é + quando tende a c no caso em que, para todo número real M > 0 eistir δ > 0 tal que 0 < c < δ implique f ) > M. Notação: f ) = +. c ii) Dizemos que o ite de f é quando tende a c no caso em que, para todo o número real M > 0 eistir δ > 0 tal que 0 < c < δ implique f ) < M. Notação: f ) =. c Em outras palavras, f ) = + quando f ) torna-se tão suficientemente grande quanto desejarmos ecedendo qualquer cota positiva M, fiada arbitrariamente) à medida que se aproima c suficientemente de c. Por outro lado, f ) = quando f ) torna-se tão suficientemente pequeno grande em valor absoluto) quanto desejarmos, à medida que se aproima de c c. Eemplo.8. 0 de novembro de 03

17 .8. Limites Infinitos 3 A função f ) = não está definida em = 0. Observe que dado qualquer M > 0 é possível escolher δ > 0 tal que 0 < < δ f ) > M. De fato, fiado M > 0, para que > M basta que < M M < < M. Portanto podemos tomar δ = M e garantimos que < δ f ) > M. Da arbitrariedade de M segue 0 f ) = +. Analogamente ao caso acima, mostra-se sem muita dificuldade que 0 =. De fato, se k é uma constante real não nula e c f ) = ±, então kf ) = k f ). c c Do mesmo modo que fizemos anteriormente, podemos definir os ites laterais infinitos, como segue: Definição.8. Seja f uma função definida em a, c) c, b). i) O ite de f é + quando tende a c pela esquerda no caso em que, para todo M > 0 eistir δ > 0 tal que c δ < < c implica f ) > M. ii) O ite de f é + quando tende a c pela direita no caso em que, para todo M > 0 eistir δ > 0 tal que c < < c + δ implica f ) > M. No primeiro caso, denotamos f ) = + e, no segundo, f ) = +. c c + Trocando f ) > M por f ) < M nas definições acima é possível definir também Eemplo.8. c c f ) = e f ) =. + A função f ) = não está definida em =. Observe que, dado M > 0, tomando δ = M, se δ < < δ < < 0) então f ) < M; e se < < + δ 0 < < δ) então f ) > M. Portanto, f ) = e f ) = de novembro de 03

18 4. O Limite de uma Função A fim de estabelecer um paralelo com as propriedades operatórias dos ites finitos, propomos o seguinte teorema. Teorema.8.. Considere c, L R, L 0, e sejam f e g funções tais que f ) = + e g ) = L. c c Então: i) c [f ) ± g )] = + ; ii) c [g ) f )] = ; iii) c [f ) g )] = + quando L > 0 e c [f ) g )] = quando L < 0; f ) iv) = + quando L > 0 e c g ) v) c g ) f ) = 0. f ) = quando L < 0; c g ) As propriedades acima podem ser estabelecidas de modo semelhante para ites laterais e também para o caso c f ) = fazendo-se as mudanças convenientes de sinais). Demonstração : i) Suponhamos L > 0 e seja M > 0. Eistem δ > 0 tal que 0 < c < δ implica f ) > M + e δ > 0 tal que 0 < c < δ implica g ) L <. Tomando δ = min {δ, δ } valem ambas as desigualdades f ) > M + e + L < g ) < + L, sempre que 0 < c < δ. Portanto, somando membro a membro ambas as desigualdades, f ) > M + e g ) > + L, segue f ) + g ) > M + ) + + L) = M + L > M. Portanto [f ) + g )] = +. c Para o caso L < 0, basta verificar que nos moldes acima) eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ implica f ) > M L + > M e repetir os passos dados acima. A demonstração de que [f ) g )] = + se faz de modo análogo. ii) Ver eercício.9.5. iii) Suponhamos L > 0 e L e seja M > 0. Eistem δ, δ > 0 tais que 0 < c < δ implica f ) > M + L < g ) < + L. Logo, Caso L < 0, ver eercício.9.6). f ) g ) > M + L) = M. L L e 0 < c < δ implica 0 de novembro de 03

19 .8. Limites Infinitos 5 iv) Ver eercício.9.7. v) Ver eercício.9.8. Com base nos resultados acima, o cálculo de alguns ites torna-se imediato. Eemplo.8.3 cos + ) 0 = + já que cos = e 0 0 = +. Propriedade i)) cos + cos Eemplo.8.4 Sabendo que tg = + é imediato que π 5 tg = + π Propriedade iii)) tg = + Propriedade iv)) π tg = Propriedade iv)) π π tg = 0. Propriedade v)) Nos moldes do teorema anterior podemos considerar ainda o seguinte resultado: Teorema.8.. Seja L 0 e suponha c f ) = 0 e c g ) = L. i) Se L > 0 e f) tende a zero pela direita, então ii) Se L > 0 e f ) tende a zero pela esquerda, então g ) c f ) = + g ) c f ) = 0 de novembro de 03

20 6. O Limite de uma Função iii) Se L < 0 e f ) tende a zero pela direita, então iv) Se L < 0 e f ) tende a zero pela esquerda, então g ) c f ) = g ) c f ) = + Os resultados permanecem os mesmos no caso de ites laterais. A demonstração é deiada como eercício. Eemplo.8.5 Quando, 0 por valores negativos pela esquerda) e quando + temos 0 por valores positivos pela direita). Logo = + = + 7 = + 3 = + O significado gráfico dos ites infinitos é a eistência de assíntotas verticais. A reta = c é uma assíntota vertical ao gráfico de = f ) quando f ) = ± ou quando f ) = ±. Abaio c c + temos dois eemplos ilustrativos. Eemplo.8.6 A função = possui assíntota vertical = 0 já que = e = + Verifique!) de novembro de 03

21 .9. Eercícios 7 Eemplo.8.7 temos e O gráfico da função f ) = + + possui uma assíntota vertical em =. De fato, como ) = + ) ) = + + f ) = = + f ) = + + = +..9 Eercícios.9. Determine os seguintes ites a) b) c) 5 ) d) 4 + e) f) 4 sec π + 0 de novembro de 03

22 8. O Limite de uma Função g) ) h) tg π 6 + i) Avalie se cada uma das funções abaio possui alguma assíntota vertical e determine-a em caso afirmativo. a) f ) = 3) b) g ) = 6 + c) = tg d) f ) = A teoria da relatividade afirma que a massa m de uma partícula depende de sua velocidade v e obedece a relação m 0 m = v c onde m 0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. O que ocorre com a massa quando supomos v se aproimando de c?.9.4 Um motorista, numa viagem de ida e volta entre duas cidades, distando de d km uma da outra, fez uma média de km/h na ida e km/h na volta. Por outro lado, juntando os dois percursos, a velocidade média ida e volta) foi de 80 km. a) Obtenha uma epressão que forneça em função de. b) Para cada um dos valores = 0, = 0, = 30, = 50 e = 60, encontre os valores de correspondentes. c) O que ocorre com quando se aproima de 40?.9.5 Demonstre a propriedade ii) do Teorema Mostre que, se L < 0, f ) = + e g ) = L então f ) g ) =. c c c.9.7 Seja L 0 e suponha f ) = + e g ) = L. c c Mostre que: { f ) c g ) = +, se L > 0, se L < Apresente uma demonstração para o Teorema Limites no Infinito Na seção anterior nos ocupamos dos ites infinitos, isto é, dos casos em que as imagens da função crescem ou decrescem iitadamente à medida que a variável independente se aproima de um número real c pela direita ou pela esquerda ou por ambos os lados). Agora nos preocuparemos com o crescimento ou decrescimento) iitado da variável independente, e com a consequência disto nas imagens da função. Iniciamos com a seguinte definição: Definição.0. Seja f definida em, a) b, + ). i) O ite de f quando tende a mais infinito é L no caso em que, para todo ɛ > 0, eistir 0 > 0 tal que > 0 implica f ) L < ɛ; ii) O ite de f quando tende a menos infinito é L no caso em que, para todo ɛ > 0, eistir 0 > 0 tal que < 0 implica f ) L < ɛ; 0 de novembro de 03

23 .0. Limites no Infinito 9 iii) O ite de f quando tende a mais infinito é + no caso em que, para todo M > 0 eistir 0 > 0 tal que > 0 implica f ) > M o ite será quando M > 0, 0 > 0 tal que > 0 implica f ) < M); iv) O ite de f quando tende a menos infinito é + no caso em que, para todo M > 0 eistir 0 > 0 tal que < 0 implica f ) > M o ite será quando M > 0, 0 > 0 tal que < 0 implica f ) < M); No caso i) escrevemos reciprocamente, f ) = + reciprocamente, Eemplo.0. + f ) =. + f ) = L; no caso ii), f ) = L; em iii) denotamos f ) = ; por último, no caso iv), denotamos + f ) = + Consideremos a função f ) =, que está definida para todo 0. Intuitivamente observa-se que quando cresce iitadamente a razão tende a zero; o mesmo ocorrendo quando decresce iitadamente. De fato, dado qualquer ɛ > 0, tomando 0 = ɛ sempre que > 0 = ɛ temos = 0 < ɛ. Logo, + = 0. Por um argumento análogo, mostra-se que também vale Eemplo.0. É fácil observar que, para todo n >, Ver eercício..4) Eemplo.0.3 i) + n < = 0. sempre que >. Assim, segue para todo n > = 0 e ii) n n = 0 A função identidade f ) = tem ite + quando tende a + e ite quando tende a. De fato, dado qualquer M > 0, escolhendo 0 = M temos para > 0, f ) = > M e para < 0, f ) = < M. Portanto, = + e =. + Eemplo.0.4 Podemos generalizar o eemplo anterior do mesmo modo que fizemos nos eemplos.0. e.0.. Para todo n Z, n > temos n > sempre que >. Daí ver eercício..4), temos i) + n = + sempre que n >. Por outro lado, se < temos >, 3 <, e assim por diante. Portanto: n > sempre que n for par; e n < sempre que n for ímpar. É praticamente imediato ver eercício..4) que: ii) n = + sempre que n for par; 0 de novembro de 03

24 0. O Limite de uma Função iii) n = sempre que n for ímpar. Para ites no infinito valem as seguintes propriedades: Teorema.0.. Sejam k, L, M R e sejam f e g funções reais tais que i) ii) iii) iv) Então: kf ) = kl; ± [f ) ± g )] = L ± M; ± f ) g ) = LM; ± f ) ± g ) = L, sempre que M 0. M f ) = L e g ) = M. ± ± Observe que as propriedades acima são idênticas àquelas do Teorema.6. e as demonstrações são análogas às esboçadas na seção.6. Valem ainda, trocando c por + ou, as propriedades de i) a v) do Teorema.8., da seção.8. Eemplo = 3. De fato, é fácil ver que 5 temos, Como Observe que também vale a igualdade = ) = 3 e 5 ) = = = 3 5. Eemplo ± + = ± 3 + = ± ± ) 3 + ) = 0 = 0. Observe que a passagem na segunda igualdade só pode ser efetuada pois o ite do denominador não é 0. Eemplo = = = + =, de novembro de 03

25 .0. Limites no Infinito no entanto, + + = + + = = =. + + Observe que, no segundo caso estamos usando o fato = e, se < 0 já que ) então =. Eemplo = = Observe que agora o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por valores positivos. Do eercício?? segue Por outro lado, = =. Justifique) + O significado gráfico da eistência de ites finitos no infinito é a ocorrência de assíntotas horizontais. A reta = L é uma assíntota horizontal da curva = f ) quando f ) = L ou f ) = L. Eemplo A reta = 0 é uma assíntota horizontal da curva =. De fato, já temos que ± = 0. Eemplo.0.0 A curva f ) = + =. possui assíntotas verticais =, = verifique!) e assíntota horizontal 0 de novembro de 03

26 . O Limite de uma Função. Eercícios.. Calcule se possível) os seguintes ites no infinito. Caso não eista o ite, dê um argumento que justifique a não eistência. a) b) c) d) ) ) + + e) f) g) h) i) j) k) l) Use um artifício algébrico conveniente a fim de encontrar: a) b) ) ) 4 + c) d) ) ) 4 + e) f) + + ) ) Encontre as assíntotas verticais, as assíntotas horizontais e faça um esboço da curva = f ). a) f ) = + b) f ) = c) f ) = + d) f ) =..4 Mostre a validade das afirmações i) e ii) do eemplo.0. e das afirmações i),ii) e iii) do eemplo O Teorema do Confronto Dedicamos esta seção eclusivamente ao Teorema do Confronto e suas consequências. Também conhecido como Teorema Sanduíche, tal resultado é uma ferramenta poderosa do Cálculo, tanto na obtenção de alguns ites não imediatos, quanto na demonstração de outros resultados. Teorema.. O Teorema do Confronto). Considere f, g e h funções definidas em a, c) c, b) tais que g ) f ) h ), para todo a, c) c, b). Se g ) = h ) = L c c então f ) = L. c Demonstração : Como g ) = h ) = L, dado qualquer ɛ > 0, arbitrariamente pequeno, eistem c c δ > 0 e δ > 0 tais que: i) c δ, c + δ ) = g ) L ɛ, L + ɛ); ii) c δ, c + δ ) = h ) L ɛ, L + ɛ). 0 de novembro de 03

27 .. O Teorema do Confronto 3 Tomando δ o menor dos números δ e δ δ = min {δ, δ }) valem ambas as implicações i) e ii). Além disso, da desigualdade g ) f ) h ) segue que c δ, c + δ) tem-se e, portanto, c f ) = L. L ɛ < g ) f ) h ) < L + ɛ Graficamente: A ilustração do Teorema do Confronto deia claro porque ele também recebe o nome de Teorema do Sanduíche ou ainda Teorema da Imprensamento. Vamos a alguns eemplos: Eemplo.. Embora pouco tenhamos mencionado as funções seno e cosseno nas seções anteriores, agora somos capazes de afirmar que sen θ = 0 e cos θ =. θ 0 θ 0 De fato, consideremos no círculo trigonométrico o arco θ = AP no primeiro quadrante, onde A =, 0), e seja Q o pé da perpendicular baiada do ponto P até o eio. Ver ilustração abaio). P = cos θ, sen θ) Q A =, 0) Evidentemente, o comprimento do segmento AP é menor ou igual, no caso etremo) que a medida do arco AP. Além disso, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APQ segue cos θ) + sen θ = AP θ. Portanto, sen θ θ e cos θ) θ. Logo, θ sen θ θ e θ cos θ θ para 0 < θ < π. Como θ = θ = 0, pelo Teorema do Confronto θ 0 + θ 0 + θ 0 É possível demonstrar de modo análogo que θ 0 Portanto, θ 0 sen θ = 0 e θ 0 cos θ =. θ 0 sen θ = 0 e cos θ) = θ 0 sen θ = 0 e cos θ) = 0. 0 de novembro de 03

28 4. O Limite de uma Função =sen θ =cos θ De acordo com o que já conhecíamos, através dos esboços dos gráficos das funções seno e cosseno, era natural ter a epectativa dos ites encontrados no eemplo... Mais ainda, é natural ter a esperança que sen θ = sen c e cos θ = cos c. Retomaremos esta discussão em momentos posteriores. θ c θ c Faremos agora uma análise tão importante quanto a anterior, a saber, o que ocorre com a razão sen θ θ para θ suficientemente pequeno. Teorema... sen θ =. θ 0 θ Demonstração : Do mesmo modo que no eemplo.. consideremos no círculo trigonométrico o arco θ = AP no primeiro quadrante, onde A =, 0), e seja Q o pé da perpendicular baiada no ponto P até o eio. Prolongando o segmento OP até encontrar a reta t, perpendicular ao eio no ponto A =, 0), obtemos, na interseção, o ponto T. Ver ilustração). t P T O Q A Assim, PQ AP AT. Além disso, do Teorema de Tales, e AT OA = PQ sen θ = AT = OQ cos θ T =, sen θ ). cos θ Logo, sen θ θ sen θ cos θ. Como estamos considerando 0 < θ < π θ sen θ cos θ ou ainda cos θ sen θ θ temos sen θ > 0 e segue. Como θ 0 cos θ = θ 0 =, aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que sen θ =. θ 0 θ 0 de novembro de 03

29 .3. Eercícios 5.3 Eercícios.3. Use as desigualdades sen e cos a fim de calcular os seguintes ites: a) θ 0 θ sen θ b) 0 n sen n Z) c) θ 0 θ cos θ d) 0 n cos e) sen ± f) cos ± g) 0 sen h) 0 cos i).3. Seja f uma função definida por f ) = θ sen θ θ 0 + θ + {, se / Q 0, se Q. j) [ 4 sen )] 0 k) θ π θ sec θ l) 0 sen i) Dê uma justificativa para a seguinte afirmação: f não possui ite em c, c R ii) Mostre que 0 n f ) = 0, n N..3.3 Calcule os seguintes ites, caso eista ou justifique a não eistência): a) θ 0 sen 5θ) θ b) θ 0 cos θ θ c) θ 0 sen θ) sen 3θ) tg θ d) θ 0 θ sen ) e) 0 f) 0 sen g) sen θ θ +π θ π h) 0 π π cos 4 i) 0 cos sen j) k) l) π π cos [ ] Uma função f é itada em a, b) quando eistem m, M R tais que m f ) M, a, b). Suponha f itada. Mostre que k f ) = 0 para todo k N Suponha f uma função itada definida em a, c) c, b) e seja g uma função tal que g ) = 0. c Mostre que [f ) g )] = 0. c.3.6 Calcule cada um dos seguintes ites: [ ] a) c ) cos c c b) c sen c) c ) c) 0 sen ) tg d) 0 sen a b e) 0 sen a sen b 0 de novembro de 03

30 6. O Limite de uma Função.4 Continuidade A noção de continuidade de uma função, definida ainda nos dias de hoje de modo análogo à forma apresentada por volta do século XIX, é um dos temas fundamentais do Cálculo. Em termos gerais, uma função f: I R é contínua no ponto a I quando valores de suficientemente próimos de a nos dão imagens f ) suficientemente próimas de f a). Observamos que, em contraste com a noção de ite na qual não havia necessidade da eistência da imagem, neste conteto necessariamente a D f. Definição.4. Seja f: I R uma função e seja a I. Diremos que f é contínua em a quando f ) = f a). a o que equivale a a [f ) f a)] = 0.) Em caso contrário, diremos que f é descontínua em a. Eemplo.4. A função identidade, f ) =, é contínua em toda abcissa a R. De fato, f ) = a = f a). a Mais geralmente, das propriedade vistas anteriormente, g ) = n, com n N, é contínua em toda abcissa a R, já que a g ) = an = g a). Do eemplo.4. decorre imediatamente que toda função polinomial, definida em toda reta, é contínua em todo a R. De fato, seja p ) = b n n + b n n + + b + b 0. Então, p ) = b na n + b n a n + + b a + b 0 = p a). a Eemplo.4. 3, se < Considere a função f ) =, se 6, se > definida para todo R. Já temos que f é contínua para todo a, ), ), + ). 0 de novembro de 03

31 .4. Continuidade 7 Observe que se a <, se < a <, e se a >, f a) = a 3 = a f ) ; f a) = a = a f ) f a) = 6 a = a f ). Falta verificar o que ocorre para a = e para a =. Mas, e f ) = 3 = = = + f ) + f ) = = = 6 ) = f ). + + Portanto, f é também contínua em a = e em a =. Eemplo.4.3 {, se 0 A função f ) = é contínua para todo a R. De fato, f é contínua para todo +, se > 0 a 0. No caso a = 0 temos e = f ) = 0 ) = f ) 0 = f ) = + ) = f ) Portanto, o ite eiste em a = 0 e é igual à imagem da função em a = 0. Logo, f é contínua também em a = 0. Omitiremos os detalhes neste momento e justificaremos a afirmação no capítulo posterior, mas as funções trigonométricas, a função eponencial e a função logarítmica são contínuas em toda abcissa a pertencente a seu domínio. Assim, as funções a) = sen, R, é contínua a R e, portanto, b) = cos, R, é contínua a R e, portanto, sen = sen a a cos = cos a a c) = tg, R, π + kπ, com k Z, é contínua para todo a π + kπ, com k Z e, logo tg = tg a a desde que a π + kπ, com k Z. Para as funções = cotg, com R, kπ, k Z; = sec, com R, π = cossec, R, = kπ, k Z, a propriedade é idêntica.) + kπ, k Z; e d) = e, R é tal que a e = e a 0 de novembro de 03

32 8. O Limite de uma Função e) = ln, definida para todo > 0, é contínua para todo a > 0 e, portanto, sempre que a > 0. ln = ln a, a Vejamos agora eemplos de funções descontínuas em alguma abcissa a de seu domínio. Eemplo.4.4, se < Considere a função g ) =, se =. +, se > Pelo que foi discutido anteriormente, g é contínua para todo a. No entanto, em a = temos Assim, g é descontínua em a =. g ) = verifique) e g ) =. Observe que no eemplo anterior a função tem ite em a =, mas este é diferente de g ). Também pode ocorrer da função não possuir ite em a, evidentemente, neste caso, ela não pode ser contínua em a. Ilustraremos isso no próimo eemplo. Eemplo.4.5 A função h ) =, se não é contínua em a = já que h ) = 0 enquanto o 0, se = ite de h em nem eiste. Considere uma função f descontínua em a. Podem ocorrer duas situações: i) é possível definir uma função f, com imagens coincidindo com as imagens de f para todos os valores diferentes de a, e com f a) definido de modo que f seja contínua em a. Neste caso, dizemos que f possui descontinuidade removível em a. Observe que para f possuir descontinuidade removível em a basta que eista o número real a f ). ii) não é possível definir uma função f tal como em i). Neste caso diremos que a descontinuidade em a é irremovível. Descontinuidades irremovíveis ocorrem quando o ite da função não eiste no ponto a. No eemplo.4.4, temos uma função com descontinuidade removível em a = ; basta observar que, se < g ) =, se = +, se > 0 de novembro de 03

33 .4. Continuidade 9 é contínua em a =. No eemplo.4.5 há uma descontinuidade irremovível em a =. Descontinuidades irremovíveis ocorrem, evidentemente, em abcissas do domínio da função nas quais o ite não eiste. Quando a descontinuidade irremovível em a ocorre porque os ites laterais em a são números reais distintos, dizemos que a descontinuidade é do tipo salto. Eemplo.4.6 As funções i) = { 0, se < 0, se 0 ii) = {, se, se > iii) =, 0 0, = 0 iv) =, 0 0, = 0 estão definidas para todo R. Em i), há uma descontinuidade irremovível do tipo salto em a = 0; em ii), há uma descontinuidade irremovível também do tipo salto em a =. Já em iii) e iv), ocorrem descontinuidades irremovíveis que não são do tipo salto), em a = 0. Quando uma função não possui pontos de descontinuidade em seu domínio, dizemos simplesmente que ela é contínua. Isto é, uma função f é contínua quando f ) = f a), a para todo a D f. Pelo que foi discutido anteriormente, as funções polinomiais, trigonométricas, eponencial e logaritmo são eemplos de funções contínuas. Observe que a função f ) = tem domínio D f = { R; 0} e, 0 de novembro de 03

34 30. O Limite de uma Função portanto, é contínua não possui pontos de descontinuidade em seu domínio); no entanto, a função g ) =, se 0,, se = 0 tem domínio D g = R e não é contínua, já que não o é em a = 0. Voltemos novamente a atenção aos pontos de continuidade. Eemplo.4.7 { 4 +, se Sejam a, b R e considere f ) = a + b, se >. Determine para quais condições dos valores a e b tem-se f contínua. Evidentemente f é contínua para todo a, ), + ). Para a = temos f ) = ) 4 ) + =. Portanto, f ) é, obrigatoriamente, igual a. Já temos f ) =, resta fazer f ) =. Mas + Portanto, basta fazer b = 4a. f ) = + a + b ) = a + b =. + No eemplo.4.7, observe que para cada uma das situações de a e b abaio o gráfico da função f é uma curva definida por duas outras curvas, uma à esquerda da reta = e outra à direita da reta =, que se conectam no ponto, ) de fato, o gráfico de f nessas condições é uma curva conea). = +4+ a = 0, b =,) = = +4+ a =, b = 5,) = +5 = +4+ = 3 a =, b = 3,) Para finalizar esta seção, destacamos o seguinte resultado para o qual omitiremos demonstrações. Trata-se de uma ferramente de etrema utilidade no cálculo de ites. 0 de novembro de 03

35 .4. Continuidade 3 Teorema.4.. Sejam f, g: I R funções contínuas em a I. Então, são também contínuas em a as funções: i) cf, f + g, f g, f g: I R c=cte); ii) f, g, desde que f a) 0. f Além disso, se f: I J R e h: J R, considerando f contínua em a I e h contínua em b = f a) J então a composta é contínua em a. h f: I R hf)) Uma consequência da propriedade acima é que, se uma função f: I J R admite uma inversa f : J I então a continuidade de uma delas implica na continuidade da outra. Considere as funções = sen θ e = tg θ. No intervalo aberto π, π ) ambas são injetoras. Além disso, < sen θ <, θ π, π ), θ π + tg θ = e tg θ = +. θ π =tg θ =sen θ π π θ π π θ Assim, seno e tangente são funções invertíveis: A inversa da função = sen θ, que chamaremos de arco-seno é uma função f que, para cada número real define o arco θ = f ) se, e somente se, = sen θ e, portanto, π θ π observe que no intervalo fechado [ π, π ] a função seno permanece injetora e é sobrejetiva quando estabelecemos sua restrição ao contradomínio [, ]). Se = sen θ usaremos a notação θ = arcsen para denotar a função arco-seno que, pelas considerações acima é uma função contínua e bijetora que leva o intervalo [, ] no intervalo [ π, π ]. Evidentemente, tem-se por eemplo, arcsen = π, arcsen 0 =, arcsen 3 = π 3 e arcsen = π. A inversa da função = tg θ, que chamaremos arco-tangente, é uma função g que, para cada número real R define o arco θ = g ) se, e somente se, = tg θ. Se = tg θ usaremos a notação θ = arctg para denotar a função arco-tangente. A eemplo do caso anterior a função arco-tangente é uma função contínua e bijetora, porém, leva a reta no intervalo aberto π, π ). Em síntese, [ arcsen: [, ] π, π ] θ = arcsen sen θ = 0 de novembro de 03

36 3. O Limite de uma Função arctg: R π, π ) θ = arctg tg θ = Da continuidade de tais funções temos, por eemplo: arcsen = 0, 0 arcsen = π 4 Além disso, como π + arctg = π 4, arctg = π tg = e tg = temos π arctg = π e arctg = π +..5 Eercícios.5. Verifique para cada função abaio, a continuidade ou não nas) abcissas indicadas): { 4, 0 = f ) = a) c) ) 4, > 0 a = 0 e a = a = 0 b), 0 e g ) =, = 0 0, = a = 0 e a = ) d) f ) = a = 0 e a =.5. A função f ) = ) é contínua? E a função g ) = )?.5.3 Utilize os resultados dados pelo Teorema.4. a fim de calcular os seguintes ites: a) sen + ) π c) [e + cos ] e) ) 0 0 e b) π sen + cos d) e ln f) 0 cos.5.4 Em cada um dos casos abaio, determine constantes reais indicadas para que a função seja contínua. { +,, < a) f ) = a R) a ), < a, d) ) = 3, 4 a, b R) { b, > 4 a +, b) g ) = a, b R) b, > +, < a { a + b, e) f ) =, a +b a, b R) c) h ) = a, b R) a b, >, > b.5.5 Utilizando que as funções polinomiais, trigonométricas, eponencial e logaritmo são contínuas, juntamente com o Teorema.4., analise a eistência dos seguintes ites. Caso eista o ite, determine-o. 0 de novembro de 03

37 .5. Eercícios 33 a) sen 0 e + ) b) π e cos c) 0 d) + [ sen ].5.6 Calcule os ites: e) f) + ) sen π ) + + ) sen π ) g) π ln sen ) h) i) π eln ) ) π ) j) tg e 4 ln a) 0 sen + h) sen h b) 0 cos + h) cos h.5.7 Seja f uma função real. i) Se c f ) eiste é sempre verdade que c f ) eiste? ii) Se c f ) eiste podemos afirmar que sempre eiste c f )?.5.8 Calcule, caso eistam. a) b) c) d) 7 3 arcsen + e) f) arctg arctg ) g) arctg h) arctg e 0 + i) j) k) [π arctg ] π [ln arctg )] arctg l) arcsen ).5.9 Encontre 3 eemplos de funções f tais que +, < Considere f ) =, = 4. 7, > 4 4 i) Faça um esboço do gráfico de f. ii) Calcule f ) e 4 f ). Eiste 4 + iii) f é contínua em c 4? E em c = 4? f ) < 0 e f ) = 0. + f )? 4 iv) É possível definir L R e uma função f com f ) = 3 4, < 0.5. Considere g ) =, = 0. +, > 0 i) Faça um esboço do gráfico de g. { f ), 4 L, = 4, tal que f seja contínua? 0 de novembro de 03

38 34. O Limite de uma Função ii) Calcule g ) e g ). Eiste g )? iii) f é contínua em c 0? E em = 0? { g ), 0 iv) É possível definir L R e uma função g com g ) =, tal que g se já contínua? L, = 0.6 Eercícios Complementares.6. Em cada um dos gráficos abaio identifique e calcule, caso eistam: a) f c) b) f ) c) f ) c c + d) f ) c c = c = e c = = c = 0 = c = 0 e c =.6. Em cada um dos itens a), b), c) e d) do eercício anterior destaque os) intervalos em que a função é contínua..6.3 Determine, caso eista, f ), f ), f ) e f ) em cada caso abaio. Caso o ite não eista, apresente uma justificativa. 0 de novembro de 03

39 .6. Eercícios Complementares 35 a) f ) =, se <, se, se < ou b) f ) = 0, se =, se < < c) f ) = sen, < 0, 0 < d) f ) =, = 4 + 3, > e) f ) = sen ), 0 f) f ) = + g) f ) = ln + ) h) f ) = e, 0 i) f ) = e, 0 j) f ) = ln ), > 0 k) f ) = sen + cos, 0 l) f ) = tg π ), kπ com k Z m) f ) = arctg + ) n) f ) = o) f ) = p) f ) = q) f ) = sen, 0 r) f ) = sen, As funções hiperbólicas) Para todo R podemos definir as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, como segue ) senh = e e, R Seno Hiperbólico) ) cos h = e + e, R Cosseno Hiperbólico) Além disso, é possível definir ainda as funções tangente hiperbólica, secante hiperbólica, cotangente hiperbólica e cossecante hiperbólica. 3) tgh = senh cosh = e e e, R Tangente Hiperbólica) + e 4) cotgh = cosh senh = e + e e, Cotangente Hiperbólica) e 5) sech = cosh = e, R Secante Hiperbólica) + e 6) cossech = senh = e, Cossecante Hiperbólica) e Eplique por que cada uma das funções acima é contínua. Além disso, calcule o ite de cada uma delas, caso eista quando a) 0 b) c) d) e) ).6.5 Eiste o ite c para todo c R? Por quê? 0 de novembro de 03

40 36. O Limite de uma Função.6.6 Seja n N, n. Verifique a validade da seguinte propriedade: Se f ) = L R e n L c eiste, então c n f ) = n f ) = n L. c O que ocorre quando f ) = ±. c.6.7 Dizemos que uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] quando f é contínua em a, b) e ainda a +f ) = f a) f é contínua à direita em a) e b f ) = f b) f é contínua à esquerda em b). Verifique que i) f ) = é contínua em [0, ]; ii) g ) = 5 3 é contínua em [, ]..6.8 Considere a função f ) = sen ) definida para todo R. Seja k N arbitrário, calcule f ) ) kπ e f π +kπ. A partir daí, eplique o que ocorre com f ) O Teorema de Bolzano). Seja f uma função contínua em [a, b]. Se f a) m f b) então eiste pelo menos um c [a, b] tal que f c) = m. Esta propriedade, chamada também de Teorema do Valor Intermediário é uma das mais importante no Cálculo Diferencial e Integral e na Análise Matemática. Embora não apresentemos uma demonstração do Teorema, sua ilustração é bem intuitiva. fb) m =m fa) =f) [ a ] b Observe que, como f a) m f b) e f é contínua então o gráfico de f intercepta pelo menos uma vez a reta horizontal = m. Utilize o Teorema do Valor Intermediário e justifique as seguintes afirmações: i) Se f é contínua em [a, b] e f a) f b) < 0, então f possui pelo menos uma raiz em a, b). ii) Se f é contínua em [a, b] e f ) 0, [a, b], então ou f é sempre positiva em [a, b] ou f é sempre negativa em [a, b] f não apresenta mudança de sinal). iii) Se f é contínua em R, f ) = respectivamente, + ) e f ) = + respectiva- + mente, ) então f possui pelo menos uma raiz real. iv) Se p é uma função polinomial e o grau de p é ímpar, então p possui pelo menos uma raiz real. v) A função f ) = 3 e possui pelo menos uma raiz no intervalo [0, ]. Justifique..6.0 A função g ) = é tal que g ) = e g ) =. No entanto g não possui nenhuma raiz 3 real. Por que isso não entra em contradição com o Teorema do Valor Intermediário? {, se 0 <.6. Considere a função h ) =. Observe que h está definida para todo [0, ],??, se mas não eiste c [0, ] tal que f ) = 4. Por quê o Teorema do Valor Intermediário não se aplica? 0 de novembro de 03

41 .6. Eercícios Complementares 37 0 de novembro de 03