ALGA- 2005/ (i) det. 7 (ii) det. det (A) = a 11 a 22 a 33 a 44 a 55 a Calcule: (a) det
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- Adriana Affonso Marreiro
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1 ALGA- 00/0. (a) Calcule o sinal das seguintes ermutações: (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) ara calcular, usando a de nição, os determinantes: (i) det (ii) det Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem cujas únicas entradas não nulas estão nas osições (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) : Assinale a resosta correcta: det (A) = a a a a a a det (A) = 0 det (A) = a a a a a a det (A) = a a a a a a. Calcule: (a) det (c) det (e) det 0 cos (b) det sin (d) det (f) det sin cos 0 0 ; R: 0 cos sin 0 sin cos ; R: 0. Determine os valores de ara os quais as seguintes matrizes são invertíveis: + (a). + (b). Se ossível, dê exemlos de: (a) Uma matriz do tio com determinante igual a. (b) Uma matriz de ordem, com as entradas todas diferentes e determinante nulo. (c) Uma matriz de ordem três com a diagonal rincial nula e determinante : (d) Uma matriz de ordem três, sem entradas nulas e com determinante : (e) Uma matriz escalar, de ordem quatro, com determinante igual a : (f) Uma matriz escalar, de ordem quatro, com determinante igual a : (g) Uma matriz de ordem cinco com a terceira coluna nula e determinante.
2 ALGA- 00/0. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: 0 (a) (b) (c) (e) i Seja A = (a) det (c) det d e f d e f 0 0 (d) : Sabendo que det A = ; calcule: : a d b e c f (f) (b) det (d) det. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: 0 A = 0 0 B = C = 0 0 D = 0 0. O valor do determinante da matriz A = é: d e 8f a d d g b e e h c f f i
3 ALGA- 00/0. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações: (a) Se A; B são matrizes de ordem n e det A = det B; então A = B: (b) Para quaisquer matrizes A; B de ordem n, det (A + B) = det A + det B: (c) Se A é uma matriz de ordem n e R, então det (A) = det A: (d) Se A é uma matriz de ordem n e R, então det (A) = n det A: (e) Se A é uma matriz de ordem n; com n ímar, então det ( A) = det A: (f) Se A é uma matriz de ordem n, com n ar, então det ( A) = det A: (g) Se A é uma matriz de ordem n e a diagonal rincial de A é não nula então A é invertível.. Seja A uma matriz de ordem. Sabendo que det A = ; determine: (a) det ( A) (b) det (A ) (c) det (A ) (d) det A 8. Considere a matriz A = que: : Se ossível, comlete A de modo a (a) det (A) = 0 (b) det (A) =. Sejam A; B matrizes de ordem n: Mostre que: (a) Se AB é uma matriz invertível então A e B também o são. (b) Se AB não é uma matriz invertível então elo menos uma das duas matrizes A ou B também não é invertível. 0. Considere duas matrizes de ordem, A e B; e a seguinte lista de a rmações: (i) det (AB) = det (BA) (ii) Se det A = 0 e det B = 0; então det (A + B) = 0: (iii) det (AB) = 8 det (AB) Assinale qual a lista correcta das a rmações verdadeiras: (i) e (ii). (i) e (iii) (iii) (i), (ii) e (iii). Sejam A; B matrizes de ordem ; tais que det (A) = e det (AB) =. Calcule det ( B) T :. Sabendo que A e B são matrizes de ordem tais que det ( (AB)) =, det(b) > 0 e det (AB ) = 8; calcule det (A) e det (B) :
4 ALGA- 00/0. Sabendo que A e B são matrizes de ordem tais que det ( (AB)) =, det(b) < 0 e det (AB ) = ; então: det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) =. Calcule o determinante das seguintes matrizes: A = B = C = D = Considere as matrizes A = se ossível: e B = : Calcule, (a) det A e det B: (b) det A T e det B T : (c) det (AB) e det (BA) : (d) det ( B ) : (e) det (A ) e det (B ) : k 0 0. As soluções da equação det = 0 são: k k = ; k = k = ; k = k = k = 0. Sejam A; B matrizes de ordem n: Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações: (a) AB = BA ) det (A + B) det (A B) = det (A B ) : (b) [det (A + B)] = det A + det B + det (AB) : (c) det (A + B) = det A T + B T : (d) Se A = A T, então jdet Aj = :
5 ALGA- 00/0 8. Sejam A = 0 0 e B = 0 : Calcule det (AB) e det (BA) :Será que o resultado obtido contradiz a roriedade estudada sobre o determinante do roduto de duas matrizes?. Seja A = : Calcule: (a) det A: (b) A: b (c) adj (A) : (d) A : k k Considere a matriz A = ; k R: k k 0 0 k 0 (a) Calcule adj (A) : (b) Determine os valores de k ara os quais det A = : (c) Para os valores determinados na alínea anterior calcule A 8. Considere a matriz real A = 0 ; ; R: (a) Utilizando determinantes calcule os valores de e ara os quais cara < : (b) Diga ara que valores de e a matriz A é invertível. (c) Calcule A, ara todos os valores encontrados em (b): + 8. Considere a matriz A = ; ; R: + + (a) Determine ara que valores de e a matriz A é invertível. (b) Para um dos ares e encontrados em (a), calcule a rimeira coluna de A : a 0 b 8. Considere, ara a; b; c; d R; a matriz A = c 0 d (a) Determine o roduto de A ela sua adjunta. (b) Calcule a entrada (,) de adj (A) : (c) Determine, se existirem, os valores reais de a; b; c; d ara os quais A é invertível:
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