Economia Matemática I 2007/08. Ficha 1 - Capítulos 1 e B = 2 4

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1 Economia Matemática I /8 Ficha - Capítulos e. Sendo D = E = C = efectue, se possível, as seguintes operações: (a) A + C (b) A + B (c) A B (d) (A + B) (e) DE (f) AE (g) A (h) (BC) D (i) CE. Dadas a matrizes A, B e C calcule: C = (a) AB + C (b) (B) (A) + I (c) C. Determine os parâmetros p; k IK de tal modo que: p = k. Sendo e determine a matriz X que veri ca a condição: A X = B.

2 . Sendo [a ij ], i = ; :::;, j = ; :::; e [b ij ], i = ; :::;, j = ; :::;, determine o elemento c C = AB. 6. Determine todas as matrizes comutáveis com a matriz:. Determine o valor de x IR de modo a serem comutáveis as matrizes: x e 8. Considere as matrizes: e 6 Determine as matrizes X e Y que veri cam o sistema: X Y = A X + Y = B 9. Considere as matrizes: C = determine: (a) A matriz X do tipo x tal que (X + A) = [X + (A X)] + C. (b) As matrizes X e Y, do tipo x tais que: X Y = A B X + Y = B A. Considere as matrizes: P = Q = Prove que (P + Q) 6= P + P Q + Q. Como explica este resultado?. As matrizes seguintes formam o conjunto fm ; M ; M ; M ; M g:

3 (a) Identi que cada uma delas de forma a ser possível realizar a operação matricial: M (M + M ) M. (b) Efectue a operação indicada.. Determine a matriz N x tal que NM =, sendo M = 6. Calcule +. Considere C = Calcule A + B C.. Considere Encontre o vector coluna U = x y tal que AU = U: 6. Demonstre que: (a) Se A tem uma linha de elementos todos nulos, então, A mxn B nxs tem uma linha de elementos todos nulos. (b) Se B tem uma coluna de elementos todos nulos, então, A mxn B nxs tem uma coluna de elementos todos nulos. (c) Qualquer matriz com uma linha ou coluna de elementos todos nulos não tem inversa.. Considere Calcule A n. 8. Determine todas as martrizes que comutem com

4 9. Numa fábrica produzem-se dois tipos de cadeiras: Clássico (C) e Executivo (E). Na produção de cada cadeira utilizam-se, para além da mão-de-obra, duas matérias-primas principais: pele e derivados de madeira, nas seguintes quantidades: C E Pele Derivados de madeira Horas de trabalho O custo de cada unidade de pele é de. O custo de cada unidade de derivados de madeira é de :. Cada hora de trabalho vale :. Utilize o cálculo matricial para determinar: (a) O custo de produção de cada tipo de cadeira. (b) O custo de produção de uma ecomenda de cadeiras do tipo C e 8 cadeiras do tipo E. (c) O lucro obtido nessa encomenda, sabendo que o preço de venda foi de 8 (cadeira C) e de (cadeira E).. Determine todas as matrizes comutáveis com:. Seja B uma matriz quadrada de ordem dois de nida por a c b d Mostre que B = (a + d) B (ad bc) I.. Dadas as matrizes I = Y = mostre que: (a) Y = I (b) (ai + by ) (ai by ) = (a + b ) I, sendo a e b números reais.. Seja a matriz B, determine B n, para n > :. Seja a matriz

5 (a) Determine a expressão geral de P das matrizes permutáveis com a matriz A. (b) Mostre que qualquer matriz do tipo P se escreve na forma P = A + I, com e reais.. Sejam A e C duas matrizes reais tais que: C = A + A T. Mostre, justi cando, que tr (C) = tr (A). 6. Seja A uma matriz escalar de ordem n. Determine o traço de A n.. Dadas as matrizes: (a) Calcule, se existirem: (a) AB (a) BA (a) (AB) T (a) (BA) T (a) A T (a6) B T (a) A T B T (a8) B T A T (b) Calcule o traço da matriz obtida em cada uma das alíneas anteriores. 8. Considere a matriz M = Determine as matrzies A e B, supondo que A é uma matriz simétrica e B uma matriz hemi-simétrica, tais que: A + M. 9. Sabendo que C = a b 6 8 c d Determine os valores a, b, c e d de tal modo que C seja uma matriz simétrica.. Considere as matrizes: e (a) Determine C : C = BA. (b) Determine as matrizes C = BB T e D = B T B. Porquê que a matriz C é simétrica? Justi que.

6 . Considere as Matrizes: e M = (a) Determine a família das matrizes X que comutam com A. (b) Determine a família de matrizes Y tais que MY é diagonal. (c) Determine a matriz X da primeira família e a matriz Y da segunda família, para as quais se tem: X + Y = A T M T.. Sejam as matrizes: Determine as matrizes A; B e C de modo a que A T + B T C exista.. Seja A uma matriz qualquer, quadrada e de ordem n. Veri car que: (a) T r (A) = T r (A), onde é um scalar e T r (A) é o traço da matriz A. (b) A A t = I, é uma igualdade sempre falsa.. (a) Mostre que, qualquer que seja a matriz A, as matrizes AA T e A T A são matrizes simétricas. (b) Veri que o resultado anterior para: (c) Determine a família de matrizes B tais que: B I, sendo A a matriz de (b).. Prove que as linhas I = I = I = são linearmente dependentes: (a) utilizando a de nição. Escreva I como combinação linear de I e I. (b) utilizando a noção de característica de uma matriz. 6. Prove que as colunas seguintes são linearmente independentes: C = C = C = 6

7 (a) utilizando a de nição. (b) utilizando a noção de característica de uma matriz.. Determine k de forma a que as linhas da matriz k sejam linearmente dependentes. 8. Prove, usando a de nição de dependência linear, que as matrizes C = são linearmente dependentes. 9. Considere as matrizes D = C = (a) Determine as respectivas características. (b) Usando os resultados da alínea anterior diga o que pode concluir acerca da dependência ou independência linear das las de A, B e C.. Determine a característica das seguintes matrizes: (a) 6 (b) (c) C = 6 6

8 (d) Que pode concluir, em face dos resultados das alíneas anteriores, relativamente à dependência ou independência lineares das las de A, B e C.. Apenas por simples observação, justi cando o que a rmar, indique quais das matrizes que se seguem têm linhas ou colunas linearmente dependentes: C = D = E = F = 6. Considere a matriz: M = b a + b a + b a + b b b a + b a Determine a característica de M de acordo com os valores assumidos por a e b.. Considere a matriz com IR. Determine os valores de para os quais a matriz A é singular. 8