a mnx n = b m

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Leila Melgaço Canela
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1 MTRIZES s matrizes são ferramentas básicas da Álgebra Linear, pois além de fornecerem meios para resolução dos sistemas de equações lineares, elas também representarão as transformações lineares entre espaços vetoriais, como veremos futuramente.

2 Uma plicação Real

3 Definição de Matriz

4 Matrizes Consideremos o sistema a x + a x + a x a n x n = b a x + a x + a x a nx n = b a x + a x + a x a nx n = b... a m x + a m x + a m x a mnx n = b m = a a a... a n a a a... a n a a a... a n a m a m a m... a mn mxn = [a ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a

5 Conceitos Básicos x a = a 4 = 7 mxn = [a ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a

6 Conceitos Básicos mxn = [a ] mxn s matrizes podem ser classificadas segundo: forma natureza dos elementos

7 Conceitos Básicos Segundo a forma em: mxn = [a ] mxn Rectangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m Linha Se o número de linhas é igual a um Coluna Se o número de colunas é igual a um

8 Segundo a natureza dos elementos em: Conceitos Básicos mxn = [a ] mxn Real se todos os seus elementos são reais a : a Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo a : a C i Nula se todos os seus elementos são nulos a : a

9 Conceitos Básicos mxn = [a ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Triangular Superior Triangular Inferior : a j i a uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos : a j i a 6 7

10 Conceitos Básicos mxn = [a ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Diagonal Escalar : a j i a uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais a j i a j i a :

11 Segundo a natureza dos elementos em: Conceitos Básicos mxn = [a ] mxn Simétrica se os elementos a são iguais aos a ji Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos

12 B c Matrizes Soma de Matrizes Sejam e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 4 B com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz com os elementos da matriz B da mesma posição. n j m i b a c B C M C M B n m n m,,,, ; :,

13 B B M B n m, goza das seguintes propriedades: Comutativa ssociativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa soma de matrizes do mesmo tipo ) ( ) (,, C B C B M C B n m O M O M n m n m : O B M B M n m n m :

14 soma de matrizes do mesmo tipo Comutativa goza das seguintes propriedades: ssociativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

15 Produto por um escalar Sejam uma matriz e um escalar O produto de por é uma matriz C que se obtêm de multiplicando todos os seus elementos por n j m i a c C M M n m n m,,,, ; : do mesmo tipo de

16 Dadas as matrizes e B do mesmo tipo e os escalares e as seguintes propriedades são válidas: ( ) B B

17 Matrizes Consideremos o sistema a x + a x + a x a n x n = b a x + a x + a x a nx n = b a x + a x + a x a nx n = b... a m x + a m x + a m x a mnx n = b m a a a... a n a a a... a n a a a... a n x x x = b b b a m a m a m... a mn x n b m mxn = [a ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a

18 x = = x x

19 x = x 8 x

20 x = x 8 x

21 x = x 8 x

22 x = x 8 x

23 x = x 8 x

24 x = x 8 9 x

25 x = x x

26 Produto de Matrizes Seja uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: e escreve-se C=B. c i j n k a i k b k j O produto de matrizes não é comutativo

27 Dadas as matrizes, B e C, e a um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: BC B C ( B ) C C B C B C B C a B a B a B

28 Transposição de Matrizes Seja uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de a uma matriz B do tipo nxm tal que: j i j i a b m j n i,... ;,..., e escreve-se B= T T

29 Dadas as matrizes e B e a um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: T T ( B ) T T B T a T a T T T T B B

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