Algumas Aplicações de Álgebra Linear. Análise de Redes (Network) Fluxo de Trânsito. Circuitos Eléctricos. Equilíbrio de Equações Químicas
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- Ágata Anna Bacelar
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1 Algumas Aplicações de Álgebra Linear Análise de Redes (Network) Fluxo de Trânsito Circuitos Eléctricos Equilíbrio de Equações Químicas Interpolação Polinomial Estudo de Modelos Económicos Compressão de Imagem Imagens e vídeos criados por computador Genética
2 Tomogra a Computadorizada Criptogra a Construção de curvas e superfícies passando por pontos especí cos Metereologia Teoria dos Grafos Jogos de Estratégia Gestão Florestal Crrescimento Populacional por Grupos Etários Motores de Pesquisa na Internet (Google) etc.
3 Programa e Avaliação de Álgebra Linear Sistemas de equações lineares e matrizes Espaços lineares o Teste (8 de Outubro) Determinantes Valores próprios e vectores próprios. Diagonalização o Teste ( de Novembro) Produtos internos. Ortogonalização Transformações lineares Aplicações o Teste ( de Dezembro) Teste de Recuperação (8 de Janeiro): T+T ou T ou Exame
4 (Sugestões) Bibliogra a Elementary Linear Algebra, Applications Version, th edition (0) author(s): Howard Anton, Chris Rorres Álgebra Linear Autora: Maria Esmeralda Sousa Dias ALbook n_net.pdf
5 Equação linear a uma variável x ax = b Equação linear a n variáveis x ; :::; x n a x + ::: + a n x n = b Sistemas de m equações lineares a n variáveis 8 a x + ::: + a n x n = b >< a x + ::: + a n x n = b : : : >: a m x + ::: + a mn x n = b m
6 OBJECTIVO Classi car e Resolver sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss 8 >< >: x + z = x + y + z =,..., y + z = Operações elementares E i $ E j E i + E j! E j 8 >< >: x + z = y + z = z = (E i! E i = 0) não necessária Possível e determinado? Possível e indeterminado? Impossível?
7 Método de eliminação de Gauss (aplicação das operações elementares com vista à obtenção de um sistema em escada) 8 x + z = 8 x + z = >< x + y + z =, ( )E +E!E >< y + z = >: y + z = >: y + z = 8 x + z = 8 x =, E +E!E >< >: y + z = z =, >< >: y = z = O sistema tem a solução única (; ; ) e diz-se possível e determinado. S = f(; ; )g
8 8 a x + ::: + a n x n = b >< a x + ::: + a n x n = b >: : : : a m x + ::: + a mn x n = b m Matriz dos coe cientes do sistema: A = a a n.. a m a mn Matriz aumentada do sistema: [A j B] = a a n j b.... a m a mn j b m Matriz dos termos independentes do sistema: B = b. b m
9 Classi car e Resolver sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss Operações elementares L i $ L j L i + L j! L j (L i! L i = 0) não necessária aplicadas à matriz aumentada [A j B] conduzem a matrizes em escada de linhas j 0 0 j 0 0 j 0 j j 0 = 0 j p j j j 0
10 A m n n o de colunas de A = n o total de variáveis do sistema = n car A = n o de linhas não nulas da matriz em escada obtida de A = = n o de pivots = n o de incógnitas não livres nul A = n o de incógnitas livres = grau de indeterminação do sistema = n o de colunas sem pivots 0 car A min fm; ng car A + nul A = n
11 A = 0 0 A = A = = p Pivots A : A : ; A : ; ; car A =, car A =, car A = nul A =, nul A =, nul A =
12 A m n Se car A = car [A j B] = n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução). Se car A = car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções). Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução).
13 Método de eliminação de Gauss. 8 >< >: x + z = x + y + z = y + z =?, 0 0 x y z = 0 j j 0 j! ( )L +L!L! L +L!L 0 j 0 j 0 0 j 0 j 0 j 0 j car A = car [A j B] = n =, o sistema diz-se possível e determinado. 8 >< >: x + z = y + z = z = C:S: = f(; ; )g R., 8 >< >: x = y = z =
14 8 >< >: z 9w = x + y 0z + 0w = x + y z + w =! L $L L!L! L +L!L j 0 0 j j! L +L!L j 8 j j j 0 0 j j!! j 0 0 j j 0! car A = car [A j B] = < = n, o sistema diz-se possível e indeterminado (in nitas soluções).
15 ( x + y z + w = z + w =, ( x = y w z = w + A solução geral do sistema é: S = f( y w ; y; w + ; w) : y; w Rg R
16 Seja a R! ::: j j a j a! ::: j 0 j 0 0 (a ) (a + ) j a. Se a = então car A = car [A j B] = < = n e o sistema diz-se possível e indeterminado. ( ( x + y + z = x = z + y z =, y = z + a solução geral do sistema é: f(z + ; z + ; z) : z Rg R Se a = então car A = < = car [A j B] e o sistema não tem solução e diz-se impossível. Se a = e a =, então car A = car [A j B] = = n e o sistema diz-se possível e determinado (tem solução única). S = n a+ a+ ; a a+ ; o a+
17 A = a a a n a a a n... A = (a ij ) mn a m a m a mn Se m = n A matriz quadrada a ; a ; :::; a nn : diagonal principal de A. Se m = n A matriz rectangular. matriz linha i de A: h ai a i a in i matriz coluna j de A: a j a j. a mj matriz nula 0 mn ou 0. 0 =
18 matriz diagonal matriz identidade I a a a nn matriz triangular superior matriz triangular inferior a a a n 0 a a n a nn a 0 0 a a a n a n a nn
19 A = B = 0 0 C = h 0 0 i A é, B é, C é a =, b =, c = 0
20 Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação M mn (R) M mn (C) De nição A = (a ij ) mn B = (b ij ) pq A = B se m = p n = q a ij = b ij
21 De nição A = (a ij ) mn B = (b ij ) mn A + B = (a ij + b ij ) mn. A = B = 0 9 C = = p D = = p A + B = C + D = 0 0 0
22 De nição escalar A = (a ij ) mn A = (a ij ) mn Notação A = ( )A A = A = 8 A = A 0A = 0 De nição A B = A + ( B)
23 Teorema. A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares. A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A + B = B + A = 0 ) B = A (A) = () A ( + ) A = A + A A + : : : + A {z } n vezes = na: (A + B) = A + B
24 De nição A = (a ij ) mp B = (b ij ) pn AB = a i b j + ::: + a ip b pj mn = px k= a ik b kj A mn a. a p. a i. a ip. a m a mp b b j b n... b p b pj b pn = = pp k= pp k= a k b k a mk b k pp k= a ik b kj pp k= pp k= a k b kn a mk b kn
25 De nição A nn A p = A:::A {z } (A = 0) a a a nn p = p vezes A 0 = I (a ) p (a ) p (a nn ) p Em geral AB = BA 0 A = 0 B = 0 0 AB = 0 0 BA = 0 0 CD = 0 ; (C = 0 ou D = 0) C = D = CD = = 0
26 h i = p = = ( ) + + p = h p i = p h i = = ( ) ( ) ( ) p p p = p p p
27 = = 0 h i = h i =
28 Teorema. A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares. A (BC) = (AB) C Se A fôr quadrada (A m ) n = A mn A (B + C) = AB + AC (B + C) D = BD + CD (AB) = (A) B = A (B) AI = A IB = B A0 = 0 0B = 0
29 8 >< >: a x + ::: + a n x n = b : : : a m x + ::: + a mn x n = b m, AX = B A = a a n.. a m a mn X = x. x n B = b. b m S = s. s n ou S = 8 >< >: (s ; :::; s n ) {z } R n 9 >= >; é uma solução de AX = B se AS = B
30 A = a a n.. a m a mn X = x. x n MUITO IMPORTANTE: AX = a. a m x + + a n. a mn x n
31 Se AX = B tem duas soluções distintas X 0 e X então terá in nitas soluções. Sistema linear homogéneo: AX = 0 X = x. x n? tal que 8 >< >: a x + ::: + a n x n = 0 : : : a m x + ::: + a mn x n = 0 À solução geral do sistema linear homogéneo AX = 0 chama-se núcleo de A e escreve-se N (A) N (A) = fx : AX = 0g AX = 0 admite pelo menos a solução trivial: X = x. x n = Todo o sistema linear homogéneo tem solução: ou tem só a solução trivial ou tem in nitas soluções Se A m n é tal que m < n então AX = 0 tem in nitas soluções 0. 0
32 Y; W soluções de AX = 0 + Y + W solucão de AX = 0 Y solução de AX = 0 + Y solução de AX = 0 solução geral de AX = B = solução particular de AX = B + solução geral de AX = 0
33 B a X = D, 0 0 a 0 a 0 0 a 0 0 x x x x = a 0 a A solução geral de B a X = D: (Sol. part de B a X = D) + (Sol. geral de B a X = 0) (0; 0; ; 0) é uma solução particular de B a X = D.
34 solução geral de B a X = 0: 0 0 a 0 a 0 0 a 0 0 :::! 0 a a a 8 >< >: x = x x = + a x = ax! x solução geral de B a X = 0: ( x ; + a x ; x ; ax ) : x R solução geral de B a X = D: f(0; 0; ; 0)g+ x ; + a x ; x ; ax : x R = = x ; + a x ; x ; ax : x R
35 Resolução Alternativa. 0 0 a j a 0 a j a j a 0 0 j :::! 0 a j 0 0 a j 0 0 a j a j 0 8 >< >: x + y + aw = 0 y + z aw = az + w = a, 8 >< >: x = z y = a + (z + ) w = a az solução geral de B a X = D: ( z ; a +!! (z + ) ; z; a az : z R ) = = z; + a z; z ; az : z R basta substituir z por z
36 De nição: A é invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I B é a matriz inversa de A e B = A A = A I = I 0 0 = 0 0
37 A inversa de uma matriz invertível é única. Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível. Se A é invertível e AB = AC então B = C Se A é invertível e AB = 0 então B = 0 Se existir l N tal que A l = 0 então A não é invertível
38 Teorema. Se = 0 e A é invertível então A é invertível e (A) = A Se A e B são invertíveis então AB é invertível (AB) = B A Se A é invertível então A m é invertível e (A m ) = A m A m = (A m )
39 Como inverter matrizes invertíveis do tipo n n Se A fôr invertível: AX = B, X = A B AX = IB, IX = A B [A j I]! ::: h I j A i Método de eliminação de Gauss-Jordan! ::: j 0 j 0 0 j 0 j! = j 0 0 j! ::: = = I
40 A = 9 8 [A j I] =! ::: 9 8 j 0 0 j 0 0 j 0 0 j j j! ::: Logo, A não é invertível.
41 A n n AX = B tem a solução única X = A B m A é invertível, car A = n m AX = 0 tem a solução única X = 0 A, B n n AB invertível, A e B são invertíveis: A n n AB = I + BA = I e B = A
42 A transposta de A = (a ij ) mn é A T = (a ji ) nm a a a n a a a n... T = a a a m a a a m... a m a m a mn a n a n a mn T = 0 0 0
43 Teorema. A T T = A (A + B) T = A T + B T (A) T = A T (AB) T = B T A T (A A :::A n ) T = A T n :::A T AT
44 A n n é simétrica se A = A T (a ij = a ji ) 0 A n n é anti-simétrica se A = A T, a ij = a ji 0 0
45 Teorema. Se A é invertível então A T é invertível e A T = A T Se A é simétrica invertível então A é simétrica Se A e B são simétricas, AB é simétrica, AB = BA
46 A = (a ij ) nn traço de A é o número real (ou complexo) tr(a) = a + ::: + a nn = nx i= a ii. tr! =. A = (a ij ) nn B = (b ij ) nn escalar tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(a) = tr(a) tr(a T ) = tr(a) tr(ab) = tr(ba)
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