Para uma matriz de ordem 2 podemos usar o resultado obtido em um dos exercícios da aula 41.

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1 Resoluções das atividades adicionais Capítulo Grupo A a) L L L L L L L Logo A Para uma matriz de ordem podemos usar o resultado obtido em um dos eercícios da aula 4 a b Se A c d, então A d b ad bc c a Nesse caso, temos A b) L L + L L L+ L L L L L L L L 9 9 L L 9 9

2 L L+ L L L + L L L L Portanto A c) L L L L L + L L LL 4 L L 4 L L 4 L LL L L L L L L

3 Portanto A 4 4 alternativa A Vamos encontrar a inversa de A: B A Logo, b alternativa A Se a matriz A for inversível, então temos: A ( A X) A ( B) ( A A) X A B I X A B X A B, mas não podemos garantir que A possui inversa Logo é possível que a equação A X B não tenha solução 4 alternativa D a b A inversa da matriz A c d é a matriz A d b ad bc c a, e essa inversa eiste se, e somente se, ad bc As matrizes que possuem inversa são:,,,, e ; as outras não satisfazem ad bc alternativa E Se A então A ( ) A A Logo: ( A + A ) ( A + A) ( A) 8A

4 6 a) Temos que A ( ) A A + b) Essas matrizes têm a forma A ( ) Portanto A ( + ) ( + ) ( ( )) ( + ) A + ( ) A + ( ) A alternativa A Como A B I, então multiplicamos por B dos dois lados A X A C B ( A X A) B B ( C) B ( B A) X ( A B) B C B Como A B B A I,en- tão I X I B C B X B C B 8 alternativa D Vamos encontrar a inversa dessa matriz L L L L L L L L L LL L L + L 4

5 Logo, a inversa é O elemento a é 9 alternativa A Como a inversa de a b c d é d b cd bc c a,sead bc, então a inversa de é 64 a) Verdadeira Para z, C X 69 6 X X deve ser uma matriz com duas linhas e uma coluna; seja a X b, então temos: a + b 64 a 6a + b 69 b a + b a + b 64 a 6a + b 69 + b 64 a b a 6 + b 69 Logo a soma dos elementos de X é a + b b) Verdadeira Vamos encontrar a inversa de A: L L z z L L L z z

6 Nesse ponto podemos parar, pois o próimo passo seria multiplicar a segunda linha por (ou dividir por z para + z subtrair com a outra linha depois), logo+ z z t c) Falsa B B d) Falsa AB C 6 z z ( ) ( ) + + ( ) z + + z + z + 6 z Igualando os elementos da segunda coluna, temos: + + z z a) Verdadeira a64 ( ) a64 4 t t t b) Falsa Na verdade ( A B) B A a b c) Falsa A inversa de uma matriz A c d é a matriz A d b ad cb c a se ad cb A inversa de A é A ( ) A d) Verdadeira Como B A t, então b a + 8 6

7 alternativa B t ( X A) B, vamos tomar a transposta: t t t [( X A) ] B, mas a transposta de uma transposta é a própria matriz, então temos: t t X A B ( X A) A B A t t t X ( A A ) B A X I B A X B A alternativa E Como A B e a inversa de a c A 4 4 A + b d é d ad bc c b a, então 4 A A B B ( ) A B + + ( ) + + ( ) A B Logo ( A B) ( A B) Veja que: B A + ( ) ( ) + + ( )( ) ( ) + ( ) B A ( A B)

8 alternativa C Como AY B e A X B A X AY A ( A X) A ( AY) ( A A ) X ( A A) Y I X A Y X A Y X X ( ) + + ( ) + + ( ) + + ( ) X + + ( )( ) X alternativa B Como A, então A A Logo A + A + + a b Seja A c d a matriz certa, o aluno escreveu A a b c d, logo, a inversa dessa matriz é: A d b a d ( b) c c a A X A A X A ( ) ( A A) X A I X A 8

9 + X A d b ad bc c a d + b d + b X ad + bc c a c a 4 b d + X ad bc a c b d ad bc a c b + a + d + 4 b + a c + c d + 4 Desse modo ad + bc 4 +, o que é consistente; logo a matriz correta era A 4 a b 8 Seja A c d, devemos ter A A I a b 4 c d a + c b + d + + a ( 4) c b ( 4) d a + c b + d a 4c b 4d a + c a + c b + d b + d E esse sistema não possui solução a + c a 4c b + d b 4d 9 M t, M M, ( Mt ) 9

10 ( M t ) e ( M ) t Verificamos que ( M ) ( M ) t t t Como A A Logo A e A A para Grupo B A matriz A tem posto se, e somente se, todas as linhas são múltiplas escalares umas das outras, ou seja: a b + c 6 b + c a c a + b a b + c 4 b + c a c a + b Somando as duas primeiras equações, obtemos c 6 c Assim, b + a b a e a + a a e b Logo a, b e c a) Verdadeira Se a matriz A satisfaz A A A, ela admite inversa, de modo que A A I b) Falsa Se a matriz A satisfaz A A A, ela admite inversa Como a matriz nula não tem inversa, ela não satisfaz as condições dadas n m c) Falsa Temos A m n e A A A A I n m m n n m m n n n + m m n m + m n + + m + n m n n m m m n n mn

11 ( m en ) ou ( n em ) ( m en ) ou ( m en ) ou ( m en ) ou ( m e n ) Assim, por eemplo, satisfaz as condições dadas d) Verdadeira Observando o item anterior, as quatro matrizes são,, e O resultado do teste é a) A inversa de M é M ( ) b) Como Q EM P , o ponto pedido é (; ) 4 alternativa A Temos ( X ) B XA B X B A ( AB) A ( ) ( ) + 6 ( ) 6 6 6

12 alternativa A SendoP, B PAP ( ) 9 6 a ( ) b + + ( ) a 6 b 9 a 6 + ( ) 6 + b 9 ( ) 9 a b 4 t a 4 b 6 a) Observe primeiro que P P P P I Assim, P éortogonal se, e somente se: a a b b a + + b b a + b b + a b t

13 + b) A b ( QR) b R Q b R Q b alternativa A Temos A 4 + ( ) + ( ) + ( ) + ( 4 ) + ( ) + ( 4 ) Assim, U A A Desse modo, U é inversível se, e somente se, ( + 8) ( + ) ( + ) e Assim, o conjunto pedido é { R e }

14 8 a) Chamando de r, s e t as retas representadas pelas equações +, e +, respectivamente, temos: s r t Como não eiste um ponto comum às retas, o sistema não tem solução b) Para o sistema dado, temos A, e b T T Portanto A A A b ( 6 4) Uma solução aproimada para o sistema dado é ; 4 4

15 9 alternativa C Temos A A 4 4 Como A é diagonal, 4 alternativa C + log Temos a log, b log 8 8, c log 8 log ( ) 8 e d log 6 log ( ) 6 Assim A A matriz B é a inversa de A, que é n n Note primeiro que A ( A ) Alémdisso,comoA, A, A, A podemos suspeitar de n n n n que A n De fato, indutivamente, n n n n+ n n + n A n n + ( + ) Logo A n n n n n ( A ) n n n n n

16 n n n e A n n n A n n n n n n n + ( ) Como n é ( n + ) natural, n + > e ( ) ou ( e n é ímpar) Temos AXB B A AXB B A B B X A B ( ) ( ) + + ( ) ( ) M ( ) ( ) + ( ) ( ) + cos cos cos sen ( sen ) sen cos cos + sen sen sen cos cos sen sen cos sen cos 4 Observe primeiro que det B ( ), ou seja, a matriz B é inversível Assim, C X B B A B C C X B B C B A B B X ( AB) B A Como AB + + ( ) + + ( ), ( AB) e 6

17 X ( ) + ( ) 4 ( ) ( ) 9 6 k Temos M k Assim: a) Falsa Para k, M, que não é simétrica (na verdade, M é simétrica se, e somente se, k ) b) Verdadeira Como ( k) k k k, a matriz M é inversível se, e somente se, k e sua inversa é k k det M k k k k c) Falsa Como m para todo k real, M nunca pode ser igual à identidade de ordem d) Verdadeira Para k, ( ) M ( ) ( ) Assim, os vértices do triângulo são A (;, ) B ( ; ) e C ( ; ) Como mab mac, e AB AC +, o triângulo ABC é isósceles e retângulo em A e) Verdadeira M a k a b k b k + a k a k b k b b k a k 6 alternativa A Seja c [ z t] a primeira coluna de A Como A A I e a primeira linha de A é [ ], c + + z + t + + z + t

18 alternativa A M N X P M( M N X) M( P) ( M M ) N X M P I N X M P N X M P z z Logo + + z ( ) + ( ) + + z z 8 alternativa C Vamos encontrar A, lembrando que z L L L L z z L L L L L zl z ( + z) L L L L z ( + ) 8

19 L L L z ( + z) z Logo A ( + z) A soma dos termos da primeira coluna de A é Seja B, então temos P A B P( P A) P B ( P P ) A P B I A P B P B A ( P B) B A B P ( B B ) A B P I A B P A B Mas B B 6 6 ( ) 6 4 alternativa E Veja que ( A B) B A, logo, para o produto A B possuir inversa, então A e B devem ser inversíveis: A a a a a a Logo, ( )( ) a 8 B a a a Logo, 8 a a 8 Portanto: a a ( ) a a a a9 a a aa ( ) a a 9