Lista de exercícios 3 Aritmética Matricial

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1 Universidade Federal do Paraná 2 semestre 26. Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 3 Aritmética Matricial Exercício : Se A e B , calcule: a 2A, c 2A 3B e AB g A B b A + B d (2A (3B f BA h (BA Exercício 2: Para cada um dos pares de matrizes que se seguem, determine se é possível multiplicar a primeira matriz pela segunda. Se for possível, execute a multiplicação. a b ( ( 2 3 c d ( ( e f ( ( , ( Exercício 3: Para que pares no exercício 2 é possível multiplicar a segunda matriz pela primeira, e qual seria a dimensão da matriz produto? Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma equação matricial. { 3x + 2x 2 a x + x 2 5 2x + 3x 2 + x 3 4 2x 3x 2 5. b 2x + x 2 x 3 6 c x + x 2 + 2x 3 2 3x 2x 2 + 2x x + 4x 2 x 3. Exercício 5: Se A ( a (A+B+C A+(B+C, ( 2, B 4 e C c A(B + C AB + AC, ( 3 2 verifique que: b A(BC (ABC, d (A + BC AC + AB. Exercício 6: Seja A ( 2 2 ( 4, b e c ( 3 2 a Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a e a 2. b Use o resultado da parte a para determinar a solução do sistema Ax b. O sistema tem outras soluções? Explique. c Escreva c como como uma combinação linear dos vetores coluna a e a 2.

2 Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o sistema Ax b é consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A. Explique sua resposta em cada caso. ( 2 a A 2 ( 4 b A 2 3 ( 3, b, b ( 5 5 c A , b Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funcionam quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n n A e B: a (a + b 2 a 2 + 2ab + b 2, b (a + b(a b a 2 b 2, Exercício 9: Encontre matrizes A e B, não nulas, tais que AB. Encontre matrizes não nulas A, B, C tais que AC BC e A B. ( Exercício : A matriz A tem a propriedade A 2. É possivel para uma matriz simétrica 2 2 ter essa propriedade? Demostre sua resposta. ( /2 /2 Exercício : Seja A. Calcule A /2 /2 2, A 3. Que serà A n? Exercício 2: Seja A. Mostre que A4 para n 4. Exercício 3: Seja A uma matriz n n e sejam x e y vetores em R n. Mostre que se Ax Ay e x y, então A deve ser singular. ( cos θ sin θ Exercício 4: Dado R. Mostre que R é não singular e R sin θ cos θ R. Exercício ( 5: Uma matriz n n A é dita uma involução se A 2 I. Considere q matriz cos θ sin θ G. Mostre que G é involução. Qual é a inversa de G? sin θ cos θ Exercício 6: Uma matriz A é dita uma idempotente se A 2 A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente: a (, b ( 2/3 /3 2/3 /3, c /4 /4 /4 /4 /4 /4 /2 /2 /2. Exercício 7: Seja A uma matriz idempotente. Mostre que I A tambem é idempotente. Mostre que I + A é não singular e (I + A I A/2. 2

3 Soluções Resolução do Exercício : Se A Calculemos que: a 2A 2 2, b A + B c 2A 3B d (2A (3B e B e AB f BA g A B h (BA , Resolução do Exercício 2: Lembremos que a multiplicação de matrizes é uma definida como uma aplicação: M m,n (R M n,r (R M m,r (R, onde m, n, r N. Em particular, para que o produto AB de duas matrizes A e B seja bem definido, o número de colunas de A tem que conferir com o número de linhas de B. ( ( ( ( 2 ( a d e O produto não é definido. b O produto não é definido. c f 4 3 ( Resolução do Exercício 3: Semelhantemente, calculemos: 2 ( 4 4 a b ( c O produto não é definido. (

4 d O produto não é definido. ( ( e f O produto não é definido Resolução do Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma equação matricial. a Consideremos as matrizes A, x e b, definidas por: ( ( 3 2 x A : M 2 3 2,2 (R, x : M 2, (R, b : x 2 ( M 5 2, (R, então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: { ( ( ( 3x + 2x x 2x 3x x 2 5 A x b. b Semelhantemente, considerando as matrizes A, x e b definidas por: x 5 A : 2 M 3,3 (R, x : x 2 M 3, (R, b : 6 M 3, (R, x 3 7 então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: x + x x + x 2 x 3 6 3x 2x 2 + 2x A x b. x x 2 x 3 c Semelhantemente, considerando as matrizes A, x e b definidas por: 2 3 x 4 A : 2 M 3,3 (R, x : x 2 M 3, (R, b : 2 M 3, (R, 3 4 x 3 então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: 2x + 3x 2 + x x 4 x + x 2 + 2x x 2 2 3x + 4x 2 x x 3 A x b. 6 7 Resolução do Exercício 5: É so fazer as contas, e verificar que conferem as igualdades! ( ( ( Resolução do Exercício 6: Seja A, b e c 2 2 4

5 a Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a e a 2. A amatriz A tem colunas: ( ( ( 2 2 A isso é: a 2 e a 2. 2 É fácil escrever b como combinação linear de a e a 2, da seguinte maneira: ( ( ( ( b a a 2. b Escrevemos explicitamente o sistema Ax b, obtemos: Ax b ( 2 2 ( x x 2 ( 4 { x + 2x 2 4 x 2x 2. Observe que x (x, x 2 é solução do sistema se e somente se: x.a + x 2.a 2 b, ou seja, exatamente quando (x, x 2 é o próprio par de coeficientes que permitem escrever b como combinação linear de a e a 2. Isto segue da seguinte conta: { x + 2x 2 4 x 2x 2. ( x. ( 2 + x 2. 2 Vimos no a que b é combinação linear de a e a 2, com coeficientes x 2 e x 2, logo (x, x 2 (2, é solução do sistema. É claro que (x, x 2 (2, é a única solução pois os vetores a e a 2 não são colineares (faça um desenho, se precisa. ( 4 Pode-se verificar resolvendo o sistema, que de fato, o conjunto solução é dado por: S {(2, }. c Tentando repetir o raciocinho, revela-se mais difícil escrever c direitamente como uma combinação linear de a e a 2 : ( ( ( 3? 2 c x 2. + x 2 x 2.a + x 2.a 2. Porem, sempre vale que conseguir (x, x 2 como acima é equivalente a resolver um sistema: ( ( ( { 2 3 x + 2x 2 4 x. + x x 2x 2. Logo basta reslover o sistema. Obtemos o seguinte conjunto solução S {( 5/2, /4}. Podemos verificar que, de fato: 5 ( ( ( Alem disso, a solução do sistema sendo única, este é a única maneira de escrever c como combinação linear de a e a 2. Note que esta unicidade segue de a e a 2 (não depende do escolho de c. Resolução do Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o sistema Ax b é consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A. Explique sua resposta em cada caso. 5

6 a O sistema associado é dado por: { 2x + x 2 3 2x + x 2. Ele é consistente, e tem solução única S {(/2, 2}. Obtemos b como combinação linear das colunas de A: ( 3 ( ( b O sistema associado é dado por: { x + 4x 2 5 2x + 3x 2 5. Ele é consistente, e tem solução única S {(, }. Obtemos b como combinação linear das colunas de A: ( ( ( c O sistema associado é dado por: 3x + 2x 2 + x 3 3x + 2x 2 + x 3 3x + 2x 2 + x 3. Ele é inconsistente, S, logo é impossível obter b como combinação linear das colunas de A (o que é fácil ver num desenho em R 3 tambem. Resolução do Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funcionam quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n n A e B: a Sendo duas matrizes n n, A e AB, temos : (A + B 2 (A + B(A + B A(A + B + B(A + B AA + AB + BA + BB A 2 + AB + BA + B 2 A 2 + 2AB + B 2 pois para matrizes AB BA em geral, logo AB + BA 2AB tambem. b Semelhantemente: (A + B(A B A(A B + B(A B AA AB + BA BB A 2 AB + BA B 2 A 2 B 2 pois para matrizes AB BA em geral, logo AB + BA. 6

7 Resolução do Exercício 9: a Sejam A, B M 2,2 (R as matrizes dadas por: ( A :, B : (. Então verifica-se facilmente que AB, embora nem A nem B seja nula. Observação. O que é importante aqui é de notar que este fenômeno não acontece com o produto de números reais, ou complexos: pois se ab, com a, b R ou C, então necessariamente, tem-se a ou b... Este exibe um comportamento bastante singular das matrizes em relação ao produto. b Usando as regras álgebricas do produto matricial, podemos observar o seguinte: AB AC AB AC A(B C. Logo podemos usar o item a precedente para conseguir matrizes explicitas, pegando por exemplo: ( ( ( A :, B :, C :. Verifica-se facilmente que AB BC, embora B e C sejam matrizes diferentes. Observação. De novo, o objetivo deste exercício e de ressaltar algumas diferenças entre o produto matricial e o produto em R ou em C. Neste case, observe que não pode-se dividir pela matriz A para simplificar a igualdade: temos AB AC, embora B C e A. Veremos que pode-se simplificar jà que a matriz A é invertível, o que não é o caso neste exemplo. Resolução do Exercício : Seja A M 2,2 (R uma matriz simétrica, então A é necessariamente da forma: ( a b A. b c Logo pode-se calcular facilmente que: ( ( A 2 a b a b A.A b c b c ( a 2 + b 2 ab + bc ab + bc b 2 + c 2. Em particular, é fácil ver que se A 2, então a 2 + b 2 b 2 + c 2, o que implica que a b c. Concluímos que a matriz nula A é a única matriz simétrica 2 2 tal que A 2. Observação. Este resultado não vale se não sopormos que A seja simétrica. O exemplo mais básico serià o segnuinte: considere a seguinte matriz, que não é simétrica: ( A. Então é fácil verificar que A satisfaz A 2, porem A. De novo, observe a diferença com o produto usual em R ou C. 7

8 Resolução do Exercício : Calculemos que: A 2 ( /2 /2 /2 /2 ( /2 /2 /2 /2 ( /4 /4 /4 /4 /4 + /4 /4 + /4 ( Logo A 2. Segue que A 3 A 2 A A, e semelhantemene, para n 2 temos A n A 2 A n 2 A n 2. Observação. Para ser rigoroso, teria que proceder por indução, como no seguinte exercicio. Resolução do Exercício 2: Calcula-se facilmente que: A A 2 A 3 A 4 Observação. O que é (ou deveria ser... surprendente neste exemplo é o seguinte: temos que A, A 2, A 3, porem A 4. Pode-se observar como a linha diagonal de "esta subindo", ate desaparecer... Este descreve de maneira intuitiva o comportamente de matrizes não nulas cuja potencia A n se anula para n suficientemente grande. Jà que A 4 se anula, é fácil ver que A n para n 4. Mostremos isto por indução: notemos (P n a seguinte propriedade: (P n : A n. Calculemos acima que (P n é verdade para n 4. Agora, suponha que (P n seja satisfeita, então temos: A n+ A n A A onde usàmos (P n em. Logo (P n (P n+ e podemos concluir que A n para n 4. Resolução do Exercício 3: Seja A uma matriz n n e x e y vetores em R n tais que Ax Ay e x y. Vamos provar por contradição que A é singular.. 8

9 Suponha que A é não singular, ou seja, que A admite uma inversa A. Então, teremos: Ax Ay A (Ax A.(Ay A} {{ A} x A} {{.A} y I I }{{} Ix x }{{} Iy y x y. Este contradiz a hipótese que x y, logo A não pode ser invertível. Resolução do Exercício 4: Calcula-se que: ( ( R.R cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ ( cos 2 θ + sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ + sin 2 θ ( Seguem duas coisas desta conta: o fato que R é não singular, e tambem o fato que R R. Resolução do Exercício 5: Calcula-se que: ( ( G 2 cos θ sin θ cos θ sin θ G.G sin θ cos θ sin θ cos θ ( cos 2 θ + sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ + sin 2 θ ( ( cos θ sin θ Uma matriz n n A é dita uma involução se A 2 I. Considere a matriz G :. sin θ cos θ Logo G 2 I, isso é, G é uma involução. Em particular, G.G I, logo G é não singular, e a inversa de G a a própria matriz G. Observação. Note de novo a diferença com o calculo usual em R ou C, onde os únicos números g reais ou complexos tais que g 2 são e. Resolução do Exercício 6: Basta verificar fazendo cada vez as contas que A 2 A. Resolução do Exercício 7: Suponha que A é uma matriz idempotente, iso A verifica A 2 A. Então, para verificar que I A tambem o é. calculemos: logo I A tambem é idempotante. (I A 2 (I A(I A I(I A A(I A II IA AI + AA I A A + A I A, 9

10 Para ver que I + A é não singular e (I + A I A/2, basta calcular: (I + A(I A/2 (I + A(I A/2 I(I A/2 + A(I A/2 II IA/2 + AI AA/2 I A/2 A + A/2 I. Referências [] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC 2.