Estado estacionário condução + convecção

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1 Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de orena Departamento de Engenharia de Materiais Estado estacionário condução + convecção Prof. uiz T. F. Eleno Escola de Engenharia de orena da Universidade de São Paulo (EE USP) Departamento de Engenharia de Materiais (Demar) luizeleno@usp.br Material de apoio para OM3083 Fenômenos de Transporte em Engenharia de Materiais e OM3213 Fenômenos de Transporte B Área I EE USP Área II Estrada Municipal do Campinho s/nº Pólo Urbo-Industrial AI-6 CEP orena SP CEP orena SP Tel. PABX (12) Tel. PABX (12)

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3 Estado estacionário condução + convecção, Prof. uiz T. F. Eleno luizeleno@usp.br Sumário 1 Um problema de estado estacionário Enunciado Resolução A Resolução de sistemas lineares 5 B Inversas de matrizes Material de apoio para OM3083 Fenômenos de Transporte em Engenharia de Materiais e OM3213 Fenômenos de Transporte B. Versão Escola de Engenharia de orena da Universidade de São Paulo (EE USP), Departamento de Engenharia de Materiais (Demar). 1

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5 1. UM PROBEMA DE ESTADO ESTACIONÁRIO 1 Um problema de estado estacionário 1.1 Enunciado A lista de exercícios n.º 2 contém o seguinte problema: considere uma parede aquecida por convecção de um lado e resfriada por convecção do outro, em regime estacionário. Mostre que o fluxo de calor através da parede é q = h ef (T 1 T 2 ) sendo T 1 e T 2 as temperaturas no interior dos fluidos dos dois lados da parede e h ef é um coeficiente efetivo de transferência de calor, dado por 1 h ef = + h 1 k (1.1) h 2 em que h 1 e h 2 são os coeficientes de transferência de calor por convecção dos dois lados da parede e e k são a espessura e a condutividade térmica da parede, respectivamente. Dicas: suponha regime estacionário e use matrizes 2 2 para resolver o sistema de equações lineares. 1.2 Resolução A Figura 1 ilustra esquematicamente o T perfil térmico do problema. Para que o 1 fluxo de calor ocorra da esquerda para a T a direita, tomamos T 1 > T 2, mas o equacionamento continua válido caso contrário. Estamos supondo regime estacionário e, por este motivo, as temperaturas T b T a e T b, indicadas na Figura 1, devem T permanecer constantes. Além disso, o 2 perfil térmico no interior da parede é linear. As incógnitas do problema são T a Figura 1: Perfil térmico do problema. e T b. Em regime estacionário, o fluxo de calor q deve ser sempre constante, em qualquer ponto ao longo da parede, incluindo seus contornos. Isso nos leva à seguinte igualdade: q = h 1 (T 1 T a ) = k T b T a = h 2 (T b T 2 ) (1.2) que nos permite escrever duas equações independentes. Para manter o problema simétrico matematicamente, vamos extrair duas equações a partir da Eq. (1.2): h 1 (T 1 T a ) = k T b T a h 2 (T b T 2 ) = k T (1.3) b T a Podemos reescrever este sistema de equações como h 1 + k T a k T b = h 1 T 1 k T a + h 2 + k (1.4) T b = h 2 T 2 3

6 PROF. UIZ T. F. EENO ESTADO ESTACIONÁRIO CONDUÇÃO + CONVECÇÃO O sistema dado pela Eq. (1.4) pode ser resolvido facilmente mas, para simplificar ainda mais, vamos colocá-lo em forma matricial: h1 + k/ k/ k/ h 2 + k/ Ta h1 T = 1 T b h 2 T 2 (1.5) Consideremos agora a matriz h1 + k/ M = k/ k/ h 2 + k/ (1.6) O determinante de M é dado por det M = (h 1 + h 2 ) k + h 1h 2 (1.7) Por razões que ficarão claras mais adiante, vamos reescrever a Eq. (1.7) de uma forma um pouco diferente: k 1 det M = h 1 h 2 + h 1 k + 1 (1.8) h 2 Utilizando o valor de h ef definido pela Eq. (1.1), chegamos a det M = h 1h 2 h ef k (1.9) Agora vamos tentar resolver o sistema dado pela Eq. (1.5). Usando os resultados nos apêndices A e B, podemos isolar o vetor com as incógnitas: Ta T b = 1 det M h2 + k/ k/ k/ h 1 + k/ h1 T 1 h 2 T 2 (1.10) que, levando a cabo a multiplicação de matrizes e usando o valor de det M dado pela Eq. (1.9), simplificamos para Ta = h ef h1 h 2 T 1 + (h 1 T 1 + h 2 T 2 )k/ T b h 1 h 2 k h 1 h 2 T 2 + (h 1 T 1 + h 2 T 2 )k/ (1.11) A princípio, as temperaturas T a e T b estão calculadas. No entanto, para calcular o fluxo, precisamos apenas do valor da diferença T a T b, que é imediatamente encontrado usando a Eq. (1.11) e simplificando: T a T b = h ef k (T 1 T 2 ) (1.12) Para terminar, lembremos que o fluxo de calor é dado pela Eq. (1.2), ou seja, q = k T b T a (1.13) Finalmente, usando a Eq. (1.12), chegamos ao resultado esperado: q = h ef (T 1 T 2 ) (1.14) 4

7 A. RESOUÇÃO DE SISTEMAS INEARES A Resolução de sistemas lineares Um sistema linear com n equações independentes em n incógnitas pode sempre ser colocado em forma matricial como A x = b (A.1) sendo A a matriz quadrada com os coeficientes das variáveis nas equações, x o vetorcoluna com as variáveis e b um vetor-coluna com os coeficientes livres das equações. A solução da Eq. (A.1) é simplesmente dada por x = A 1 b (A.2) sendo A 1 a inversa da matriz A. B Inversas de matrizes 2 2 Considere a matriz quadrada 2 2 abaixo: a A = c b d (B.1) A inversa de A é dada simplesmente por A 1 = 1 d det A c b a (B.2) sendo que det A = ad bc (B.3) é o determinante da matriz original. Naturalmente, A é invertível apenas se det A 0. Pode-se verificar que a matriz A 1 é realmente a inversa de A calculando os produtos A A 1 = A 1 A = (B.4) Repare que a matriz que aparece na Eq. (B.2), em relação à matriz original, tem os mesmos elementos da diagonal principal, mas com as posições trocadas, e os mesmos elementos na outra diagonal, nas mesmas posições mas com os sinais trocados. Para quem trabalha muito com matrizes 2 2, esta regra mnemônica é extremamente útil. 5