Séries Numéricas 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?

Transcrição

1 SÉRIES NUMÉRICAS

2 Séries Numéricas Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?

3 Progressão Aritmética Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de progressões aritméticas: Ø 1, 4, 7, 10, 13,..., é uma P.A em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3. Ø -2, -4, -6, -8, -10,..., é uma P.A. em que r = -2. Ø 6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.A. com r = 0.

4 Exemplo Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,...) r = a 2 a 1 = 9 5 = 4 ou r = a 3 a 2 = 13 9 = 4 ou r = a 4 a 3 = = 4 e assim por diante. DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

5 TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a 20 = a r ou a 20 = a r ou a 20 = a r

6 TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

7 Progressão Aritmética Exemplos: Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que: DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central. Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

8 SOMA DOS n TERMOS Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos: DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos, multiplicada pelo número de casais (n/2).

9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

10 Progressão Geométrica Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

11 Alguns exemplos de progressões geométrica:s Ø1, 2, 4, 8, 16,..., é uma P.G em que a razão é igual a 2. Ø-1, -3, -9, -27, -81,..., é uma P.G. em que q = 3. Ø6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.G. com q = 1. Ø(3, 9, 27, 81, 243,...) é uma P.G Crescente de razão q = 3 Ø(90, 30, 10, 10/3,...) é uma P.G Decrescente de razão q= 1/3

12 Exemplo Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) q = a 2 / a 1 = 2/1 = 2 ou q = a 3 /a 2 = 4/2 = 2 ou q = a 4 /a 3 = 8/4= 2 e assim por diante. DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

13 TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a 20 = a 1 q 19 ou a 20 = a 7. q 13 ou a 20 = a 14. q 6 ou a 20 = a 18.q 2

14 TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,

15 Exemplo Na P.G (2,4,8,16,...) veremos que : DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.

16 SOMA DOS FINITOS TERMOS Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:

17 SOMA DOS INFINITOS TERMOS Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos: DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.

18 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

19 CESPE Se, em uma progressão aritmética, o segundo termo for igual a 1 e o quinto termo for igual a 11, então o décimo termo será igual a a) 30. b) 31. c) 35. d) 50. e) 95.

20 A sequência infinita: a0, a1, a2, a3,... é definida por: a0 = 1, a1 = 3 e, para cada número inteiro n 1, a2n = a2n-1 + a2n-2, e a2n+1 = a2n - a2n-1. Com relação a essa sequência, julgue o item seguinte. A soma a10 + a9 é superior a 20. Certo Errado CESPE

21 Com relação a uma sequência numérica a1, a2,, an, julgue o item subsequente. Se a sequência estiver em progressão aritmética com razão igual a 10 e a1 = 5, então a10 > 100. Certo Errado CESPE

22 Com relação a uma sequência numérica a1, a2,, an, julgue o item subsequente. Se a sequência for uma progressão geométrica (PG), em que a1 = 5 e a4 = 135, então a razão dessa PG será maior que 4. Certo Errado CESPE

23 CESPE Com relação a uma sequência numérica a1, a2,, an, julgue o item subsequente. Se a sequência for uma sequência de Fibonacci, em que a1 = 4 e a2 = 9, então a6 = 57. Certo Errado

24 Com relação a uma sequência numérica a1, a2,, an, julgue o item subsequente. Considere que a sequência seja formada pelos seguintes termos, nessa ordem: 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37. Nesse caso, a sequência numérica bj = aj aj, em que j = 1, 2,, 6 forma uma progressão aritmética. Certo Errado CESPE

25 MATRIZES

26 DEFINIÇÃO Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros. M = à M é uma matriz 2 x 3. Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde i refere-se à linha e j refere-se à coluna na qual o elemento se encaixa. Na matriz, temos : a 11 = 4 a 12 = 9 a 13 = 10 a 21 = 8 a 22 = 6 a 23 = 5

27 ELEMENTOS

28 TIPOS DE MATRIZES

29 Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

30 Adição e subtração de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B, o mesmo ocorre para a subtração. A única necessidade é que as matrizes sejam do mesmo tamanho nxm.

31 ümultiplicação de número real por matriz Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz.

32 ümultiplicação de matrizes Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos.

33 Exemplo Resolvido ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

34 ATENÇÃO O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

35 DEFINIÇÃO MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra matriz denotada A -1, tal que A. A -1 = I onde I, é a matriz identidade.

36 MÉTODO PRÁTICO É necessário calcular o determinante da matriz (caso o determinante de igual a zero, não existe matriz inversa para ela). Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária. MÉTODO PP-SS :Inverte a POSIÇÃO da PRINCIPAL e muda o SINAL da SECUNDÁRIA

37 Determine a inversa da matriz A =

38 DETERMINANTES

39 Definição DETERMINANTE Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: üresolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; ücálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

40 Determinante de 1ª ordem O determinante da matriz A de ordem 1 é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real a 11. Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

41 Exemplo Resolvido ØM= [5] à det M = 5 ou I 5 I = 5 ØM = [-3] à det M = -3 ou I -3 I = -3

42 Determinante de 2ª ordem O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

43 Determinante de 2ª ordem Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

44 Determinante de 3ª ordem O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

45 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ØQuando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

46 ØSe duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

47 ØSe os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

48 ØO determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

49 ØMultiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

50 ØCaso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por k n.

51 ØQuando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

52 ØQuando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

53 ØPara A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que det (A.B)=det A.detB. Exemplo: Se A = e B = Assim det (AB) = deta.det B= 5.2 = 10 Repare que se tivessemos feito a multiplicação matricial A.B =, teríamos det( AB) = = 10.

54 ØPara calcular o determinante da inversa, temos : Se A =, logo

55 CUIDADO

56 MATRIZES E DETERMINANTES

57 Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz seja igual a 27. Nesse caso, se, então o determinante da matriz B - A, será igual a a) 30. b) 0. c) 3. d) 6. e) 10.

58 Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear. Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível. Certo Errado

59 Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear. Se a é um número real e se o determinante da matriz for igual a zero, então a = -2 ou a = 1. Certo Errado

60 Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear. Se 0 é a matriz nula n n, se I é a matriz identidade n n, e se P é uma matriz n n tal que P2 + 2P + I = 0, então P é inversível. Certo Errado