Matéria: Matemática Assunto: Progressão Aritmética Prof. Dudan

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Natan Back da Rocha
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3 Matemática PROGRESSÃO ARITMÉTICA Definição Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de progressões aritméticas: 1, 4, 7, 10, 13,..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3. -2, -4, -6, -8, -10,..., é uma P.A. em que r = -2. 6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.A. com r = 0. Exemplo: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,...) r = a 2 a 1 = 9 5 = 4 ou r = a 3 a 2 = 13 9 = 4 ou r = a 4 a 3 = = 4 e assim por diante. Dica: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor. CLASSIFICAÇÃO Uma P.A. pode ser classificada em crescente, decrescente ou constante dependendo de como é a sua razão (R). 3

4 Exemplos: I - (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,...) CRESCENTE pois r = +3 II - (26, 18, 10, 2, -6, -14, -22,...) DECRESCENTE pois r = -8 III - (7, 7, 7, 7, 7,...) ESTACIONÁRIA OU CONSTANTE pois r =0 TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo, o último termo ou o termo genérico dessa sequência. a n = a 1 + (n-1)r ou a n =a p + (n-p)r a 20 = Atenção! a r ou a 20 = a r ou a 20 = a r Exemplo Resolvido: Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. a 18 = 2 + (18-1). 5 a 18 = a 18 = logo a 18 = 87 O 18º termo da PA em questão é igual a

5 Matemática Prof. Dudan Faça Você: 1. Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17,...), determine: a) razão b) décimo termo c) a 14 d) termo geral 2. Calcule a razão da P.A. onde o terceiro termo vale 14 e o décimo primeiro termo vale A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é -12 vale: a) -5 b) -9 c) -6 d) -7 e) 0 4. Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao intervalo: a) [8,10] b) [6,8) c) [4,6) d) [2,4) e) [0,2) TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, 5

6 Exemplo: Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que ou, etc. Na P.A (1, 4, 7, 10, 13,...) veremos que ou, etc. Dica: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central. Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante. Faça Você: 5. Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13). 6. As idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Calcule o termo central da progressão (31, 33, 35,..., 79)

7 Matemática Prof. Dudan 8. Se uma PA de 3 termos a soma dos extremos é 12, o termo médio é: a) 5 b) -5 c) 6 d) -6 e) 0 9. Numa PA de nove termos, o primeiro termo é igual a 7 e o termo central é igual a 13. O nono termo dessa sequência é igual a: a) 26 b) 23 c) 21 d) 19 e) Sabendo que a sequência (1-3x, x - 2, 2x + 1) é uma P.A., determine o valor da razão. a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5 SOMA DOS n TERMOS Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos: Dica: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos, multiplicada pelo número de casais ( ). 7

8 Exemplo Resolvido: Na sequência numérica ( 1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. 1) Cálculo da razão da PA r = 3 ( 1) = = 4 ou r =7 3 = 4 ou r =11 7 = 4 2) Determinando o 20º termo da PA a 20 = 1 + (20 1) * 4 a 20 = * 4 a 20 = a 20 = 75 2) Calculando a Soma dos termos s 20 = 740 A soma dos 20 primeiros termos da PA ( 1, 3, 7, 11, 15,...) equivale a 740. Observe que a soma do 1 termo com o último(20 ) é 74 que multiplicada pelo número de casais formados com 20 pessoas (10 casais) totalizará 740. Faça Você 11. Calcule a soma dos vinte primeiros termos da sequencia (15, 21, 27, 33,...). 8

9 Matemática Prof. Dudan 12. A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão. 13. O termo geral de uma sucessão é a n = 3n + 1. A soma dos trinta primeiros termos dessa sucessão é igual a: a) 91. b) 95. c) 110. d) e) Uma exposição de arte mostrava a seguinte sequência lógica formada por bolinhas de gude: O primeiro quadro contém 5 bolas, o segundo contém 12 bolas, o terceiro contém 21 bolas, o quarto contém 32 bolas.... Cada quadro contém certa quantidade de bolas de gude e seguirá nesse padrão até chegar ao vigésimo quadro que tem n bolinhas. É correto afirmar que n vale: a) 420 b) 440 c) 460 d) 480 e)

10 15. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80 Gabarito: 3. C 4. B 6. D 8. C 9. D 10. E 13. D 14. D 15. C 10

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