PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Transcrição

1 Hewlett-Packard PROGRESSÃO ARITMÉTICA Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 018

2 Sumário Progressão Aritmética... 1 PRELIMINAR Definição de progressão aritmética (P.A)... 1 Exemplo Exemplo... 1 Exemplo Termo geral... 1 Exemplo Exemplo Exemplo 6... Classificação... Exemplo Propriedades da P.A... Exemplo Exemplo Representação especial Soma dos n primeiros termos Questões extras... 4 CAIU NO VEST... 4

3 AULA 01 Progressão Aritmética PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o padrão de sua formação e escreva seus dois próximos termos. I. (, 4, 6,,,... ) II. ( 1, 8, 4,,,... ) III. ( 1, 7,,,,... ) 1 3 IV. (1, 1, 1, 1,,, ) Definição de progressão aritmética (P.A) Uma progressão aritmética é uma sequência onde cada um dos termos, a partir do segundo, é obtido acrescentando-se um valor fixo (chamado razão) ao seu antecessor. Como obtivemos resultados constantes e iguais a, temos que a sequência é uma P.A de razão r =. Exemplo A sequência (, 3, 4, 6) não é uma P.A, pois sendo a a 1 = 1 a 3 a = 1 a 4 a 3 = constata-se que a diferença entre um termo e seu antecessor não é constante. Exemplo 3 A progressão aritmética (a n ) cujo primeiro elemento é 1 e a razão é 4 é dada por a 1 = 1 ; a = = 5 ; a 3 = = 9; Assim, (a n ) = (1; 5; 9; 13; ). Determinação da P.A Para determinar uma P.A basta conhecer o primeiro termo e a razão. Caso ela seja finita, também precisamos da quantidade de termos. Termo geral O termo geral de uma P.A é dado por: Assim, a = a 1 + r ; a 3 = a + r ; Portanto, de modo geral, a 4 = a 3 + r ; a n = a n 1 + r, n N e n Ou mais ainda, a razão da PA é dada pela fórmula r = a n a n 1, n N e n Exemplo 1 Dada a sequência (a n ) = ( 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7), podemos afirmar se a mesma é uma P.A ou não, verificando se a diferença entre cada um de seus termos apresentados e seu antecessor é constante. Veja: a a 1 = 3 ( 5) = a 3 a = 1 ( 3) = a 4 a 3 = 1 ( 1) = a 5 a 4 = 3 (1) = a 6 a 5 = 5 (3) = a 7 a 6 = 7 (5) = a n = a 1 + (n 1) r; n N Exemplo 4 Sendo (a n ) uma P.A cujo termo geral é a n = + (n 1) 3, temos que a 1 = ; a = + ( 1) 3 = 5 ; a 3 = + (3 1) 3 = 8 ; Então (a n ) = (, 5, 8, 11, 14,.. ) Obs. 1: Note que o termo geral poderia ter sido apresentado como a n = 3n 1. Exemplo 5 Dada a P.A (a n ) = (4,, 8, 14, ), podemos determinar o seu termo geral a n da seguinte forma: 1º) Determine a razão da P.A. r = a a 1 = 4 = 6 Assim, a n = a 1 + (n 1) r a n = 4 + (n 1) ( 6) a n = 6n + 10 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 Determinação do termo geral Para determinar o termo geral de uma P.A é necessário encontrar a razão (r) e o primeiro termo (a 1 ). Lembre-se, r = a n a n 1, n N, n. Nem sempre a 1 e r são dados de forma direta. Utilize as informações dadas na situação-problema para buscar esses parâmetros. Exemplo 6 Seja (a n ) = (1, a, 5, ) uma P.A, determine o seu décimo termo. Vamos começar determinando o seu termo geral, a 3 = 5 a 1 + r = r = 5 r = Assim, o termo geral é a n = 1 + (n 1) Finalmente, com o termo geral em mãos, podemos determinar a 10 : a 10 = a r = = = 19 Obs.: Perceba que podemos determinar a razão utilizando a fórmula do termo geral, o primeiro termo e algum termo já conhecido. Classificação Uma progressão aritmética pode ser classificada quanto ao seu crescimento, veja como: Exemplo 7 r > 0 a P.A é crescente. r < 0 a P.A é decrescente. r = 0 a P.A é constante. (; 6; 10; ) possui razão r = 4 > 0, logo é crescente. (,, 6, ) possui razão r = 4 < 0, logo é decrescente. (,,, ) possui razão r = 0, logo é constante. TAREFA 1 Resolver os exercícios fundamentais.1. a.5. AULA 0.1. Escreva o termo geral das seguintes progressões aritméticas: a) (0, 5, 10, 15, 0, ) b) ( 4,, 8, 14, ).. Em relação a P.A (5, 44, 36, 8,.. ), determine: a) a 19 b) a 10 + a 5.3. Uma P.A. possui o 4º termo igual a 4 e o 9º termo igual a 79. Determine os 10 primeiros termos da P.A e classifique-a quanto ao seu crescimento..4. Dada uma progressão aritmética (a n ) tal que a 3 + a 8 = 14 e a 5 = a , determine a Faça a interpolação aritmética de 6 meios entre 6 e 97. AULA 03 Propriedades da P.A i. Se (a, b, c) forma uma P.A, então o termo do meio é a média aritmética dos extremos, ou seja ii. Como entender o funcionamento da versão generalizada do termo geral de uma PA? DICA DO PROFESSOR PRINCÍPIO DO ELEVADOR Encare os termos da fórmula a j = a i + (j i) r como: a i : morador de um andar i (inferior); a j : morador de um andar j (superior). Desse modo, o expoente (j i) representa o número de andares que o morador do andar i precisa subir j b = a + c A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos da P.A. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página

5 iii. Exemplo 1 Dada a sequência (4, 8, 1, 16, 0), temos que a e a 4 são equidistante dos extremos, e assim, a + a 4 = = 4 = = a 1 + a 5 Se a m é o termo médio da progressão aritmética, então a m = a 1 + a n Exemplo Dada a sequência (4, 8, 1, 16, 0), temos que o termo médio a 3 é dado por a 3 = a 1 + a 5 = = 1 Obs.1: Lembre-se que apenas uma sequência finita com quantidade ímpar de termos, possui termo médio Dada a P.A (3x 5, 3x + 1, 5), determine x. 3.. Obtenha o termo a 10 do exercício fundamental.. utilizando a propriedade iii). TAREFA Ler os exercícios resolvidos 1,, 4, 5, 6, 8, 9, 11 e 13 e FAZER os PSA 1(a, b), (b), 3, 5, 8(a, b, c), 9, 16, 18 e. AULA 04 Representação especial Em situações que envolvem P.A com poucos termos, podemos utilizar algumas notações especiais. Para uma P.A de 3 termos A P.A (x 1, x 1 + r, x 1 + r), pode ser representada por (x r, x, x + r) Ler as representações especiais para uma P.A de 4 termos e 5 termos. Notação especial A notação especial é outro jeito de descrever a mesma P.A. Note que, quando for pedido a soma dos termos, a notação especial é vantajosa, pois os "r" irão se anular. Veja: x 1 + x + x 3 = (x r) + x + (x + r) = 3x Note que continuaríamos com duas incógnitas caso tivéssemos optado por definir a P.A sem a notação especial, veja: Se (x 1, x, x 3 ) = (x 1, x 1 + r, x 1 + r), então 4.1. A soma dos três números que compõem uma P.A é 7 e o produto dos extremos é 560. Determine a P.A. Soma dos n primeiros termos Seja S n a soma dos n primeiros termos de uma P.A, ou seja, Temos que x 1 + x + x 3 = 3x 1 + 3r S n = a 1 + a + a 3 + a a n 1 + a n S n = (a 1 + a n ) n 4.. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da PA ( 45, 41, 37, 33, ) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (a n ) é dada por S n = n n, n N. Determine a) a 1 b) a n c) a (DESAFIO) Calcule o valor de TAREFA 3 Ler os exercícios resolvidos 19, 0 e 1; e FAZER os PSA 6, 3, 37 e 45. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 PARA REVISAR Conhecendo avaliações 4, 6, 9, 14, 33, 34, 37, 41 EXTRA Questões extras 1) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo central é a) 369 b) 189 c) 01 d) 171 e) 180 6) Considere a progressão aritmética (a n ), com n N, dada por (; 6; 10; ). Acerca dessa progressão, julgue os itens a seguir. (A) ( ) Essa progressão aritmética tem razão r = 4. (B) ( ) a 10 = 4 (C) ( ) a 13 + a 17 = a 11 + a 19 (D) ( ) a 16 = a 14+a 0. (E) ( ) A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é igual a ) Considere os números inteiros de 17 a 31. Quantos desses números são múltiplos de 3? (A) 101 (B) 10 (C) 103 (D) 104 (E) 105 ) Interpolando 7 meios aritméticos entre 5 e 9, nesta ordem, tem-se que o quinto termo dessa sequência é a) 14 b) c) 17 d) 0 e) 1 3) Uma sequência (a n ) é gla que a 1 = 8 e a n = a n 1 + 1, n N e n. A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é a) 8 b) 470 c) 360 d) 360 e) 440 CAIU NO VEST 1) (UnB 01) Os recordes na corrida de 100 metros rasos podem ser estimados da seguinte forma: a partir do recorde obtido em 1983, de 9,930 s, o primeiro recorde seria R 1 = 9,930 a 1 ; depois de alguns anos, o segundo recorde seria R = R 1 a ; assim, o n-ésimo recorde, a partir de 1983, seria R n = R n 1 a n, em que a i é uma progressão geométrica de razão q = 0,98 e o primeiro termo a 1 = 0, O segundo recorde a partir de 1983 é inferior a 9,91 s. Considerando-se que, a partir da forma proposta para a estimativa dos recordes, o tempo vai diminuindo ate um limite mínimo, calcule esse limite, em centésimo de segundos. 4) Considere uma progressão aritmética (a n ), n N, na qual a 3 = 7 e a 19 = 5. Determine a 11. 5) A soma S n dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por S n = n 3n, em que n N. Calcule o produto entre o terceiro termo e a razão dessa progressão. ) (ENEM 013) As projeções para a produção de arroz no período de 01 01, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 ANO Projeção de produção (t) 01 50, , , ,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 01 a 01 será de 3) C 4) A a) 497,5 b) 500,85. c) 50,87 d) 558,75 e) 563,5 3) (UECE) Seja (a 1, a, a 3,, a 8 ) uma progressão aritmética. Se a + a 5 = 8 e a 8 = 7, então a 3 + a 7 é igual a a) 8 b) 8/3 c) 10 d) 3/3 4) (ITA 01) Sabe-se que (x + y, 3x 5y, 8x y, 11x 7y + z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a 17. Então, o produto xyz é igual a a) -60 b) -30 c) 0 d) 30 e) 60 GABARITO: FUNDAMENTAIS.1. a) a = 5n 5 b) a = 6n 10 n.. a) 9 b) ( 9, 14, 19, 4, 9, 34, 39, 44, 49, 54 ) ( 6, 67, 7, 77, 8, 87, 9, 97 ) ( 0, 4, 8 ) ou ( 8, 4, 0 ) a) a 1 = 1 b) a = n 3 c) a 8 = n n QUESTÕES EXTRAS 1) B ) C 3) E 4) 9 5) 8 6) EECEE 7) B CAIU NO VEST 1) E 948 ) D Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5