Recorrências Lineares de Primeira Ordem

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1 7 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Sumário 7.1 Introdução Sequências Denidas Recursivamente Exercícios Recomendados Exercícios Suplementares Recorrências Lineares de Primeira Ordem Exercícios Recomendados Exercícios Suplementares Textos Complementares

2 Unidade 7 Introdução 7.1 Introdução O assunto dessa unidade é o estudo mais aprofundado das sequências numéricas denidas recursivamente (ou por recorrência) que abordamos nas Unidades 3 e 4. Conforme vimos anteriormente, uma sequência é denida recursivamente se ela for dada por uma regra (recorrência) que permite calcular um termo qualquer por meio de um ou mais termos anteriores. Por exemplo, PAs, PGs, fatorial, potências com expoentes números naturais e a sequência de Fibonacci são denidas por recorrência. Nesta unidade, são estudadas as recorrências lineares de primeira ordem, ou seja, sequências em que um termo qualquer é denido por uma expressão que envolve o termo anterior, sem elevá-lo a um expoente maior do que 1, como, por exemplo: 1) progressões aritméticas: a n = a n 1 + r; 2) progressões geométricas: a n = a n 1 q; 3) fatorial: a n = na n 1 ; 4) potências com expoente natural: a n = aa n 1. Note que, para denir uma sequência desse modo, não basta dar a recorrência, mas é preciso dizer qual é o seu primeiro termo. Isto é óbvio nos casos de PAs e PGs. No caso (3), obtemos o fatorial se tomarmos a 1 = 1. Se tomarmos a 1 = 2, por exemplo, obtemos a sequência: a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 12, a 4 = 48,..., que não representa o fatorial. Temos também que (4) somente dene as potências de a se tomarmos a 1 = a. Na presente unidade, vamos nos dedicar, essencialmente, a determinar fórmulas fechadas para algumas recorrências lineares de primeira ordem, onde, por fórmula fechada, entendemos uma expressão a n = φ(n) para a n como função de n. Quando determinamos uma fórmula fechada para uma recorrência, dizemos que ela foi resolvida. Aprenderemos como resolver recorrências do tipo a n+1 = ca n + f(n), onde f é uma função com domínio o conjunto dos naturais e c é uma constante. 2

3 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Unidade Sequências Denidas Recursivamente Muitas sequências são denidas recursivamente (isto é, por recorrência), ou seja, por intermédio de uma regra que permite calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(s). A sequência (x n ) dos números naturais ímpares 1, 3, 5, 7,... pode ser de- nida por x n+1 = x n + 2 (n 1), com x 1 = 1. Exemplo 1 Qualquer progressão aritmética (x n ) de razão r e primeiro termo a pode ser denida por x n+1 = x n + r (n 1), com x 1 = a. Exemplo 2 Qualquer progressão geométrica (x n ) de razão q e primeiro termo a pode ser denida por x n+1 = q x n (n 1), com x 1 = a. Exemplo 3 A sequência (F n ), dita de Fibonacci, cujos termos são 1, 1, 2, 3, 5,... e na qual cada termo é a soma dos dois imediatamente anteriores, é denida por F n+2 = F n+1 + F n (n 0), com F 0 = F 1 = 1. Exemplo 4 É fácil ver que uma recorrência, por si só, não dene a sequência. Por exemplo, a recorrência do Exemplo 1, x n+1 = x n + 2, é satisfeita não apenas pela sequência dos números ímpares, mas por todas as progressões aritméticas de razão 2. Para que a sequência que perfeitamente determinada é necessário também o conhecimento do(s) primeiro(s) termo(s). Observe que, nos Exemplos 1, 2 e 3 temos recorrências de primeira ordem, isto é, nas quais cada termo é expresso em função do antecessor imediato, e que, no Exemplo 4, temos uma recorrência de segunda ordem, ou seja, na qual cada termo é expresso em função dos dois antecessores imediatos. Para Saber Mais - Dois Exemplos Mais Sosticados - Clique para ler 3

4 Unidade 7 Exercícios Recomendados 7.3 Exercícios Recomendados 1. Determine x 5 na sequência denida por x n+2 = 2x n+1 + x n, x 0 = x 1 = Seja x n o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano. Caracterize x n recursivamente. Sugestão: Lembre-se da pizza de Steiner. 3. Prove que uma recorrência de primeira ordem, x n+1 = f(x n ), com uma condição inicial x 1 = a, tem sempre uma e uma só solução. 4. Prove que uma recorrência de segunda ordem x n+2 = f(x n+1, x n ), com condições iniciais x 1 = a e x 2 = b, tem sempre solução única. 5. Determine x n, dada a sequência: a) x n+1 = 2x n e x 1 = 3; b) x n+1 = x n + 3 e x 1 = Exercícios Suplementares 1. Seja x n o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano. Caracterize x n recursivamente. 2. Determine o número de permutações caóticas de 5 elementos. 3. Prove que o número de permutações caóticas de n elementos é n ( 1) n D n = n!. k! k=0 4

5 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Unidade Recorrências Lineares de Primeira Ordem Uma recorrência de primeira ordem expressa x n+1 em função de x n. Ela é dita linear se (e somente se) essa função for do primeiro grau. As recorrências x n+1 = 2x n n 2 e x n+1 = nx n são lineares e a recorrência x n+1 = x 2 n não é linear. As duas últimas são ditas homogêneas, por não possuirem termo independente de x n. Exemplo 5 Não há grandes diculdades na resolução de uma recorrência linear homogênea de primeira ordem, conforme mostram os exemplos a seguir. Resolva a recorrência x n+1 = nx n, x 1 = 1. Solução. Temos Exemplo 6 x 2 = 1x 1 x 3 = 2x 2 x 4 = 3x x n = (n 1)x n 1 Daí, multiplicando, obtemos x n = (n 1)!x 1. Como x 1 = 1, temos x n = (n 1)!. Resolva a recorrência x n+1 = 2x n. Solução. Temos Exemplo 7 x 2 = 2x 1 x 3 = 2x 2 x 4 = 2x x n = 2x n 1 Daí, multiplicando, obtemos x n = 2 n 1 x 1. é claro que como não foi prescrito o valor de x 1, há uma innidade de soluções para a recorrência, x n = C 2 n 1, onde C é uma constante arbitrária. 5

6 Unidade 7 Recorrências Lineares de Primeira Ordem As recorrências lineares não-homogêneas de primeira ordem que mais facilmente se resolvem são as da forma x n+1 = x n + f(n). Com efeito, temos x 2 = x 1 + f(1) x 3 = x 2 + f(2) x 4 = x 3 + f(3) x n = x n 1 + f(n 1) n 1 Somando, obtemos x n = x 1 + f(k). k=1 Exemplo 8 Resolva a recorrência x n+1 = x n + 2 n, x 1 = 1. Solução. Temos x 2 = x x 3 = x x 4 = x x n = x n n 1 Somando, resulta x n = x 1 + ( n 1 ) = n 1 = 1 2n = 2 n 1. 6

7 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Unidade 7 Solução. Resolva x n+1 = x n + n, x 1 = 0. Temos Exemplo 9 x 2 = x x 3 = x x 4 = x x n = x n 1 + (n 1). Somando, resulta x n = x (n 1) = (n 1) n(n 1) =. 2 O teorema a seguir mostra que qualquer recorrência linear não-homogênea de primeira ordem pode ser transformada em uma da forma x n+1 = x n + f(n). Se a n é uma solução não-nula da recorrência x n+1 = g(n)x n, então a substituição x n = a n y n transforma a recorrência x n+1 = g(n)x n + h(n) em y n+1 = y n + h(n)[g(n) a n ] 1. Teorema 1 Solução de Recorrências Lineares de Primeira Ordem A substituição x n = a n y n transforma Demonstração x n+1 = g(n)x n + h(n) em a n+1 y n+1 = g(n)a n y n + h(n). Mas, a n+1 = g(n)a n, pois a n é solução de x n+1 = g(n)x n. Portanto, a equação se transforma em g(n)a n y n+1 = g(n)a n y n + h(n), ou seja, y n+1 = y n + h(n)[g(n) a n ] 1. 7

8 Unidade 7 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Exemplo 10 Resolva x n+1 = 2x n + 1, x 1 = 2. Solução. Uma solução não-nula de x n+1 = 2x n é, por exemplo, x n = 2 n 1, conforme vimos no Exemplo 7. Fazendo a substituição x n = 2 n 1 y n, obtemos 2 n y n+1 = 2 n y n + 1, ou seja, y n+1 = y n + 2 n. Daí se tem Somando, resulta y 2 = y y 3 = y y 4 = y y n = y n (n 1). y n = y (n 1) = y (2 1 ) n = y n + 1. Como x n = 2 n 1 y n e x 1 = 2, temos y 1 = 2 e y n = n. Daí, x n = 3 2 n 1 1. Exemplo 11 Resolva x n+1 = 3x n + 3 n, x 1 = 2. Solução. Uma solução não-nula de x n+1 = 3x n é, por exemplo, x n = 3 n 1 (ou qualquer outra progressão geométrica de razão 3). Façamos a substituição x n = 3 n 1 y n. Obtemos 3 n y n+1 = 3 n y n + 3 n, ou seja, y n+1 = y n + 1. Daí, y n é uma progressão aritmética de razão 1. Logo, y n = y 1 + (n 1)1. Como x n = 3 n 1 y n e x 1 = 2, temos y 1 = 2 e y n = n + 1. Daí, x n = (n + 1)3 n 1. 8

9 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Unidade Exercícios Recomendados 1. Resolva a recorrência do Exercício Recomendado 1, da Seção 3 (pizza de Steiner). 2. Quantas são as sequências de n termos, todos pertencentes a {0, 1}, que possuem em número ímpar de termos iguais a 0? 3. Quantas são as sequências de n termos, todos pertencentes a {0, 1, 2}, que possuem em número ímpar de termos iguais a 0? 4. Sheila e Helena disputam uma série de partidas. Cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior. Em cada partida, quem iniciou tem probabilidade 0,6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la. Se Helena iniciou a primeira partida, qual é a probabilidade de Sheila ganhar a n- ésima partida? 5. Resolva as seguintes recorrências: a) x n+1 = (n + 1)x n + n, x 1 = 1; b) (n + 1)x n+1 + nx n = 2n 3, x 1 = 1; c) x n+1 nx n = (n + 1)!, x 1 = Exercícios Suplementares 1. Um círculo foi dividido em n (n 2) setores. De quantos modos podemos colorí-los, cada setor com uma só cor, se dispomos de k (k > 2) cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a mesma cor? 2. A torcida do Fluminense tem hoje p 0 membros. A taxa anual de natalidade é i, a mortalidade é j e, além disso, todo ano um número xo de R torcedores desiste de vez. Se i > j, determine o número de torcedores daqui a n anos. A torcida está condenada a extinção? 3. Ache o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano, ou seja resolva a recorrência do Exercício Suplementar 1 da Seção 4. 9

10 Unidade 7 Textos Complementares 7.8 Textos Complementares Para Saber Mais Dois Exemplos Mais Sosticados Apresentaremos aqui dois exemplos mais sosticados. Exemplo 1. Quantas são as sequências de 10 termos, pertencentes a {0, 1, 2}, que não possuem dois termos consecutivos iguais a 0? Solução. Chamando x n o número de sequências com n termos, o valor de x n+2 será a soma das seguintes quantidades: i) O número de sequências de n + 2 termos que começam por 1 e não possuem dois zeros consecutivos. Isso é precisamente igual a x n+1, pois se o primeiro termo é 1, para formar a sequência basta determinar os termos a partir do primeiro, o que pode ser feito de x n+1 modos. ii) O número de sequências de n + 2 termos que começam por 2 e não possuem dois zeros consecutivos. Analogamente, isso é igual a x n+1. iii) O número de sequências de n+2 termos que começam por 0 e não possuem dois zeros consecutivos. Se o primeiro termo é zero, temos dois modos de escolher o segundo termo (1 ou 2) e, escolhido o segundo termo, temos x n modos de escolher os demais. Há, pois, 2x n sequências começadas em 0. Logo, x n+2 = 2x n+1 + 2x n. É fácil ver que x 1 = 3 e que x 2 = 8. Daí obtemos x 3 = 2x 2 + 2x 1 = 22, x 4 = 60,..., x 10 = Exemplo 2. Seja D n o número de permutações caóticas de 1, 2,..., n, isto é, o número de permutações simples de 1, 2,..., n, nas quais nenhum elemento ocupa o seu lugar primitivo. Mostre que D n+2 = (n+1)(d n+1 +D n ), se n 1. Solução. Calculemos D n+2, o número de permutações simples de 1, 2,..., n+ 2 nas quais nenhum elemento ocupa o seu lugar primitivo. As permutações podem ser divididas em dois grupos: aquelas nas quais o 1 ocupa o lugar do número que ocupa o primeiro lugar e aquelas nas quais isso não ocorre. Para formar uma permutação do primeiro grupo, devemos escolher o número que trocará de lugar com o 1, o que pode ser feito de n + 1 modos, e, em seguida, devemos arrumar os demais n elementos nos restantes n lugares, sem que nenhum desses elementos ocupe o seu lugar primitivo, o que pode ser feito de D n modos. Há, portanto, (n + 1) D n permutações no primeiro grupo. 10

11 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Unidade 7 Para formar uma permutação do segundo grupo, temos de escolher o lugar que será ocupado pelo número 1 (chamemos esse lugar de k), o que pode ser feito de n + 1 modos, e, em seguida devemos arrumar os restantes n + 1 elementos dos demais n + 1 lugares, sem que o elemento k ocupe o primeiro lugar e sem que nenhum dos demais elementos ocupe o seu lugar primitivo, o que pode ser feito de D n+1 modos. Há, portanto, (n + 1) D n+1 permutações no segundo grupo. Consequentemente, D n+2 = (n+1)(d n+1 +D n ), como queríamos demonstrar. 11

12 Unidade 7 Textos Complementares 12